Institut National Polytechnique
DEA Programmation & Syst`emes
de Toulouse-ENSEEIHT Ann´ee : 2001-2002
Nom du Laboratoire : LIMA-IRIT Directeur : Luis Fari˜ nas del Cerro
Utilisation et Extension de l’Arithm´ etique Affine dans les Algorithmes D´ eterministes d’Optimisation Globale Ahmed TOUHAMI
14 Juin 2002
Directeur de Recherche : Joseph NOAILLES Responsable du Stage : Fr´ ed´ eric MESSINE R´ esum´ e : Le but de ce rapport est d’´etendre les possibilit´es offertes par les m´ethodes d´eterministes d’optimisation globale bas´ees sur l’arithm´etique d’intervalles. Ainsi de nouvelles fonctions d’inclusion bas´ees sur des repr´esentations affines et quadratiques ont ´et´e introduites. Leur int´erˆet est surtout d´eterminant lorsque une tr`es grande pr´ecision est exig´ee sur les optima globaux. D`es lors, leur extension aux calculs robustes aux probl`emes des erreurs num´eriques devient incontournable, et pour pallier ces difficult´es, de nouvelles formes mixtes : intervalles, formes affines ou quadratiques seront ´etudi´ees.
Table des mati` eres Introduction
3
1 Optimisation D´ eterministe Globale bas´ ee sur l’Arithm´ etique d’Intervalles 1.1 La m´ethode de Branch&Bound par intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Ordonnancement de la liste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Arithm´etique d’intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Notations et d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Op´erations ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Arithm´etique d’intervalle ´etendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Arithm´etique d’intervalle arrondie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Fonctions d’inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Extension naturelle d’une expression de la fonction aux intervalles . . . 1.3.2 Int´erˆet de la fonction d’inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Probl`emes de l’arithm´etique d’intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Probl`emes de d´ependances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 G´en´eration des clusters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 6 6 8 8 9 11 12 12 13 13 14 14 14 15 16
2 Arithm´ etique Affine Robuste 2.1 L’arithm´etique affine standard . . . . . . 2.1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Conversions . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Op´erations Classiques . . . . . . . 2.1.4 Difficult´es dues aux op´erations non 2.2 Arithm´etique affine robuste . . . . . . . . 2.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Op´erations Classiques . . . . . . . 2.3 Tests num´eriques . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Pr´esentation des fonctions . . . . . 2.3.2 Algorithme MAX-PREC . . . . . . 2.3.3 Analyse des r´esultats . . . . . . . . 2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Extension de l’Arithm´ etique Affine : Arithm´ etique 3.1 Arithm´etique quadratique standard . . . . . . . . . . 3.1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Conversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Op´erations classiques . . . . . . . . . . . . . 3.2 Arithm´etique quadratique robuste . . . . . . . . . . 3.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Op´erations classiques : . . . . . . . . . . . . . 3.3 Application aux fonctions quadratiques . . . . . . .
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17 17 17 18 18 19 20 20 20 21 21 22 24 27
Quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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28 28 28 29 30 32 32 33 34
. . . . . . . . . . . . (×) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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` TABLE DES MATIERES
3.4 3.5
3.3.1 Exemples sur les formes quadratiques R´esultats num´eriques . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Analyse des r´esultats . . . . . . . . . . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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37 38 38 41
Conclusion
42
A Tests Num´ eriques
45
B R´ esultat pour la Fonction d’Inclusion Standard
47
C R´ esultat pour les Formes Affines
49
D R´ esultats pour les Formes Quadratiques
53
E Translation des Formes Affines 57 E.1 Contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 E.1.1 Formes positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 E.2 Am´elioration par translation des formes affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2
Introduction Ces derni`eres ann´ees ont vu un regain d’int´erˆet pour les m´ethodes d’optimisation globale de part l’avanc´ee technologiques des nouveaux processeurs. D`es lors, l’industrie est devenue tr`es friande de ces nouveaux algorithmes dont les performances n’ont cess´e de s’accroˆıtre depuis dix ans. ´ ´ Notons que dans le cadre du LEEI/ CNRS Laboratoire d’Electrotechnique d’Electronique Industrielle de L’ENSEEIHT, de tr`es nombreux actionneurs ´electriques sont actuellement dimensionn´es par des algorithmes d’optimisation globale dont certains d’entre eux ont fait l’objet de cette ´etude : • Les m´ ethodes d´ eterministes globales : Elles ne n´ecessitent pas de point de d´epart et travaillent directement sur le domaine d´efini par les but´ees du probl`eme. Ces m´ethodes permettent de bien g´erer les contraintes, contrairement aux m´ethodes stochastiques et peuvent s’appliquer aux probl`emes mixtes (variables r´eelles, enti`eres et de cat´egories). Elles garantissent l’obtention de la solution globale du probl`eme. Cependant, il faut savoir que les m´ethodes d´eterministes globales restent utilisables tant que le nombre de variables ne devient pas trop important. Au dela d’une vingtaine de variables, elles atteignent leurs limites. • Les m´ ethodes stochastiques globales : Ce sont des m´ethodes que l’on peut qualifier de globales, elles sont bas´ees sur des tirages al´eatoires de points a` l’int´erieur d’un domaine fix´e. Les m´ethodes les plus courantes sont, les m´ethodes de ranch nd ound stochastiques, de Mont´e-Carlo, de Recuit simul´e et les Algorithmes G´en´etiques. En parcourant le domaine, on a plus de chances d’obtenir une meilleure solution qu’avec les m´ethodes de type descente. Toutefois, les m´ethodes stochastiques rencontrent des difficult´es quant a` la gestion de contraintes de type ´egalit´e et la manipulation d’un nombre important de variables (`a partir d’une dizaine). Leur inconv´enient principal est qu’elles peuvent passer plusieurs fois a` cˆot´e de la solution globale. De plus, ces m´ethodes peuvent s’av´erer tr`es coˆ uteuses en temps CPU par rapport aux m´ethodes d´eterministes, lorsque l’on souhaite obtenir avec quasi-certitude l’optimum global.
Dans le cadre de cette ´etude, nous nous sommes int´eress´es a` l’optimisation globale d´eterministe bas´ee sur l’arithm´etique d’intervalles dont l’efficacit´e repose sur la qualit´e des majorations et minorations des valeurs d’une fonction (g´enerallement continue) sur un hypercube. 3
` TABLE DES MATIERES
L’objectif de ce stage est double : • rendre robuste (au sens num´erique), les calculs effectu´es avec l’arithm´etique affine, comme l’est l’arithm´etique d’intervalles arrondie [16]. • ´etendre les formes affines par des repr´esentations quadratiques en justifiant leur int´erˆet.
Le premier chapitre pr´esentera les fondements des algorithmes d´eterministes bas´es sur l’arithm´etique d’intervalles pour r´esoudre les probl`emes sans contrainte. le deuxi`eme chapitre exposera les principes de l’arithm´etique affine, et mettra en œuvre une nouvelle forme, pour rendre cette arithm´etique robuste aux probl`emes d’erreurs num´eriques. Des tests num´eriques sur des exemples polynomiaux valideront l’int´erˆet de cette approche. le troisi`eme chapitre, sera consacr´e a` une extension de l’arithm´etique affine aux formes quadratiques. Leurs int´erˆet sera valid´e sur des exemples polynomiaux, et une ´etude sera men´ee sur les probl`emes enti`erement quadratiques.
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Chapitre 1
Optimisation D´ eterministe Globale bas´ ee sur l’Arithm´ etique d’Intervalles Les m´ethodes d’optimisation globale ont ´et´e introduites pour essayer de r´epondre de fa¸con satisfaisante aux deux questions suivantes : – La solution obtenue est-elle globale ? – Cette solution est elle unique, avons nous toutes les solutions ? En particulier, il existe des m´ethodes d´eterministes qui offrent la certitude d’obtenir l’optimum global (si celui-ci existe, bien entendu), ainsi que tous ses optimiseurs, pour peu que l’on dispose d’un certain laps de temps (pouvant aller jusqu’`a l’infini), et d’un ordinateur ayant une capacit´e m´emoire (elle aussi infinie). Pour r´eduire ces difficult´es, l’utilisateur devra fournir un domaine d’int´erˆet, dans lequel il souhaite faire travailler l’algorithme a priori. La solution “globale” ainsi trouv´ee est donc relative au domaine d’int´erˆet d´efini au tout d´ebut de l’algorithme, celui-ci d´eterminant les but´ees inf´erieures et sup´erieures de chacune des diff´erentes variables. Le probl`eme auquel nous nous int´eressons est le probl`eme g´en´eral de minimisation, puisque maximiser une fonction a` valeurs r´eelles et a` variables multidimensionnelles sans contrainte f revient a` minimiser −f . Il s’agit de d´eterminer f ∗ le minimum de la fonction f et X ∗ le (ou les ) point(s) ´egalement appel´e(s) minimum (minima) en lequel cette valeur est obtenue. ( min f (x) x∈X (Pb) : (1.1) o` u X ⊆ IRn est le domaine d’int´erˆet d´efini par les but´ees. f ∗ et x∗ solution de (Pb). Apr`es avoir pr´esent´e un algorithme de type ranch nd ound par intervalles, nous rappelerons les ´el´ements de l’arithm´etique d’intervalles et nous expliciterons les diff´erentes notations utilis´ees. Nous montrerons ensuite les difficult´es dues a` l’utilisation de l’arithm´etique d’intervalles.
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Optimisation D´eterministe Globale bas´ee sur l’Arithm´etique d’Intervalles
1.1
La m´ ethode de Branch&Bound par intervalles
Il s’agit d’une m´ethode de recherche par d´ecompsition du domaine en sousdomaines. Pour le probl`eme qui nous int´eresse, il s’agit de la recherche du ou des optima (minima) globaux. Cette technique repose sur l’utilisation de l’analyse des intervalles puisqu’`a chaque ´etape, le probl`eme courant est trait´e de mani`ere globale, c’est-`a-dire que le domaine (intervalle ou pav´e) est consid´er´e comme ´el´ement du calcul pour l’´evaluation. Soit une fonction f a` minimiser sur X. Notons que X repr´esente le domaine de d´efinition de la fonction f . L’algorithme de ranch nd ound par intervalles, d´evelopp´e dans [3], [4], [9], [19] utilise les principes de dichotomie et d’exclusion de domaines. – On partitionne le domaine de recherche initiallement form´e par les but´ees du probl`eme (pav´e X) de dimension le nombre de variables, en sous-domaines. – On choisit une direction de recherche (Branching). – On calcule ensuite les fonctions d’inclusion F relatives aux sous pav´es de la branche choisie. A l’aide de l’arithm´etique d’intervalles, on d´etermine ainsi un encadrement (Bounding : bornes inf´erieures et sup´erieures) de l’optimum global sur le pav´e. Les sous pav´es ne pouvant satisfaire l’une des contraintes sera imm´ediatement ´ecart´es, ainsi que ceux qui ne permettront pas d’am´eliorer le minimum courant d´ej`a trouv´e. La d´emonstration de convergence de l’algorithme peut ˆetre trouv´ee dans [9]. En ce qui concerne l’optimisation d’une fonction f sur un domaine X, l’algorithme de ranch nd ound peut se formuler comme pr´esent´e en Algo. 1.1
1.1.1
Ordonnancement de la liste
Le choix de l’ordonnancement de la liste est li´e au type des probl`emes ´etudi´es (avec ou sans contraintes), et au fait que l’on d´esire converger le plus rapidement possible vers une solution, ou que l’on d´esire mieux r´epartir les recherches sur tous les pav´es. – Classer les pav´es de la liste par ordre croissant des bornes inf´erieures de la fonction d’inclusion, – Classer les pav´es de la liste par ordre croissant des tailles des pav´es : les plus larges seront d´ecompos´es en premier, – Classer les pav´es de la liste par ordre croissant de l’ˆage des pav´es : les premiers entr´es seront les premiers sortis, – Classer les pav´es de la liste par ordre croissant de la valeur de la fonction au milieu du pav´e. D’autres ordonnancements plus ou moins judicieux pourront ˆetre trouv´es, des fonctions probabilistes d’ordonnancement pourraient mˆeme ˆetre cr´e´es, cela ne changerait que la rapidit´e de convergence de l’algorithme.
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Optimisation D´eterministe Globale bas´ee sur l’Arithm´etique d’Intervalles
D´ ebut 1. Y ←− X, pav´e initial ˜ 2. Calcul d’une erieure de f sur X : ˜y et f ←− f (mid(X)) borne inf´ 3. Tant que ˜f − ˜y > ε Faire D´ ebut (a) Partager Y par rapport a` sa plus large arˆete : ρ (b) V (1) ←− Y (c) V (2) ←− Y (d) Vρ (1) ←− [ yρ L , mid(Yρ ) ] (e) Vρ (2) ←− [ mid(Yρ ) , yρ U ] (f) Pour i allant de 1 a` 2 Faire D´ ebut i. v (i) ←− F L (V (i) ) ii. Si ˜f > f (mid(V (i) ) Alors ˜f ←− f (mid(V (i) )) Sinon
Si v (i) ≤ ˜f Alors
- Ins´erer (V (i) , v (i) ) dans L dans l’ordre croissant.
FinSi iii. Si le minimum ˜f a chang´ e Alors
Eliminer tous les couples (Z, z) de la liste L tel que z > ˜f. FinSi FinPour
(g) Extraction du pav´e (Y, ˜y) dont ˜y est le plus petit ´el´ement de la liste L. FinTantque 4. L’algorithme se termine avec le r´ esultat : [ ˜y , ˜f ] ≤ ε. Fin Algo. 1.1: Algorithme de ranch
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nd
ound
Optimisation D´eterministe Globale bas´ee sur l’Arithm´etique d’Intervalles
Remarque 1 L’algorithme Algo. 1.1 peut ˆetre directement utilis´e sur un probl`eme de maximisation il suffit pour cela de minimiser l’oppos´e de la fonction ´etudi´ee.
1.2
Arithm´ etique d’intervalles
L’arithm´etique d’intervalles est un outil introduit par Moore en 1966 [16] pour contrˆoler la pr´ecision des calculs num´eriques due aux erreurs d’arrondi de la repr´esentation flottante des r´eels. Avec une telle arithm´etique, il est possible a` la fois de tenir compte des incertitudes sur les donn´ees et de retournner un encadrement contenant a` coup sˆ ur le r´esultat d’un calcul : la force de l’arithm´etique par intervalles est en effet la fiabilit´e des calculs. Son principe fondamental consiste a` remplacer tout nombre r´eel, par un intervalle le contenant et a` effectuer les calculs sur des intervalles, tout intervalle calcul´e contenant le r´esultat du calcul exact. Le premier int´erˆet de l’arithm´etique d’intervalle est de pouvoir prendre en compte les incertitudes de mesure dans le cas o` u les donn´ees sont des valeurs exp´erimentales. Le second int´erˆet est de permettre de manipuler sur ordinateur, en utilisant le calcul flottant, des quantit´es qui ne sont pas exactement repr´esentables : par exemple, le nombre π pourra ˆetre repr´esent´e par [ 3.14 , 3.15 ] sur une machine qui calcule en base 10 avec 3 chiffres de mantisse. Cet intervalle contient de fa¸con garantie la valeur de π et tout calcul utilisant cet intervalle contiendra le r´esultat du calcul avec π. Cette propri´et´e de r´esultats garantis constitue l’avantage essentiel de l’arithm´etique par intervalles.
1.2.1
Notations et d´ efinitions
Soit IR l’ensemble des nombres r´eels et soit II = {[a, b] | (a, b) ∈ IR 2 }, l’ensemble des intervalles compacts r´eels. Un intervalle A appartenant a` II est caract´eris´e par sa borne inf´erieure a L et sa borne sup´erieure aU : A = [aL , aU ]. Tout nombre r´eel x sera confondu avec l’intervalle [ x , x ] correspondant. Les intervalles seront d´esormais rep´er´ees par des caract`eres majuscules et les caract`eres miniscules d´esigneront des nombres r´eels ou entiers. On peut alors d´efinir un vecteur d’intervalles dans II n comme un n-uplet d’intervalles (cf. Fig. 1.1) et une matrice d’intervalles dans m×n (II) comme une matrice de taille m × n dont les composants sont des intervalles. D´ efinition 1 (Milieu d’un intervalle) Fonction d´efinie de II dans IR, ou dans le cas de fonctions vectorielles de II n dans IRn . L U mid(A) = a +a , A ∈ II. 2 Par extension aux formes vectorielles, nous obtenons : mid(X) = t (mid(X1 ), ..., mid(Xn )), X ∈ II n . 8
Optimisation D´eterministe Globale bas´ee sur l’Arithm´etique d’Intervalles
[ 13.7 , 15.7 ] [ 15.5 , 16.5 ]
[ 12.5 , 14.5 ] [ 12.5 , 13 ] [ 16 , 17.3 ]
16.5
13 15.5
13.7
12.5
16
12.5
15.7
14.5
Fig. 1.1 – Exemples des vecteurs de II 2 et II 3
D´ efinition 2 (Largeur d’un intervalle) Fonction d´efinie de II dans IR, ou dans le cas de fonctions vectorielles de II n dans IRn . w(A) = aU − aL , A ∈ II. Par extension aux formes vectorielles, nous obtenons : w(X) = t (w(X1 ), ..., w(Xn )), X ∈ II n .
Remarque 2 X ∈ II n est un vecteur dont chacune de ses composantes est un intervalle. On d´esignera souvent par les termes ”pav´e” ou boˆıte un ´el´ement de II n .
1.2.2
Op´ erations ´ el´ ementaires
Les op´erations sur l’arithm´etique d’intervalles sont d´efinies de la fa¸con suivante : Pour tout (A, B) ∈ II 2 , A ⊗ B = {xa ⊗ xb | xa ∈ A, xb ∈ B} d´esignera l’ensemble r´esultant du calcul de l’op´eration ⊗ de l’intervalle A par l’intervalle B, le symbole ⊗ ´etant l’une des op´erations standards : +, −, ×, ÷ : [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d] [a, b] − [c, d] = [a − d, b − c] [a, b] × [c, d] = [min{a × c, a × d, b × c, b × d}, max{a × c, a × d, b × c, b × d}] [a, b] ÷ [c, d] = [a, b] × [ 1 , 1 ] si 0 6∈ [c, d] d c
(1.2)
Remarque 3 En encadrant le couple de r´eels (xa , xb ) par un couple d’intervalles (A,B), nous sommes sˆ ur que : xa ⊗ xb ∈ A ⊗ B, pour tout (xa , xb ) ∈ A × B. Fonctions usuelles
Soit A un intervalle de II, tel que A = [ aL , aU ], nous pouvons d´efinir aussi : 9
Optimisation D´eterministe Globale bas´ee sur l’Arithm´etique d’Intervalles
1. Puissance enti` ere :
An
[ [ = [ [
1 , 1 ], (aL )n , (aU )n ], (aU )n , (aL )n ], 0 , max{(aU )n , (aL )n } ],
Ceci pour tout n appartenant a` IN .
si si si si
n = 0, aL ≥ 0 ou n est impair, aU ≤ 0, et n est pair 0 ∈ A, et n est pair.
2. Logarithme : Le logarithme est une fonction strictement croissante sur l’intervalle ]0, +∞[, nous obtenons : log(A) = [log(aL ), log(aU )], avec A ⊂]0, +∞[ . 3. Racine carr´ ee : La racine carr´ee ´etant une fonction strictement croissante sur l’intervalle [0, +∞[, nous obtenons : √ √ √ A = [ aL , aU ], avec A ⊂ [0, +∞[
4. Valeur absolue : si aL ≥ 0, [ aL , aU ], U L [ | a | , | a | ], si aU ≤ 0, |A|= [ 0 , max{| aU | , | aL |} ], si 0 ∈ A.
5. Sinus : A ´etant le pav´e ´etudi´e. On rajoute 2π ou on enl`eve 2π a` A, jusqu’`a ce que π 3π aL ∈ [− , ]. 2 2 Si aL ≤ π2 Alors Si aU ≤ π2 =⇒ [sin aL , sin aU ] π 3π Si aU ∈] 2 , 2 ] =⇒ [Min{sin aL , sin aU }, 1] 3π U Si a > 2 =⇒ [−1, 1] FinSi SIN (A) = Si aL ∈] π2 , 3π ] Alors 2 π 3π U Si a ∈] 2 , 2 ] =⇒ [sin aU , sin aL ] 3π π U Si a ∈] 2 , 2π + 2 ] =⇒ [−1, Max{sin aL , sin aU }] Si aU ≥ π2 =⇒ [−1, 1] FinSi 6. Cosinus : A ´etant le pav´e ´etudi´e. On rajoute 2π ou on enl`eve 2π a` A, jusqu’`a ce que aL ∈ [ 0 , 2π ]. 10
Optimisation D´eterministe Globale bas´ee sur l’Arithm´etique d’Intervalles
Si FinSi COS(A) = Si FinSi
1.2.3
aL Si Si Si
≤ π Alors aU ≤ π aU ∈ [π, 2π] aU ≥ 2π
aU Si Si Si
∈]π, 2π] Alors aU ≤ 2π =⇒ [cos aL , cos aU ] U a ∈]2π, 3π] =⇒ [Min{cos aL , cos aU }, 1] aU ≥ 3π =⇒ [−1, 1]
=⇒ [cos aU , cos aL ] =⇒ [−1, Max{cos aL , cos aU }] =⇒ [−1, 1]
Propri´ et´ es ´ el´ ementaires
Propri´ et´ e 1 (Principe d’inclusion) Soit (A, B, C) ∈ II 3 . Si A ⊂ C et B ⊂ D alors A ⊗ B ⊂ C ⊗ D. Propri´ et´ e 2 Les op´erations arithm´etiques sur les intervalles ne v´erifient pas les propri´etes alg´ebriques de leurs analogues scalaires. En particulier la soustraction n’est pas la r´eciproque de l’addition, et la division n’est pas la r´eciproque de la multiplication : [−2 , 3 ] + [ 5 , 7 ] = [ 3 , 10 ] mais le r´esultat de cette op´eration moins la seconde op´erande vaut [ 3 , 10 ] − [ 5 , 7 ] = [−4 , 5 ] et n’est pas ´egal a ` [−2 , 3 ], il le contient. Propri´ et´ e 3 (Sous-distributivit´ e) L’arithm´etique d’intervalles n’a pas toutes les propri´et´es de l’arithm´etique classique, par exemple elle n’est pas distributive : A × (B + C) ⊆ A × B + A × C, pour (A, B, C) ∈ II 3 , cf [16]. : on dit qu’elle est sous-distributive. Propri´ et´ e 4 Les nombres r´eels sur machine ne sont pas repr´esentables, donc le r´esultat exact de l’op´eration a ⊗ b ne pourra ˆetre connu, nous encadrerons donc celui-ci par l’intervalle A ⊗ B. A ⊗ B sera le plus petit intervalle connu contenant a ⊗ b. L’extension de ces d´efinitions aux vecteurs d’intervalle de II n se fait sans aucune difficult´e. Propri´ et´ e 5 Le triplet (II, +, 0) est donc un mono¨ıde commutatif, ainsi que (II, ×, 1). Propri´ et´ e 6 La propri´et´e de sous-distributivit´e implique que les ensembles II n ne sont pas des espaces vectoriels sur IR. Cela n’interdit cependant pas de d´efinir sur ces ensembles les op´erations analogues aux op´erations sur IR n et le calcul matriciel a ` l’aide des matrices d’intervalles. Remarque 4 Si pour la division 0 ∈ [c, d], l’infinitude du r´esultat pourra ˆetre g´er´ee par surcharge d’op´erateur [3], cela revenant a ` compl´eter l’arithm´etique d´efinie 11
Optimisation D´eterministe Globale bas´ee sur l’Arithm´etique d’Intervalles
en (1.2) [3].
1.2.4
Arithm´ etique d’intervalle ´ etendue
Cette arithm´etique a ´et´e introduite en 1968 par Hanson [17] et par Kahan [20]. Elle permet d’´etendre l’arithm´etique d’intervalles pr´ec´edemment d´efinie, aux divers cas g´erant l’infini : notamment la division par un intervalle contenant 0. Soit (A, B) ∈ II 2 , tel que 0 ∈ B, nous obtenons les solutions suivantes : U [ abL , +∞], S aU aU [−∞ , ] [ bL , +∞], U b aU [−∞ , bU ], [−∞, +∞], A÷B = L [−∞ , abL ], S aL L [−∞, abL ] [ bU , +∞], aL [ bU , +∞],
si si si si si si si
aU ≤ 0 et bU = 0, aU ≤ 0 et 0 ∈] bL , bU [, aU ≤ 0 et bL = 0, 0 ∈] aL , aU [, aL ≥ 0 et bU = 0, aL ≥ 0 et 0 ∈] bL , bU [, aL ≥ 0 et bL = 0.
Les r` egles pour l’addition et la soustraction sont :
1.2.5
A + A + A ± A − A −
[−∞ , b ] [ b , +∞] [−∞, +∞] [−∞ , b ] [ b , +∞]
= = = = =
[−∞ , aU + b], [ aL + b , +∞], [−∞ , +∞], [aL − b , +∞], [−∞ , aU − b].
Arithm´ etique d’intervalle arrondie
Nous avons vu dans les paragraphes pr´ec´edents comment l’arithm´etique d’intervalles nous permettait de calculer des bornes pr´ecises de l’encadrement des op´erations ´el´ementaires +, −, ×, ÷ , en supposant que le calcul effectu´e sur les bornes soit d’une grande pr´ecision. Cependant mˆeme au niveau des op´erations ´el´ementaires le calcul peut manquer de pr´ecision. Exemple 1 [0.123 , 0.456] + [0.0116 , 0.0214] = [0.1346 , 0.4774] qui peut ˆetre arrondi par [0.135 , 0.477] avec une pr´ecision de 3 d´ecimales. Dans notre exemple, nous aurions pu esp´erer avoir l’encadrement [0.134 , 0.478] car le calcul de cette somme est vraiment inclus dans cette intervalle. Nous utiliserons directement cette fa¸con d’arrondir, en d´efinissant deux fonctions : arrondi sup´erieur et inf´erieur vers l’ext´erieur de fa¸con a ` assurer l’inclusion. On trouvera une ´etude d´etaill´ee de ces concepts dans [16]. 12
Optimisation D´eterministe Globale bas´ee sur l’Arithm´etique d’Intervalles
1.3
Fonctions d’inclusion
Soit D ⊆ IR et f : D −→ IR, D´ efinition 3 (Image directe d’une application) Soit f (Y ) = {f (y) | y ∈ Y }, pour tout Y inclus dans II(D), o` u II(D) est un intervalle compact inclus dans D. f (Y ) est appel´ee image directe de f sur Y . D´ efinition 4 (Fonction d’inclusion) Une fonction F : II(D) −→ II est appel´ee fonction d’inclusion pour f si et seulement si f (Y ) ⊆ F (Y ), pour tout Y ∈ II(D), o` u f (Y ) repr´esente l’image directe de f sur Y . Remarque 5 Une g´en´eralisation de ceci aux fonctions de vecteurs d’intervalles de II(D)n est relativement ais´ee [3], [9], [16]. Le but de l’arithm´etique d’intervalles est de permettre la construction de fonctions d’inclusion. Il en existe plusieurs, certaines fournissant des encadrements bien meilleurs (par exemple, les formes centr´ees [3], [16]), que celle cit´ee ci-dessous. Cependant la fonction d’inclusion ´etudi´ee ici a pour int´erˆet principal : sa simplicit´e et sa grande souplesse de programmation : utilisation de la surcharge d’op´erateurs et de la g´en´ericit´e des langages tels que ADA, C ++ , Fortran90.
1.3.1
Extension naturelle d’une expression de la fonction aux intervalles
Th´ eor` eme 1 (Construction d’une fonction d’inclusion ) En supposant f litt´eralement connue, et en consid´erant une expression de f (y) d´efinie par des variables yi , pour tout y appartenant a ` Y , ne d´ependant que de la variable y, des constantes et des cœfficients r´eels, des quatres op´erations arithm´etiques : +, −, ×, ÷, des fonctions pr´e-d´eclar´ees exp, sin, cos, log, ..., et des symboles auxiliaires : comme les parenth`eses. Alors, l’extension de cette expression aux intervalles (c-` a-d rempla¸cement de chaque occurence de y par le pav´e Y , des fonctions pr´e-d´eclar´ees par les fonctions d’inclusion correspondantes et les op´erations arithm´etiques par les op´erations correspondantes sur les intervalles) est une fonction d’inclusion .
Soit F cette fonction, nous obtenons ´evidemment f (y) ∈ F (Y ), ∀y ∈ Y , F est donc bien une fonction d’inclusion [9]. Exemple 2 Si f : IR −→ IR est d´efinie par x 7→ x2 − 2x + 1 et si X = [−1 , 3 ], en rempla¸cant x par X dans l’expression de f , on obtient X 2 −2X +1 = [−5 , 12 ]. Si on utilise plutˆ ot l’expression ”´equivalente en arithm´etique r´eelle” f (x) = x(x − 2)+1, on obtient X(X −2)+1 = [−8 , 4 ], et enfin en utilisant l’´ecriture factoris´ee f (x) = (x − 1)2 , on obtient (X − 1)2 = [ 0 , 4 ]. 13
Optimisation D´eterministe Globale bas´ee sur l’Arithm´etique d’Intervalles
Cet exemple illustre clairement le fait que des expressions ´equivalentes en arithm´etique r´eelle ne le sont plus en arithm´etique par intervalles, mˆeme si chacune donne lieu a` un sur-encadrement de l’image de X par f . Propri´ et´ e 7 Pour une fonction quelconque, l’´evaluation optimale de cette fonction sur un intervalle est un but inaccessible : en effet, le probl`eme a priori plus simple de l’´evaluation a ` ε pr`es d’une fonction polynˆ omiale a ` plusieurs variables et a ` coefficients rationnels est NP-difficile [1]. Remarque 6 Toutes les extensions naturelles aux intervalles de diff´erentes expressions d’une mˆeme fonction ne sont pas ´equivalentes, [16]. Remarque 7 Si la fonction est monotone sur un intervalle X de II, alors nous pouvons calculer directement l’image directe de f , [f (xL ) , f (xU ) ], si f est croissante, f (X) = [f (xU ) , f (xL ) ], si f est d´ ecroissante.
Exemple 3 Soit f une fonction telle que ∀x ∈ X f (x) = xx + 3x + 1 o` u X = [ 0 , 1 ], alors F (X) = XX + 3X + 1 = [ 0 , 1 ] + [ 0 , 3 ] + [ 1 , 1 ] = [ 1 , 5 ], donc f (x∗ ) = min f (x) ∈ [ 1 , 5 ]. x∈X
Remarque 8 Les fonctions pr´e-d´eclar´ees ´etudi´ees ici sont : le logarithme n´ep´erien, et la racine carr´e. Ces fonctions sont strictement croissantes de 0 a ` +∞. L’exL tension aux intervalles s’obtient tout simplement par log(A) = [log(a ), log(aU )], √ √ √ et A = [ aL , aU ] ; ∀A ∈ I, nous ferons attention a ` la pr´esence de valeurs n´egatives (et nulles pour log) dans l’intervalle A. Les autres fonctions pr´e-d´eclar´ees pourront ˆetre calcul´ees par des d´eveloppements de Taylor, ou autres cf [3], [16].
1.3.2
Int´ erˆ et de la fonction d’inclusion
L’int´erˆet des fonctions d’inclusion est d’obtenir une majoration de l’image directe f (Y ), donc si une valeur quelconque n’appartient pas a` F (Y ), il ne peut appartenir a` f (Y ). En particulier, soit M IN un minimum d´ej`a trouv´e, si F L (Y ) est strictement sup´erieur a` M IN , il ne peut pas exister de meilleur minimiseur dans Y , les recherches dans ce sous-pav´e pourront donc ˆetre arrˆet´ees.
1.4 1.4.1
Probl` emes de l’arithm´ etique d’intervalles Probl` emes de d´ ependances
Il s’agit d’un ph´enom`ene expliquant la surestimation des r´esultats ; lors du remplacement du calcul de x × x par X × X, le r´esultat est {x × y / x ∈ X, y ∈ X}, autrement dit l’´egalit´e entre x et y est perdue. De mˆeme, dans l’´enonc´e de la sous-distributivit´e, l’´ecriture X × Y + X × Z est la 14
Optimisation D´eterministe Globale bas´ee sur l’Arithm´etique d’Intervalles
traduction de {x × y + x0 × z / x ∈ X, x0 ∈ X, y ∈ Y, z ∈ Z} et ne tient pas compte de l’identit´e de x et x0 ; c’est pour cette raison que cet intervalle est plus large que X × (Y + Z) dans lequel X n’apparaˆıt qu’une seule fois et ne peut donc pas ˆetre d´ecor´el´ee de ses autres occurences. Exemple 4 Consid´erons la fonction f (x) = x − x avec x ∈ [−1 , 1 ] on obtient par utilisation de l’arithm´etique d’intervalles standard : [−2 , 2 ] au lieu de [ 0 , 0 ]. De mani`ere g´en´erale, quand une variable apparaˆıt plusieurs fois dans l’´ecriture de la fonction , celle-ci est trait´ee comme si chaque occurrence de cette variable ´etait diff´erente. Exemple 5 Consid´erons la fonction carr´ee f (x) = x2 , pour tout x appartenant a ` l’intervalle X = [−1 , 2 ], alors on remarque que X 2 6= X × X parce que X 2 = [ 0 , 4 ] et X × X = [−2 , 4 ]. 1.4.2
G´ en´ eration des clusters
L’une des parties, les plus fondamentales de l’algorithme de ranch nd ound par intervalles, est la phase de subdivision du pav´e ´etudi´e [9]. Pour mettre en ´evidence cette difficult´e, prenons un exemple simple en dimension 2.
Exemple 6 (
min f (x) x∈X
o` u
X = [0 , 1]2 est le domaine d’int´erˆet.
(1.3)
Si l’optimum global est x∗ = [ 0.5 , 0.5 ], l’algorithme classique ranch nd ound risque d’aboutir en 3 ´etapes de d´ecomposition au cas suivant :(L repr`esentant la liste courante des optimiseurs). – 1e`re ´ etape : L = {([ 0 , 0.5 ], [ 0 , 1 ]) , ([ 0.5 , 1 ], [ 0 , 1 ])}
– 2e`me ´ etape : L = {([ 0 , 0.5 ], [ 0 , 0.5 ]) , ([ 0 , 0.5 ], [ 0.5 , 1 ]) , ([ 0.5 , 1 ], [ 0 , 1 ])} – 3e`me ´ etape : L = {([ 0 , 0.5 ], [ 0 , 0.5 ]) , ([ 0 , 0.5 ], [ 0.5 , 1 ]) , ([ 0.5 , 1 ], [ 0 , 0.5 ]) , ([ 0.5 , 1 ], [ 0 , 0.5 ])} Les quatres ´el´ements de L contiennent l’optimiseur du probl`eme, nous avons donc une redondance d’information autour de la solution. Un autre exemple permettant de caract´eriser cette redondance d’information, est 15
Optimisation D´eterministe Globale bas´ee sur l’Arithm´etique d’Intervalles
l’utilisation de ”mauvaise” fonctions d’inclusion dont l’´evaluation sur des sous-pav´es est tr`es ´eloign´ee de l’image directe. Ainsi, mˆeme quand les sous-pav´es sont de faibles tailles, cette ”mauvaise” fonction d’inclusion ne permet plus de d´ecider si le souspav´e consid´er´e contient ou pas l’un des optimiseurs du probl`eme. Cette redondance d’information est plus connue sous le terme de ”cluster”, et a ´et´e mise en ´evidence par le travaux de Kearfott et Du [11], montrant en particulier que le choix d’une bonne fonction d’inclusion r´eduit cet effet-l`a. Cependant, ce probl`eme de cluster persiste toujours et est l’un des facteurs de saturations m´emoire.
1.5
Conclusion
Nous avons pr´esent´e un algorithme d´eterministe d’optimisation globale pour r´esoudre des probl`emes sans contrainte. Cet algorithme est bas´e sur l’arithm´etique d’intervalles et sur les techniques de ranch nd ound qui permettent de d´eterminer un encadrement pr´ecis de l’optimum global. Cependant, il est quelques fois difficiles d’obtenir rapidement la solution absolue en utilisant directement l’arithm´etique d’intervalles, c’est pourquoi d’autres techniques ont ´et´e introduites telles que l’arithm´etique affine pr´esent´ee dans le chapitre suivant.
16
Chapitre 2
Arithm´ etique Affine Robuste Ce chapitre est consacr´e a` la pr´esentation d’une nouvelle technique a` savoir l’arithm´etique affine, qui est utilis´ee dans des algorithmes d´eterministes d’optimisation globale afin de construire de nouvelles fonctions d’inclusion. Dans une premi`ere partie, les notions de base de l’arithm´etique affine dite standard seront d´efinies : notations, conversions et op´erations. Une seconde partie est d´edi´ee a` l’arithm´etique affine robuste qui permet comme l’arithm´etique d’intervalles arrondie d’´eliminer toute possibilit´e d’erreur num´erique. La derni`ere partie montrera l’int´erˆet de l’arithm´etique affine robuste double pr´ecision en la comparant avec l’arithm´etique d’intervalles et l’arithm´etique affine standard au travers de tests num´eriques.
2.1
L’arithm´ etique affine standard
L’arithm´etique affine est une nouvelle approche pr´esent´ee en 1994 par Andrade, Comba et Stolfy [15], elle a ´et´e appliqu´ee sur des probl`emes d’infographie [10] et des probl`emes d’intersections de surfaces [13]. Le principe est le mˆeme que celui de l’arithm´etique d’intervalles, a` part que l’on va conserver une information affine tout au long des calculs. R´ecemment, ces m´ethodes ont ´et´e introduites dans les algorithmes de ranch nd ound afin d’am´eliorer la convergence vers l’optimum global [14]. Comme l’arithm´etique d’intervalles g´eneralis´ee pr´esent´ee par Hansen [2], ces techniques sont d´evelopp´ees pour prendre en compte les probl`emes de d´ependances occasionn´es par l’arithm´etique d’intervalles pr´esent´ee dans le chapitre 1.
2.1.1
Notation
Dans l’arithm´etique affine, chaque quantit´e x est repr´esent´ee par une forme affine x b telle que : x b = x 0 + x1 ε1 + · · · + x n εn = x0 + 17
n X i=1
xi ε i .
(2.1)
Arithm´etique Affine Robuste
o` u les xi sont des coefficients r´eels connus (stock´es en tant que nombres flottants), et les εi sont des variables symboliques, appel´ees les symboles de bruit, dont les valeurs sont inconnues mais appartiennent a` l’intervalle [−1, +1].
2.1.2
Conversions
– Intervalle −→ Forme Affine : x = [xL , xU ] , xL − x U xL + x U + εk . −→ x b= 2 2
(2.2)
o` u εk repr`esente l’incertitude de la valeur x, k est le nouvel incr´ement de la nouvelle variable symbolique ainsi produite (on additionne 1 a` cette valeur k apr`es chaque conversion). – Forme Affine −→ Intervalle : x b = x0 +
n X
xi ε i ,
i=1
n X
−→ X = x0 +
|xi |
i=1
!
× [−1, 1].
(2.3)
Comme dans l’arithm´etique d’intervalles, tous les op´erateurs standards +, −, ×, ÷ √ et d’autres fonctions, telles que x2 , x, |x| sont red´efinies pour des formes affines [15].
2.1.3
Op´ erations Classiques
x b ± yb = (x0 ± y0 ) + a±x b = (a ± x0 ) ± a×x b = ax0 +
n X
n X
i=1 n X
(xi ± yi )εi ,
xi ε i ,
(2.4)
i=1
axi εi .
i=1
o` ux b et yb sont des formes affines et a est un nombre r´eel.
Multiplication (op´ eration non affine) : Il est clair que la multiplication, la division, le carr´e, et la racine carr´ee ne sont pas des fonctions affines. Par cons´equent, les r´esultats n’ont pas l’allure d’une forme 18
Arithm´etique Affine Robuste
affine et ainsi une approximation affine doit ˆetre introduite. Un autre terme suppl´ementaire zk εk doit ˆetre rajout´e pour la repr´esentation d’erreur due a` la consid´eration de l’approximation affine [10], [15] .
x b × yb =
x0 +
= x0 y0 +
n X
i=1 n X
xi ε i
!
×
y0 +
n X
yi εi
i=1
(x0 yi + xi y0 )εi +
n X
! xi ε i
i=1
i=1
!
n X
yi εi
i=1
!
.
La meilleure approximation affine qui conserve la propri´et´e d’inclusion est :
x b × yb = x0 y0 +
n X
(x0 yi + xi y0 )εi +
n X i=1
i=1
|xi | ×
n X i=1
!
|yi | εn+1 .
(2.5)
Une nouvelle variable symbolique εn+1 (k = n+1) est introduite avec son vrai coefn n X X ficient correspondant donn´e par : |xi | × |yi |, ce qui est une limite sup´erieure
due a` l’approximation affine.
i=1
i=1
Remarque 9 Attention, apr`es avoir effectu´e une multiplication n ←− n + 1, et donc la forme affine croˆıt.
2.1.4
Difficult´ es dues aux op´ erations non affines (×)
1. Les formes affines croˆıssent par l’ex´ecution des op´erations non affines : p op´erations non affines produisent p nouvelles variables symboliques εk , k = n+1, · · · , n+p. Ceci produit quelques difficult´es techniques de mise en œuvre, parce que le nombre des op´erations non-affines est rarement connu et donc ce nombre doit ˆetre arbitrairement fix´e . 2. Le carr´e (ou mˆeme la puissance) de formes affines : consid´erons la fonction carr´ee x2 avec x ∈ X = [−2 , 2 ] – L’arithm´etique d’intervalle nous donne : X 2 = [0, 4] 6= X × X = [−4 , 4 ] – L’arithm´etique affine nous donne : x b = 2ε1 et x b2 = x b× x b = 4ε2 . La nouvelle variable symbolique ε2 est introduite afin de produire une approximation affine de la multiplication entre deux formes affines. La conversion du r´esultat affine en intervalle nous donne : [−4 , 4 ] !
On trouvera une ´etude et une r´esolution de ces deux probl`emes dans [7].
19
Arithm´etique Affine Robuste
2.2
Arithm´ etique affine robuste
Ce paragraphe est consacr´e a` la fiabilit´e et a` la robustesse aux erreurs num´eriques de l’arithm´etique affine. Au cours du calcul, une erreur num´erique peut toujours se produire. Notre but est d’encadrer les erreurs num´eriques dues aux ex´ecutions arithm´etiques flottantes, provoqu´ees par les coefficients flottants dans les formes affines. Ainsi, l’id´ee principale pour construire rigoureusement des formes affines, est de les convertir en formes affines d’intervalles telles que les coefficients r´eels xi soient remplac´es par des intervalles xi = [ xi , xi ] et donc que tous les calculs soient r´ealis´es par l’utilisation de l’analyse d’intervalle arrondie ; de cette fa¸con une arithm´etique affine robuste peut ˆetre ´elabor´ee ; o` u xi et xi sont des nombres flottants inf´erieurs et sup´erieurs les plus proches des coefficients r´eels xi .
2.2.1
Notation
Dans l’arithm´etique affine robuste, chaque quantit´e x est repr´esent´ee par une forme affine robuste x bR telle que : x bR = [x0 , x0 ] + [x1 , x1 ] × ε1 · · · + [xn , xn ] × εn
= [x0 , x0 ] +
n X i=1
(2.6)
[xi , xi ] × εi
Les xi et xi sont les nombres flottants inf´erieurs et sup´erieurs les plus proches des coefficients r´eels xi , et les εi sont des variables symboliques, appel´ees les symboles de bruit, dont les valeurs sont inconnues mais appartiennent a` l’intervalle [−1 , +1 ]. Comme dans l’arithm´ √etique d’intervalles, tous les op´erateurs standards et d’autres 2 fonctions telles que x , x, |x|, sont red´efinies pour les formes affines robustes. 2.2.2
Op´ erations Classiques
x bR ± ybR = a±x bR =
a×x bR =
[x0 , x0 ] ± [y0 , y0 ] +
a ± [x0 , x0 ] ±
a × [x0 , x0 ] +
n X i=1
n X i=1
n X i=1
[xi , xi ] ± [yi , yi ] × εi ,
[xi , xi ] × εi ,
(2.7)
a × [xi , xi ] × εi ,
o` ux bR et ybR sont des formes affines robustes et a est un intervalle r´eel. 20
Arithm´etique Affine Robuste
Multiplication (op´ eration non affine) : Il est clair que la multiplication, la division, le carr´e, et la racine carr´ee ne sont pas des fonctions affines. Par cons´equent les r´esultats ne sont pas des formes affines et ainsi une approximation affine doit ˆetre introduite. Un autre terme suppl´ementaire zk εk doit ˆetre rajout´e pour la repr´esentation de l’erreur due a` la consid´eration de l’approximation affine [10], [15] . ! ! n n X X x bR × ybR = [x0 , x0 ] + [xi , xi ] × εi × [y0 , y0 ] + [yi , yi ] × εi =
i=1
[x0 , x0 ] × [y0 , y0 ] +
n X i=1
+ [xi , xi ] × [y0 , y0 ] × εi +
i=1
[x0 , x0 ] × [yi , yi ]
n X i=1
[xi , xi ] × εi
!
n X
[yi , yi ]εi
i=1
!
.
La meilleure approximation affine qui conserve la propri´et´e d’inclusion est :
x bR × ybR =
[x0 , x0 ] × [y0 , y0 ] +
X n
+ [xi , xi ] × [y0 , y0 ] εi +
i=1 n X i=1
[x0 , x0 ] × [yi , yi ]
! n X [xi , xi ] × [yi , yi ] εn+1 . i=1
Une nouvelle variable symbolique εn+1 (k = n + 1) est pr´esent´ee avec son vrai n n X X coefficient correspondant donn´e par : [x , x ] × [y , y ] i i i i , ce qui est une i=1
limite sup´erieure due a` l’approximation affine.
2.3
i=1
Tests num´ eriques
Nous allons comparer sur des exemples classiques de probl`emes continus sans contraintes l’algorithme de ranch nd ound (cf. (Pb)) .
2.3.1
Pr´ esentation des fonctions
Les fonctions que nous avons pris en consid´eration sont des fonctions polynˆomiales a` 2, 3, 4 variables ( Tab. 2.1) .
21
Arithm´etique Affine Robuste
Fonction
Domaine de Recherche
f4 (x) = [1 + (x1 + x2 + 1)2 (19 − 14x1 + 3x21 − 14x2 + 6x1 x2 + 3x22 )] ×[30 + (2x1 − 3x2 )2 (18 − 32x1 + 12x21 + 48x2 − 36x1 x2 + 27x22 )]
X = [−2, 2]2 Golstein Price function
f5 (x) = (x1 − 1)(x1 + 2)(x2 + 1) × (x2 − 2)x23
X = [−2, 2]3
f6 (x) = 4x21 − 2x1 x2 + 4x22 − 2x2 x3 + 4x23 − 2x3 x4 +4x24 + 2x1 − x2 + 3x3 + 5x4
X = [−1, 3] × [−10, 10] × [1, 4] × [−1, 5]
f8 (x) = 4x21 − 2.1x41 + 13 x61 + x1 x2 − 4x22 + 4x42
X = [−1000, 1000]2 Ratschek function
f10 (x) = 6.94x41 + 0.96x31 + 9.68x21 + 4.16x1 +7.53x42 − 7.68x32 + 8.21x22 − 1.75x2 −7.45x1 x2 + 9.15x1 x22 + 3.70x1 x32 − 4.81x21 x2 −3.06x21 x22 − 0.79x31 x2 − 0.18
X = [−50, 50]2 A random polynomial function
Tab. 2.1 – Fonctions test´ees
Remarque 10 D’autres tests num´eriques sont pr´esent´es en annexe, Annexe A, B, C avec une description tr´es d´etaill´ee a ` savoir : le nombre d’it´erations, le temps CPU en secondes, le nombre d’´el´ements qui entourent les optimiseurs dans la liste La ` la fin de l’algorithme, la pr´ecision de la solution globale.
2.3.2
Algorithme MAX-PREC
Cet algorithme permet de d´eterminer la pr´ecision maximale que peut atteindre un algorithme de ranch nd ound utilisant diverses fonctions d’inclusion.
22
Arithm´etique Affine Robuste
εp , MAX sont fix´es par l’utilisateur de l’algorithme . D´ ebut 1. Y ←− X, pav´e initial 2. Calcul d’une borne inf´erieure de f sur X : ˜y et ˜f ←− f (mid(X)) 3. R´epeter
(a) Nbre-Iter ←− 1 (b) Tant que ˜f − ˜y > εp Faire
D´ ebut Partager Y par rapport a` sa plus large arˆete : ρ .. . .. . .. . Nbre-Iter ←− Nbre-Iter + 1 FinTantque
(d) εp ←− εp ÷ 10 4. jusqu’` a ˜f − ˜y ≤ εp ou Nbre-Iter == MAX 5. L’algorithme se termine avec le r´ esultat : ˜ [ ˜y , f ] de pr´ ecision 10 × εp . Fin
Algo. 2.1: Algorithme permettant de d´eterminer la pr´ecision maximale
23
Arithm´etique Affine Robuste
2.3.3
Analyse des r´ esultats
Nous expliquerons a` travers ce sous paragraphe, les diff´erents r´esultats obtenus dans les tableaux Tab. 2.2 , Tab. 2.3 . On note par : T(s)
ε AI AIDP AAS AASDP AAR AARDP
: : : : : :
Temps CPU en secondes, La pr´ecision, Arithm´etique d’Intervalles, Arithm´etique d’Intervalles Double-Pr´ecision, Arithm´etique Affine Standard, Arithm´etique Affine Standard dont les cœfficients sont impl´ement´es en Double-Pr´ecision, : Arithm´etique Affine Robuste, : Arithm´etique Affine Robuste dont les cœfficients sont impl´ement´es par des intervalles Double-Pr´ecision.
Pour toutes ces m´ethodes, nous avons utilis´e le cadre de l’algorithme de ranch nd ound de type Ichida-Fujii [12], avec les modifications donn´ees en Algo. 2.1. Les ex´ecutions num´eriques ont ´et´e r´ealis´ees sur Hewlett Packard computer (180 MHz), quadriprocessor Digital AlphaServer 8200 5/625.
Pbs
AI T(s)
ε
AIDP T(s)
ε
AAS T(s)
ε
f4
561.939
1
612.022
1
0.54101
10−3
f5
5.37695
10−3
130.150
10−4
0.34814
10−4
f6
295.560
10−1
307.64
10−1
0.83593
10−4
f8
4.07813
10−2
3.93408
10−2
0.69580
10−5
f10
51.8877
10−3
64.7539
10−3
0.41894
10−5
Tab. 2.2 – AI, AIDP, AAS
On remarque que mˆeme avec l’arithm´etique d’intervalles double-pr´ecision, l’arithm´etique affine standard reste toujours plus efficace en temps d’ex´ecution et en pr´ecision sur la solution globale. Les temps CPU peuvent ˆetre divis´es par 1000 pour 24
Arithm´etique Affine Robuste
une pr´ecision elle aussi divis´e par 1000 ( Tab. 2.2, f4 ). Pour plus de d´etails sur ces r´esultats cf. Annexe A, B, C. A travers le tableau Tab. 2.3 , on voit clairement la grande diff´erence sur la pr´ecision des solutions. Par exemple, prenons la fonction f4 , avec l’arithm´etique d’intervalles, la pr´ecision atteinte est 1 avec un temps d’ex´ecution qui vaut 612.022 secondes, et avec l’arithm´etique affine robuste double pr´ecision, on a aboutit a` une pr´ecision de 10−12 en seulement 6.12304 secondes, c’est a` dire le temps de CPU de l’arithm´etique d’intervalles est divis´e par 100 . Remarque 11 On voit clairement que le temps CPU de l’arithm´etique affine robuste double pr´ecision est bien meilleur que le temps CPU de l’arithm´etique affine robuste. Pbs
AASDP T(s)
ε
AAR T(s)
ε
AARDP T(s) ε
f4
1.47119
10−12
7.51074
10−3
6.12304
10−12
f5
0.86816
10−12
114.282
10−4
0.93015
10−12
f6
1.97509
10−13
8.1919
10−4
13.4169
10−12
f8
1.09082
10−14
9.09619
10−5
8.52197
10−14
f10
0.841796
10−14
8.74609
10−5
8.12597
10−14
Tab. 2.3 – AASDP, AAR, AARDP
La m´ethode la plus performante est la m´ethode de l’arithm´etique affine robuste double-pr´ecision. Grˆace a` elle, on ´evite la perte ´eventuelle de solutions par erreurs num´eriques et on garantit l’obtention de la solution globale avec une pr´ecision tr`es importante. Remarque 12 Nous avons essay´e de trouver un contre-exemple, permettant de montrer que l’arithm´etique affine standard n’est pas robuste en utilisant l’algorithme Algo. 2.2 qui g´en`ere de fa¸con al´eatoire des polynˆ omes de la forme : n n X X P (x) = ai xi et P (x, y) = aij xi y j o` u les ai et aij sont des coefficients r´eels i=0
i,j=0
et (x , y) ∈ IR2 , mais nous n’y sommes pas arriv´es. Ce qui prouve que l’arith25
Arithm´etique Affine Robuste
MAX est fix´e par l’utilisateur de l’algorithme . D´ ebut
1. Nbre-Iter ←− 1 . 2.
R´ epeter a. G´en´eration al´eatoire d’un polynˆome P . b. Sol1
←− le r´esultat obtenu par l’algorithme de ranch nd ound utilisant l’arithm´etique affine standard.
c. Sol2 ←− le r´esultat obtenu par l’algorithme de ranch nd ound utilisant l’arithm´etique affine standard robuste .
d. Nbre-Iter ←−Nbre-Iter + 1
3. Jusqu’` a Sol1 ∩ Sol2 = ∅ ou Nbre-Iter == MAX 4. Si Nbre-Iter == MAX Alors ! ! Pas de contre exemple Sinon Le polynˆome P est un contre exemple . Fin Si
Fin
Algo. 2.2: Algorithme de Recherche de Contre-Exemple
26
Arithm´etique Affine Robuste
m´etique affine standard reste fiable, au moins dans le cas de fonctions polynˆ omiales. Cet algoritme Algo. 2.2 permet de rechercher al´eatoirement des contre-exemples, afin de montrer que l’arithm´etique affine standard n’est pas robuste, dans le sens ou les calculs flottants effectu´es, peuvent engendrer un r´esultat faux : comparaison entre Sol1 et Sol2. Malgr´e les nombreuses ex´ecutions de cet algorithme, un tel contre-exemple n’a pu ˆetre mis a` jour, ce qui semblerait montrer que l’arithm´etique affine standard est num´eriquement satisffaisante pour les probl`emes d’optimisation de fonctions polynˆomiales.
2.4
Conclusion
Nous avons propos´e dans ce chapitre une arithm´etique affine robuste qui g`ere tous les probl`emes d’erreurs num´eriques. Le fait de repr´esenter les cœfficients par des flottants double-pr´ecision ou des intervalles double-pr´ecision permettait de gagner ´enorm´ement en pr´ecision, il est a` noter que ce n’est pas le cas de l’arithm´etique d’intervalles. Nous verrons dans le chapitre suivant une extension de l’arithmetique affine standard a` savoir les formes quadratiques pour am´eliorer les limites d’une fonction au-dessus d’un cadre.
27
Chapitre 3
Extension de l’Arithm´ etique Affine : Arithm´ etique Quadratique Dans ce dernier chapitre, nous exposerons l’arithm´etique quadratique qui est une extension de l’arithm´etique affine. Elle a ´et´e utilis´ee dans des algorithmes d´eterministes d’optimisation globale, toujours dans le but de construire de nouvelles fonctions d’inclusion plus performantes. Dans une premi`ere partie, les notions de base de l’arithm´etique quadratique dite standard seront d´efinies : notations, conversions et op´erations. Une seconde partie est consacr´ee a` l’arithm´etique quadratique robuste qui permet comme l’arithm´etique d’intervalles arrondie et l’arithm´etique affine robuste d’´eliminer toute possibilit´e d’erreur num´erique. La derni`ere partie montrera l’int´erˆet de l’arithm´etique quadratique robuste en la comparant avec l’arithm´etique affine robuste et l’arithm´etique affine standard au travers de tests num´eriques.
3.1
Arithm´ etique quadratique standard
Cette partie exposera, les notions de base de l’arithm´etique quadratique dite standard : notations, conversions et op´erations. 3.1.1
Notation
Dans l’arithm´etique quadratique, chaque quantit´e x est repr´esent´ee par une forme quadratique x bQ telle que : b + tbbε + b x bQ = t εAε c + ebεn+1 n n X X bbi εi + b = b a ε ε + c + ebεn+1 ij j i i,j=1
i=1
28
(3.1)
Extension de l’Arithm´etique Affine : Arithm´etique Quadratique
• • • • • • 3.1.2
b = (b A aij )1≤i,j≤n : matrice r´eelle, bb = (bbi )1≤i≤n : vecteur r´eel, b c : constante r´eelle, eb : l’erreur ; cœfficient r´eel, ε = (εi )1≤i≤n ∈ [−1 , 1 ] : symbole de bruit, εn+1 ∈ [−1, , 1 ] : symbole de bruit pour l’erreur. Conversions
– Intervalle −→ Forme Quadratique : x = [ x L , xU ] b −→ x
=
Avec
b + b εAε bε + cb + eb ε
+1 .
b = 0, A
xL − x U ), = ∃i ∈ {1, ..., n} tel que bbi = ( 2 et ∀j 6= i ∈ {1, ..., n} , bbj = 0 xL + x U = , 2 = 0.
bb
b c eb
– Forme Quadratique −→ Intervalle : b + tbbε + b εAε c + ebεn+1 , n n X X bbi εi + b = b aij εj εi + c + ebεn+1 ,
x bQ =
c −→ X
t
i,j=1
=
i=1
X
[− |b a | , |b a | ] +
= =1
+
X
=1
X
=1
[− |b b | , |b b | ]
b [0 , 1] + [ |b a c| , |b c| ] + [−|b e| , |b e| ].
29
Extension de l’Arithm´etique Affine : Arithm´etique Quadratique
– Forme Quadratique −→ Forme Affine :
b + tbbε + b εAε c + ebεn+1 , n n X X bbi εi + b = b aij εj εi + c + ebεn+1 ,
x bQ =
t
i,j=1
i=1
X
b = x0 + x ε + αε +1 . −→ x =1 x c, 0 = b b Avec xi = bi , i ∈ {1, ..., n} b , t εAε]. b α = M ax{|I L | , |I U |} o` u I = [−|b e| , |b e| ] + [t εAε – Forme Affine −→Forme Quadratique : x b = x0 +
M X
xi ε i .
i=1
b + = εAε b = A b b = b c = Avec eb =
b −→ x
3.1.3
b bε + cb + ebε
+1
.
0, (bbi )1≤i≤n = (xi )1≤i≤n , et M ≥ n + 1, x0 , M X | xi | , avec M ∈ IN tel que M ≥ n + 1. i=n+1
Op´ erations classiques
Addition et Soustraction :
Soient x bQ et ybQ des formes quadratiques standards et a un r´eel tels que : x bQ = ybQ =
donc b x
bx ε + εA t b εAy ε +
t
± yb
tb bx tb by
ε + b cx + ebx εn+1 , ε + b cy + eby εn+1 .
b ε + b = εA b ε + cb + eb ε 30
+1 .
(3.2)
Extension de l’Arithm´etique Affine : Arithm´etique Quadratique
Avec
yb
bx±y A bbx±y b cx±y ebx±y
bx ± A by , A bbx ± bby , b cx ± b cy , |b ex | + |b ey |.
= = = =
b ε + b ± a = εA c ± a) + eb ε b ε + (b
+1 .
(3.3)
Multiplication :
b ε + b b × yb = εA b ε + cb + eb ε x
Avec
I
i,j=1
b a × yb = εA Avec
n hX
ba×y A bba×y b ca×y eba×y
h
b axij εj εi +
n X i=1
i=1
bbx εi i
bx + b by + bbx tbby , A cx A bbx + b cx bby , IU + IL , = b cy b cx + 2 U L I −I = . 2
bx×y = b cy A bbx×y = b cy ebx×y
(3.4)
bx ε)(t εA by ε) (t ε A i by ε) + (tbby ε)(t εA bx ε) , + (tbbx ε)(t εA n n X X x bby εi = (b ey x bQ ) + (b ex ybQ ) + b a ε ε ij j i i
= (b ey x bQ ) + (b ex ybQ ) +
+
b cx×y
+1 .
ε + b b
= = = =
ε + c b
by , aA a bby , ab cy , |a eby |. 31
n iX
i,j=1
+e b
i,j=1
b ayij εj εi
ε
+1 .
(3.5)
Extension de l’Arithm´etique Affine : Arithm´etique Quadratique
Proposition 1 Soient F-QUAD (resp . F-AFFINE) la fonction d’inclusion associ´ee aux formes et op´erations quadratiques (resp. la fonction d’inclusion associ´ee aux formes affines). On a F-QUAD ⊂ F-AFFINE. Preuve : Ceci est du au fait que la forme affine est incluse dans la forme quadratique.
3.2
Arithm´ etique quadratique robuste
Ce paragraphe est consacr´e a` la repr´esentation des formes quadratiques de telle sorte que celles-ci soient robustes aux erreurs num´eriques. Au cours des calculs, une erreur num´erique peut toujours se produire ; notre but est d’encadrer ces erreurs dues aux calculs flottants entre les cœfficients des formes quadratiques. Ainsi, l’id´ee principale pour construire rigoureusement des formes quadratiques, est de les convertir en formes quadratiques a` cœfficient intervalle telles que : b est remplac´ee par une matrice d’intervalles A¯ = (¯ – La matrice r´eelle A aij )1≤i,j≤n , L U L U o` ua ¯ij = [(¯ aij ) , (¯ aij ) ] et (¯ aij ) , (¯ aij ) sont des nombres flottants inf´erieurs et sup´erieurs les plus proches des coefficients r´eels b aij , – Le vecteur r´eel bb est remplac´e par un vecteur d’intervalles ¯b = (¯bi )1≤i≤n o` u ¯bi = [(¯bi )L , (¯bi )U ] et (¯bi )L , (¯bi )U sont des nombres flottants inf´erieurs et sup´erieurs les plus proches des coefficients r´eels bbi , – La constante r´eelle b c est remplac´ee par un intervalle c¯ = [¯ cL , c¯U ] o` u c¯L et c¯U sont des nombres flottants inf´erieurs et sup´erieurs les plus proches de b c,
– L’erreur r´eelle eb est remplac´ee par un intervalle e¯ = [¯ eL , e¯U ] o` u e¯L et e¯U sont des nombres flottants inf´erieurs et sup´erieurs les plus proches de eb.
3.2.1
Notation
Dans l’arithm´etique quadratique robuste, chaque quantit´e x est repr´esent´ee par une forme quadratique robuste x¯Q telle que : ¯ + t¯bε + c¯ + e¯εn+1 x¯Q = t εAε n n X X L U = [(¯ aij ) , (¯ aij ) ].εj εi + [(¯bi )L , (¯bi )U ].εi i,j=1 i=1 + [¯ cL , c¯U ] + [¯ eL , e¯U ]εn+1 .
(3.6)
Les (¯ aij )L et (¯ aij )U , (resp (¯bi )L et (¯bi )U ) , (resp c¯L et c¯U ) , (resp e¯L et e¯U ) sont des nombres flottants inf´erieurs et sup´erieurs les plus proches des coefficients 32
Extension de l’Arithm´etique Affine : Arithm´etique Quadratique
r´eels b aij , (resp bbi ) , (resp b c), (resp eb). Les εi , i ∈ {1, ..., n + 1} sont des variables symboliques, appel´ees les symboles de bruit, dont les valeurs sont inconnues mais appartiennent a` l’intervalle [−1 , 1 ] . 3.2.2
Op´ erations classiques :
Addition et Soustraction :
Soient x¯Q et y¯Q des formes quadratiques robustes, et a un intervalle r´eel tels que : t
εA¯x ε + t¯bx ε + c¯x + e¯x εn+1 , εA¯y ε + t¯by ε + c¯y + e¯y εn+1 .
x¯Q = y¯Q =
t
± y ¯
¯ ¯ ¯ ε + ¯ = εA b¯ ¯ ε + c¯¯ ¯ + e¯¯ ¯ε
donc x ¯
Avec
y¯
A¯x¯±¯y ¯bx¯±¯y c¯x¯±¯y e¯x¯±¯y
(3.7)
A¯x ± A¯y , ¯bx ± ¯by , c¯x ± c¯y , |¯ ex | + |¯ ey |.
= = = =
+1 .
¯ ε + ¯ ± a = εA b ε + (¯ c ± a) + e¯ ε
+1 .
(3.8)
Multiplication
¯ ¯ x ¯ ×y ¯ = εA
¯ ε + ¯ b¯
¯ ε + c ¯¯
33
¯ + e ¯¯
¯ε
+1 .
(3.9)
Extension de l’Arithm´etique Affine : Arithm´etique Quadratique
Avec
I
3.3
i=1
a¯xij εj εi +
i,j=1
e¯x¯×¯y
Avec
n hX
A¯aׯy ¯baׯy c¯aׯy e¯aׯy
n X
¯bx εi i
i=1
A¯x + c¯x A¯y + ¯bx t¯by , ¯bx + c¯x ¯by , IU + IL , = c¯y c¯x + 2 U L I −I . = 2
A¯x¯×¯y = c¯y ¯bx¯×¯y = c¯y
¯ a×y ¯ = εA
(t εA¯x ε)(t εA¯y ε) i + (t¯bx ε)(t εA¯y ε) + (t¯by ε)(t εA¯x ε) , n n X X y ¯ = (¯ ey x¯Q ) + (¯ ex y¯Q ) + bi ε i a ¯xij εj εi
= (¯ ey x¯Q ) + (¯ ex y¯Q ) +
+
c¯x¯×¯y
h
¯ ε + ¯ b
= = = =
¯ ε + c ¯
n iX
i,j=1
a¯yij εj εi .
i,j=1
¯ + e ¯
¯ ε
+1 .
(3.10)
a A¯y , a ¯by , a c¯y , |a| |¯ ey |.
Application aux fonctions quadratiques
On consid`ere la fonction quadratique : f (x) = t xAx + t bx + c • • • • •
(3.11)
x = (xi )i∈{1,...,n} , xi ∈ Xi = [xLi , xUi ] , i ∈ {1, . . . , n} , A = (aij )1≤i,j≤n est une matrice r´eelle , b = (bi )1≤i≤n est un vecteur r´eel , c est une constante r´eelle.
Remarque 13 L’erreur est toujours nulle, eb = 0.
Proposition 2 Si f est une fonction quadratique f (x) = t xAx + t bx + c, alors b + tbbε + b notre forme quadratique fb s’´ecrit fb = t εAε c , o` u 34
Extension de l’Arithm´etique Affine : Arithm´etique Quadratique n 1X b • εAε = aij ωj ωi εj εi , 4 i,j=1 n n n 1X 1X 1X • tbbε = b i ωi ε i + aij mj ωi εi + aij ωj mi εj , 2 i=1 4 i,j=1 4 i,j=1 n n i 1 X h1 X aij mj + bi mi + c , • b c= 2 i=1 2 j=1 t
• mi = xLi + xUi et ωi = xLi − xUi . Preuve : Soit f (x) = t xAx + t bx + c On a
Or
x bi = t
mi ω i + εi , o` u εi ∈ [−1 , 1 ]. 2 2
xAx = < Ax , x > n X = aij xj xi =
i,j=1 n X
aij
i,j=1
donc t
m
j
2
+
ωj mi ωi εj + εi 2 2 2
n n i 1X 1X h xAx = aij ωj ωi εj εi + aij mj ωi εi + ωj mi εj 4 i,j=1 4 i,j=1 n 1X aij mj mi . + 4 i,j=1
On a t
bx =
n X i=1 n X
b i xi m
ωi = bi + εi 2 2 i=1 n n 1X 1X t b i ωi ε i + b i mi . bx = 2 i=1 2 i=1 i
35
Extension de l’Arithm´etique Affine : Arithm´etique Quadratique
P osons n 1X b aij ωj ωi εj εi εAε = 4 i,j=1 n n n 1X 1X 1X tb bε = b i ωi ε i + aij mj ωi εi + aij ωj mi εj . 2 i=1 4 i,j=1 4 i,j=1 n n i 1 X h1 X b c = aij mj + bi mi + c. 2 i=1 2 j=1 t
donc
fb = Avec
n X
i,j=1
b aij εj εi +
n X i=1
bbi εi + b c.
εij = εji = εi εj = εj εi symbole de bruit.
Et b + tbbε + b fb = t εAε c.
b est sym´etrique et Proposition 3 Si la matrice A ´etait sym´etrique, alors A n n h i 1X X tb aij mj ωi + bi ωi εi . bε = 2 i=1 i,j=1 Preuve : La matrice A est sym´etrique donc aij = aji ∀(i, j) ∈ {1, ..., n}2 , Et
n X
aij ωj mi εj
=
i,j=1
= = Et par suite
tb
bε =
1 2
n h X n X i=1
i,j=1
n X
i,j=1 n X
i,j=1 n X
aij mi ωj εj aji mi ωj εj aij mj ωi εi
i,j=1
i aij mj ωi + bi ωi εi .
Proposition 4 Si la matrice A ´etait sym´etrique d´efinie positive, alors b = 1 (aij ωj ωi )1≤i,j≤n est aussi sym´etrique d´efinie positive. A 4 36
Extension de l’Arithm´etique Affine : Arithm´etique Quadratique
Preuve : En effet ∀(i, j) ∈ {1, ..., n}2 , ωj ωi ≥ 0, et l’ensemble des matrices sym´etriques constitue un espace vectoriel. Remarque 14 Il nous reste plus qu’` a transformer notre forme quadratique b + tbbε + b fb = t εAε c , en intervalle : n n n X X X b b −→ [− |b aij | , |b aij | ] + [− |bi | , |bi | ] + b aii [0 , 1] + [b c, b c]. i6=j=1
i=1
i=1
Proposition 5 Soient F-QUAD (resp . F) la fonction d’inclusion associ´ee aux formes et aux op´erations quadratiques (resp. Fonction d’inclusion standard) et X ∈ IRn , • Si mid(X)=0 alors F-QUAD(X) = F(X). • F-QUAD(X) 6= F(X) en toute g´en´eralit´e.
Preuve :
1. Soient X = (Xi )1≤i≤n ∈ IRn tel que mid(X) = 0 . On a mid(X) = 0 , donc mi = xi L + xi U = 0 ∀i ∈ {1, ..., n} ωi εi = [xi L − xi U , xi L + xi U ] et |xi L | = |xi U | , donc ωi εi = 2Xi , d’o` u: n X b = • t εAε aij Xj Xi = t XAX , i,j=1
• tbbε =
n X
bi Xi = t bX ,
i=1
• b c=c.
2. Voir les contre-exemples paragraphe 3.3.1.
3.3.1
Exemples sur les formes quadratiques
Soit f (x) = t xAx + t bx + c une forme quadratique telle que : • • • •
x ∈ IRn tel que x = (xi )1≤i≤n , A ∈ n×n (IR) , b ∈ IRn tel que b = (bi )1≤i≤n , c ∈ IR .
Pour n=4, on fait un tirage al´eatoire des formes quadratiques ; prenons par exemple : 37
Extension de l’Arithm´etique Affine : Arithm´etique Quadratique
• Exemple 1 : 9.0 5.0 −6.0 5.0 −1.0 −8.0 1.0 8.0 ,b= A= 8.0 0.0 9.0 −6.0 8.0 5.0 6.0 0.0
1.0 4.0 , c = −3.0 −8.0 8.0
et x ∈ X = [−0.1 , 1.7 ]4 On a : • F (X) = [−86.9200041632356 , 188.7100100861494] • F − AF F IN E(X) = [−108.610005361736 , 157.9700083273654] • F − QU AD(X) = [−101.320004963428 , 146.6300077077749] • Exemple 2 :
0.0 5.0 10.0 10.0 10.0 −3.0 0.0 10.0 ,b= A= −6.0 8.0 0.0 0.0 −2.0 7.0 10.0 0.0
et x ∈ X = [−0.1 , 1.7 ]4
−2.0 −2.0 , c = 3.0 2.0 −1.0
On a : • F (X) = [−49.3900025358798 , 210.5600115099554] • F − AF F IN E(X) = [−109.510006173849 , 186.2300103959448] • F − QU AD(X) = [−109.510006173849 , 183.8000102631751]
3.4
R´ esultats num´ eriques
Nous allons comparer sur les exemples pris au chapitre 2 l’algorithme de ranch nd ound utilisant les formes quadratiques comme fonctions d’inclusion (cf. (Pb)) .
3.4.1
Analyse des r´ esultats
Nous expliquerons a` travers ce sous paragraphe, les diff´erents r´esultats obtenus dans les tableaux Tab. 3.1, Tab. 3.2. On note :
38
Extension de l’Arithm´etique Affine : Arithm´etique Quadratique Pbs NI
AQS T(s)
f4
856
0.79
10−3
1447
0.54
10−3
1066
3.22
10−12
1838
1.47
10−12
f5
304
0.29
10−4
423
0.34
10−4
69
0.80
10−12
907
0.86
10−12
f6
1652
1.60
10−5
2412
0.83
10−4
1409
1.80
10−13
5322
1.97
10−13
f8
1151
1.10
10−5
2207
0.69
10−5
1547
1.79
10−14
2979
1.09
10−14
f9
1786
1.88
10−37
3321
1.13
10−36
7192
8.21
10−307
13969
7.98
10−306
f10
461
0.79
10−6
815
0.41
10−5
631
1.27
10−14
1178
0.84
10−14
NI
AAS T(s)
NI
AQSDP T(s)
NI
AASDP T(s)
Tab. 3.1 – AQS, AAS, AQSDP, AASDP
NI T(s)
ε AAS AASDP AAR AARDP AQS AQSDP AQR AQRDP
: : : : :
Nombre d’it´erations, Temps CPU en secondes, La pr´ecision, Arithm´etique Affine Standard, Arithm´etique Affine Standard dont les cœfficients sont impl´ement´es en Double-Pr´ecision, : Arithm´etique Affine Robuste, : Arithm´etique Affine Robuste dont les cœfficients sont impl´ement´es par des intervalles Double-Pr´ecision, : Arithm´etique Quadratique Standard, : Arithm´etique Quadratique Standard dont les cœfficients sont impl´ement´es en Double-Pr´ecision, : Arithm´etique Quadratique Robuste, : Arithm´etique Quadratique Robuste dont les cœfficients sont impl´ement´es par des intervalles Double-Pr´ecision.
Pour toutes ces m´ethodes, nous avons utilis´es le cadre de l’algorithme de ranch nd ound de type Ichida-Fujii [12], avec les modifications donn´ees en Algo. 2.1. Les ex´ecutions num´eriques ont ´et´e r´ealis´ees sur Hewlett Packard computer (180 MHz), quadriprocessor Digital AlphaServer 8200 5/625.
A travers les tableaux Tab. 3.1 et Tab. 3.2, on voit nettement la grande diff´erence sur le temps d’execution et le nombre d’it´erations entre l’arithm´etique 39
Extension de l’Arithm´etique Affine : Arithm´etique Quadratique
quadratique et l’arithm´etique affine. Pbs NI
AQR T(s)
NI
AAR T(s)
f4
857
2.18
10−3
1451
7.51
10−3
1071
3.22
10−12
1849
6.12
10−12
f5
13345
23.7
10−4
29525
114.2
10−4
698
1.21
10−12
919
0.93
10−12
f6
1451
5.19
10−4
2400
8.19
10−4
4121
15.7
10−12
5495
13.4
10−12
f8
1157
2.98
10−5
2216
9.09
10−5
1553
4.24
10−14
3009
8.52
10−14
f9
1737
3.64
10−36
3335
9.77
10−36
7097
16.8
10−305
13940
31.9
10−307
f10
426
2.05
10−5
816
8.74
10−5
632
3.32
10−14
1180
8.12
10−14
NI
AQRDP T(s)
NI
AARDP T(s)
Tab. 3.2 – AQR, AAR, AQRDP, AARDP
Remarque 15 • En g´en´eral le temps CPU de l’arithm´etique quadratique robuste (resp. robuste double pr´ecision) est deux fois plus rapide que l’arithm´etique affine robuste (resp. robuste double pr´ecision), mais pour les fonctions Tab. 3.2, pour f 5, f 10 , il est quatre fois plus rapide. • le nombre d’it´erations est divis´e par deux pour l’arithm´etique quadratique robuste Tab. 3.2, pour f 5, f 8, f 9, f 10 . • la pr´ecision reste la mˆeme pour l’arithm´etique quadratique et affine. Avec l’arithm´etique quadratique qu’elle soit robuste ou standard, on gagne ´enorm´ement sur le temps CPU et le nombre d’it´erations. Donc la m´ethode la plus efficace est celle de l’arithm´etique quadratique robuste double-pr´ecision, grˆace a` elle on assure l’obtention de la solution globle avec une grande pr´ecision dans un temps deux fois plus rapide que l’arithm´etique affine robuste double pr´ecision. Remarque 16 Des tests num´eriques sont mis en Annexe D avec une description tr´es d´etaill´ee a ` savoir : le nombre d’it´erations, le temps de CPU en secondes, le nombre d’´el´ements qui entourent les optimiseurs dans la liste L a ` la fin de l’algorithme, la pr´ecision et la solution globale.
40
Extension de l’Arithm´etique Affine : Arithm´etique Quadratique
3.5
Conclusion
Dans ce dernier chapitre, nous avons expos´e une extension de l’arithm´etique affine standard a` savoir l’arithm´etique quadratique, toujours dans le but de construire de nouvelles fonctions d’inclusion plus performantes. Ces derni`eres formes se sont av´er´ees particuli`erement efficaces quant a` la r´esolution de probl`emes polynomiaux, am´eliorant les temps CPU et le nombre d’it´erations, d’environ un facteur deux par rapport aux formes affines.
41
Conclusion Le retour au premier plan de l’optimisation globale correspond a` un besoin industriel. De nombreuses applications, que ce soit au niveau de la conception ou de l’exploitation se ram`enent a` la recherche d’optima qui n’entrent pas dans le cadre des hypoth`eses simplificatrices qui facilitent cette tˆache (convexit´e et donc unicit´e, diff´erentiabilit´e, existence de points stationnaires,...). L’avantage de ces m´ethodes par intervalles, est de fournir avec certitude l’optimum global ainsi que tous les optimiseurs, quelle que soit la nature du probl`eme : continu, mixte, avec ou sans contrainte. Dans le premier chapitre, nous avons pr´esent´e un algorithme d´eterministe d’optimisation globale pour r´esoudre des probl`emes sans contrainte. Cet algorithme est bas´e sur l’arithm´etique d’intervalles et sur les techniques de ranch nd ound, qui permettent de d´eterminer un encadrement pr´ecis de l’optimum global.
Dans le deuxi`eme chapitre, nous avons propos´e une arithm´etique affine robuste qui g`ere tous les probl`emes d’erreurs num´eriques. Nous avons montr´e aussi num´eriquement que la repr´esentation des cœfficients par des flottants double-pr´ecisions ou des intervalles double-pr´ecisions permet d’augmenter consid´erablement la pr´ecision de l’encadrement de l’optimum global. Dans le dernier chapitre, nous avons expos´e une extension de l’arithm´etique affine standard a` savoir l’arithm´etique quadratique, toujours dans le but de construire de nouvelles fonctions d’inclusion. Ces derni`eres formes se sont av´er´ees particuli`erement efficaces quant a` la r´esolution de probl`emes polynomiaux ; les temps CPU et le nombre d’it´erations sont am´elior´es, d’environ un facteur deux par rapport aux formes affines. Dans ce rapport, l’int´erˆet de l’utilisation des formes affines et des formes quadratiques a ´et´e montr´e sur dix exemples polynomiaux standards. Au vu de ces r´esultats, il devient clair que ces m´ethodes apparaissent incontournables pour r´esoudre des probl`emes d’optimisation globale avec une tr`es grande pr´ecision. Ces m´ethodes affines et quadratiques ont donc beaucoup d’int´erˆet lorsque la pr´ecision et la robustesse num´erique sont des conditions de stabilit´e de la r´esolution de certains probl`emes.
42
Bibliographie [1] A.A GAGANOV Computational complexity of the range of the polunomial in several variables, Cybernetics, pages 418-425, 1985. [2] E. HANSEN A generalized interval arithmetic, in Interval Mathematics, K. Nickel, ed., no. 29 in Lecture Notes in Computer Science, Springer Verlag, 331-344 - (1975). [3] E. HANSEN Global Optimization Using Interval Analysis, MARCEL DEKKER, INC. 270 Madison Avenue, New York, New York 10016 - (1992). [4] F. MESSINE M´ethodes d’Optimisation Globale bas´ees sur l’Analyse d’Intervalle pour la R´esolution de probl`emes avec contraintes, Th`ese de Doctorat pr´epar´ee a` l’IRIT-ENSEEIHT, INP Toulouse, septembre 1997. [5] F. MESSINE, Bertrand NOGAREDE and Jean-Louis LAGOUANELLE Optimal Design of Electromechanical Actuators : A New Method Based on Global Optimization, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 34, No. 1, January 1998. [6] F. MESSINE, J.L. LAGOUANELLE Enclosure Methods for Multivariate Differentiable Functions and Application to Global Optimization, Journal of Universal Computer Science, Vol. 4, No 6, pp 589-603, Springer Verlag - (1998). [7] F. MESSINE Extension of Affine Arithmetic : Application to Unconstraineded Global Optimisation, Rapport Interne du D´epartement d’Informatique de l’UPPA n◦ R2I00-03 en soumission dans JUCS. [8] G. ALEFELD, J. HERZBERGER Introduction to Interval Computations, ACADEMIC PRESS, INC., 11 Fifth Avenue, New York, New York 10003 (1983). [9] H. RATSCHEK, J. ROKNE New Computer Methods for Global Optimisation, ELLIS HORWOOD LIMITED Market Cross House, Cooper Street, Chichester, West Sussex, PO19 1EB, England - 1998. [10] J.L.D. COMBA, J. STOLFI Affine Arithmetic and its Applications to Computer Graphics, SIBGRAPI’93, Recife, PE (Brazil), October 20-22 - (1993). [11] K. DU, R. B. KEARFOTT The Cluster Problem in Multivariate Global Optimization, Journal of Global Optimization : 10 (27-32) - (1996). [12] K. ICHIDA, Y. FUJII An Interval Arithmetic Method for Global Optimization, Computing : 23 (85-97) - (1979). [13] L.H. DE FIGUEIREDO Surface Intersection using Affine Arithmetic, Proceedings of Graphics Interface’96, 168-175 - (1996). 43
BIBLIOGRAPHIE
[14] L.H. DE FIGUEIREDO, R. VAN IWAARDEN, J. STOLFY Fast Interval Branch and Bound Methods for Unconstrained Global Optimization with Affine Arithmetic, Forthcoming in SIAM Journal of Optimization on March 19 (1997). [15] M.V.A. ANDRADE, J.L.D. COMBA, J. STOLFI Affine Arithmetic, INTERVAL’94, St. Petersburg (Russia), March 5-10 - (1994). [16] R. E. MOORE Interval Analysis, Prentice Hall, INC. Englewood Cliffs, N.J. - (1966). [17] R.J. Hanson Interval Arithmetic as Closed Arithmetic System on a Computer, Technical Report 167, Jet Propulsion Laboratory, 1968. [18] R. HORST, P.M. PARDALOS Nonconvex Optimization and its Applications : Handbook of Global Optimization, Kluwer Academic Publishers - (1995). [19] R. B. KEARFOTT Rigorous Global Search : Continuous Problems, Kliwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London -1996. [20] W.M. KAHAN A More Complete Interval Arithmetic, Technical Report Lecture notes for a summer courses, University of Michigan, 1986.
44
Annexe A
Tests Num´ eriques Les notations utilis´ees dans les annexes suivantes sont : NI : Nombre d’It´erations, T(s) : Temps de CPU en secondes, NP : Nombre d’´el´ements qui entourent les optimiseurs dans la liste L, a` la fin de l’algorithme, ε : La pr´ecision. Les dix fonctions polynomiales test´ees dans les annexes suivantes sont repr´esent´ees dans Tab. A.1.
45
Tests Num´eriques
Fonction
Domaine de Recherche
f1 (x) = 1 + (x21 + 2)x2 + x1 x22
X = [1, 2] × [−10, 10]
f2 (x) = 2x21 − 1.05x41 + x22 − x1 x2 + 16 x62
X = [−2, 4]2
f3 (x) = (x1 − 2x2 − 7)2 + (2x1 + x2 − 5)2
X = [−2.5, 3.5] × [−1.5, 4.5]
f4 (x) = [1 + (x1 + x2 + 1)2 (19 − 14x1 + 3x21 − 14x2 + 6x1 x2 + 3x22 )] ×[30 + (2x1 − 3x2 )2 (18 − 32x1 + 12x21 + 48x2 − 36x1 x2 + 27x22 )]
X = [−2, 2]2 Golstein Price function
f5 (x) = (x1 − 1)(x1 + 2)(x2 + 1) × (x2 − 2)x23
X = [−2, 2]3
f6 (x) = 4x21 − 2x1 x2 + 4x22 − 2x2 x3 + 4x23 − 2x3 x4 +4x24 + 2x1 − x2 + 3x3 + 5x4 f7 (x) = 0.26(x21 + x22 ) − 0.48x1 x2
X = [−1, 3] × [−10, 10] × [1, 4] × [−1, 5]
X = [−100, 100]2 Matyas function
f8 (x) = 4x21 − 2.1x41 + 13 x61 + x1 x2 − 4x22 + 4x42
X = [−1000, 1000]2 Ratschek function
f9 (x) = 12x21 − 6.3x41 + x61 + 6x2 (x2 − x1 )
X = [−100, 100]2 Three Hump function
f10 (x) = 6.94x41 + 0.96x31 + 9.68x21 + 4.16x1 +7.53x42 − 7.68x32 + 8.21x22 − 1.75x2 −7.45x1 x2 + 9.15x1 x22 + 3.70x1 x32 − 4.81x21 x2 −3.06x21 x22 − 0.79x31 x2 − 0.18
X = [−50, 50]2 A random polynomial function
Tab. A.1 – Les Fonctions Tests
46
Annexe B
R´ esultat pour la Fonction d’Inclusion Standard Dans cette annexe, nous pr´esenterons les r´esultats obtenus par l’arithm´etique d’intervalles et l’arithm´etique d’intervalles double-pr´ecision. NI
T(s)
NP
ε
Solution
f1
56016
309.274
40478
10−5
[−3.5001 , −3.5 ]
f2
1119
0.43896
13
10−37
[−4.70198 10−38 , 2.35099 10−38 ]
f3
2985
0.40722
1469
10−5
[ 0.449998 , 0.45002 ]
f4
117582
561.939
14230
1
[ 2.8037 , 3.00016 ]
f5
15964
5.37695
6193
10−3
[−36.0001 , −36.0 ]
f6
477740
295.560
40882
10−1
[ 5.72904 , 5.78708 ]
f7
53173
5.74805
757
10−37
[−2.41761 10−38 , 1.17549 10−38 ]
f8
13125
4.07813
7089
10−2
[−1.03299 , −1.03163 ]
f9
7184
1.56006
106
10−36
[−1.58692 10−37 , 1.23427 10−37 ]
f10
26445
51.8877
19759
10−3
[−0.61622 , −0.61585 ]
Pbs
Tab. B.1 – R´esultat de l’Arithm´etique par Intervalles 47
R´esultat pour la Fonction d’Inclusion Standard
NI
T(s)
NP
ε
Solution
f1
31501
49.89
16193
10−5
[−3.50000116101923 , −3.49999977648258 ]
f2
9160
4.69726
14
10−306
[−8.900295434028813 10−308 , 4.450147717014409 10−308 ]
f3
26453
13.9082
10597
10−7
[ 0.449999996256545 , 0.450000008381906 ]
f4
117552
612.022
14231
1
[ 2.80383169344124 , 3.00000576609289 ]
f5
49432
130.150
20783
10−4
[−36.0000110098563 , −35.999860525148 ]
f6
47738
307.64
40580
10−1
[ 5.72904586791991 , 5.78707885742181 ]
f7
418273
43.8291
779
10−307
[−4.576245116127937 10−308 , 2.225073858507201 10−308 ]
f8
13125
3.93408
7089
10−2
[−1.03312759222458 , −1.03162844126802 ]
f9
12956
5.69287
614
10−306
[−3.00384994271825 10−307 , 2.33632756635285 10−307 ]
f10
26419
64.7539
19732
10−3
[−0.61616687774337 , −0.61585524060315]
Pbs
Tab. B.2 – R´esultat de l’Arithm´etique par Intervalles Double-Precision
48
Annexe C
R´ esultat pour les Formes Affines Dans cette annexe, nous pr´esenterons les r´esultats obtenus par l’arithm´etique affine standard, l’arithm´etique affine standard double-pr´ecision, l’arithm´etique affine robuste et l’arithm´etique affine robuste double-pr´ecision.
Pbs
NI
T(s)
NP
ε
Solution
f1
106
0.19091
20
10−5
[−3.5 , −3.5 ]
f2
1345
0.79296
20
10−37
[−5.87748 10−38 , 2.35099 10−38 ]
f3
125
0.21240
26
10−5
[ 0.45 , 0.450002 ]
f4
1447
0.54101
27
10−3
[ 2.9999 , 3.00015 ]
f5
423
0.34814
54
10−4
[−36.0 , −36.0 ]
f6
2412
0.83593
687
10−4
[ 5.77083 , 5.77084 ]
f7
4335
1.15283
95
10−37
[−5.87747 10−38 , 1.17549 10−38 ]
f8
2207
0.69580
47
10−5
[−1.03163 , −1.03163 ]
f9
3321
1.13135
93
10−36
[−4.70198 10−38 , 1.41059 10−37 ]
f10
815
0.41894
21
10−5
[−0.61586 , −0.61585 ]
Tab. C.1 – R´esultat de l’Arithm´etique Affine Standard
49
R´esultat pour les Formes Affines
Pbs
NI
T(s)
NP
ε
Solution
f1
445
0.39062
193
10−5
[−3.50001 , −3.5 ]
f2
1308
3.98096
15
10−36
[−1.88079 10−37 , 2.35099 10−38 ]
f3
123
0.28173
26
10−5
[ 0.449998 , 0.450002 ]
f4
1451
7.51074
31
10−3
[ 2.99983 , 3.00016 ]
f5
29525
114.282
26151
10−4
[−36.0001 , −36.0 ]
f6
2400
8.1919
680
10−4
[ 5.77082 , 5.77084 ]
f7
4343
3.68311
87
10−37
[−1.05795 10−37 , 1.17549 10−38 ]
f8
2216
9.09619
58
10−5
[−1.03163 , −1.03163 ]
f9
3335
9.77344
87
10−36
[−6.23013 10−37 , 1.41059 10−37 ]
f10
816
8.74609
21
10−5
[−0.61586 , −0.61585 ]
Tab. C.2 – R´esultat de l’Arithm´etique Affine Robuste
50
R´esultat pour les Formes Affines
Pbs
NI
T(s)
NP
ε
Solution
f1
226
0.53808
34
10−13
[−3.5 , −3.49999999999999 ]
f2
10227
10.9702
14
10−306
[−1.112536929253602 10−307 , 4.450147717014411 10−308 ]
f3
268
0.53425
26
10−14
[ 0.4499999999999 , 0.450000000000007 ]
f4
1838
1.47119
29
10−12
[ 2.9999999999999 , 3.000000000000028 ]
f5
907
0.86816
70
10−12
[−36.00000000001 , −35.999999999999995 ]
f6
5322
1.97509
660
10−13
[ 5.7708333333332 , 5.770833333333335 ]
f7
33805
6.625
95
10−306
[−1.11253692925360 10−307 , 2.225073858507201 10−308 ]
f8
2979
1.09082
49
10−14
[−1.03162845348366 , −1.03162845348366 ]
f9
13969
7.98632
209
10−306
[−8.900295434028817 10−308 , 2.670088630208643 10−307 ]
f10
1178
0.841796
34
10−14
[−0.61585524178857 , −0.61585524178857 ]
Tab. C.3 – R´esultat de l’Arithm´etique Affine Standard Double-Pr´ecision
51
R´esultat pour les Formes Affines
Pbs
NI
T(s)
NP
ε
Solution
f1
227
0.41796
34
10−13
[−3.500000000000001 , −3.499999999999998 ]
f2
10227
22.61523
14
10−306
[−3.560118173611533 10−307 , 4.450147717014411 10−308 ]
f3
280
0.52319
42
10−14
[ 0.44999999999997 , 0.450000000000004 ]
f4
1849
6.12304
39
10−12
[ 2.99999999999967 , 3.000000000000028 ]
f5
919
0.93015
81
10−12
[−36.0000000000001 , −35.99999999999995 ]
f6
5495
13.4169
1057
10−12
[ 5.770833333333332 , 5.77083333333346 ]
f7
33805
22.1889
95
10−306
[−2.002256647565648 10−307 , 2.225073858507201 10−308 ]
f8
3009
8.52197
93
10−14
[−1.03162845348367 , −1.03162845348366 ]
f9
13940
31.9428
200
10−305
[−1.17928914508819 10−306 , 2.670088630208643 10−307 ]
f10
1180
8.12597
35
10−14
[−0.61585524178857 , −0.61585524178857 ]
Tab. C.4 – R´esultat de l’Arithm´etique Affine Robuste Double-Pr´ecision
52
Annexe D
R´ esultats pour les Formes Quadratiques Dans cette annexe, nous pr´esenterons les r´esultats obtenus par l’arithm´etique quadratique standard, l’arithm´etique quadratique standard double-pr´ecision, l’arithm´etique quadratique robuste et l’arithm´etique quadratique robuste double-pr´ecision.
Pbs
NI
T(s)
NP
ε
Solution
f1
145
0.217773
50
10−5
[−3.5 , −3.5 ]
f2
983
1.13867
13
10−37
[−2.34936 10−38 , 0.0 ]
f3
89
0.618164
20
10−5
[ 0.45 , 0.450002 ]
f4
856
0.796875
13
10−3
[ 2.99999 , 3.00015 ]
f5
304
0.296875
38
10−4
[−36.0 , −36.0 ]
f6
1652
1.60498
472
10−5
[ 5.77083 , 5.77084 ]
f7
3421
1.03613
53
10−37
[−2.35078 10−38 , 1.17549 10−38 ]
f8
1151
1.10156
19
10−5
[−1.031638 , −1.03163 ]
f9
1786
1.88281
36
10−37
[−2.34017 10−38 , 1.17549 10−38 ]
f10
461
0.799805
25
10−6
[−0.61586 , −0.61585 ]
Tab. D.1 – R´esultat de l’Arithm´etique Quadratique Standard 53
R´esultats pour les Formes Quadratiques
Pbs
NI
T(s)
NP
ε
Solution
f1
169
0.463378
28
10−13
[−3.5 , −3.49999999999998 ]
f2
7715
11.45361
15
10−307
[−4.450147717009531 10−308 , 0.0 ]
f3
206
0.660156
33
10−14
[ 0.449999999999999 , 0.450000000000007 ]
f4
1066
1.414062
15
10−12
[ 3.0 , 3.00000000000027 ]
f5
697
0.800781
60
10−12
[−36.0 , −35.9999999999997 ]
f6
1409
1.80957
298
10−13
[ 5.77083333333333 , 5.77083333333335 ]
f7
26751
11.65917
49
10−307
[−4.450147717013651 10−308 , 2.225073858507201 10−308 ]
f8
1547
1.793945
23
10−14
[−1.03162845348366 , −1.03162845348366 ]
f9
7192
8.21777
66
10−307
[−4.450147716975131 10−308 , 2.225073858507202 10−308 ]
f10
631
1.272460
8
10−14
[−0.61585524178857 , −0.61585524178857 ]
Tab. D.2 – R´esultat de l’Arithm´etique Quadratique Double-Pr´ecision
54
R´esultats pour les Formes Quadratiques
Pbs
NI
T(s)
NP
ε
Solution
f1
421
0.505859
188
10−5
[−3.50001 , −3.5 ]
f2
954
2.14404
11
10−36
[−1.88079 10−37 , 2.35099 10−38 ]
f3
85
0.228027
19
10−5
[ 0.449998 , 0.450002 ]
f4
857
2.18799
14
10−3
[ 2.99983 , 3.00016 ]
f5
13345
23.79004
9499
10−4
[−36.0 , −36.0 ]
f6
1451
5.19678
458
10−14
[ 5.77083 , 5.77085 ]
f7
3425
2.18408
57
10−37
[−1.05795 10−37 , 1.17549 10−38 ]
f8
1157
2.98486
23
10−5
[−1.03163 , −1.03163 ]
f9
1737
3.64307
15
10−36
[−6.34768 10−37 , 1.17549 10−38 ]
f10
426
2.05078
13
10−15
[−0.61586 , −0.61585 ]
Tab. D.3 – R´esultat de l’Arithm´etique Quadratique Robuste Standard
55
R´esultats pour les Formes Quadratiques
Pbs
NI
T(s)
NP
ε
Solution
f1
168
0.4423828
28
10−13
[−3.50000000000001 , −3.49999999999998 ]
f2
7684
18.01757
11
10−306
[−3.560118173611529 10−307 , 4.450147717014411 10−308 ]
f3
206
0.5771484
38
10−14
[ 0.449999999999997 , 0.450000000000004 ]
f4
1071
3.22656
22
10−12
[ 2.99999999999968 , 3.00000000000028 ]
f5
698
1.2177734
64
10−12
[−36.0000000000001 , −35.9999999999997 ]
f6
4121
15.76953
1309
10−12
[ 5.77083333333332 , 5.77083333333346 ]
f7
26655
18.106445
51
10−306
[−2.002566472656484 10−307 , 2.225073858507201 10−308 ]
f8
1553
4.244140
31
10−14
[−1.03162845348366 , −1.03162845348366 ]
f9
7097
16.858886
13
10−305
[−1.201539883593891 10−306 , 2.892596016059363 10−307 ]
f10
632
3.327148
12
10−14
[−0.61585524178857 , −0.61585524178857 ]
Tab. D.4 – R´esultat de l’Arithm´etique Quadratique Robuste Double-Pr´ecision
56
Annexe E
Translation des Formes Affines E.1
Contre-exemple
E.1.1
Formes positives
Soit x = [xL , xU ] tel que 0 ≤ xL ≤ xU , alors x2 = [(xL )2 , (xU )2 ] . Soit x b la forme affine associ´ee a` x. U L L U + x −x ε, – Si ε ∈ [−1 , 1 ] =⇒ x b = x +x 2 2 U L 2 U 2 L 2 L U 2 (x ) −(x ) x +x =⇒ x b.b x = ε1 + x −x + ε2 , avec ε1 , ε2 ∈ 2 2 2 [−1 , 1 ]. U 2 L 2 ) + xL .xU . =⇒ Inf (b x.b x) = (x ) −(x 2 – Si ε ∈ [−1 , 0 ] =⇒ x b = xL + xU − xL ε, 2 =⇒ x b.b x = (xU )2 + 2xU .(xU − xL )ε1 + xU − xL ε2 , avec ε1 , ε2 ∈ [−1 , 0 ]. =⇒ Inf (b x.b x) = 4xU xL − 2(xU )2 (xL )2 . – Si
=⇒ =⇒
E.2
x b = xU + xU − xL ε, L U 2 L 2 L U L ε2 , avec ε1 , ε2 ∈ [ 0 , 1 ]. x b.b x = (x ) + 2x .(x − x )ε1 + x −x 2
ε ∈ [ 0 , 1 ] =⇒
Inf (b x.b x) = (xL )2 .
Am´ elioration par translation des formes affines
Soient xL , xU , t ∈ IR tels que xL ≤ xU , et x bG est la forme g´en´eralis´ee donn´ee par : U L U L x −x L bG = x + (1 − t) + x −x ε(t), ∀t ∈ IR x 2 2 (E.1) o` u ε(t) ∈ [−1 + t , 1 + t ] 57
Translation des Formes Affines
– t = 0 : Arithm´ etique Affine Standard U L U L b = x +x + x −x ε x 2 2
o` u ε = ε(0) ∈ [−1 , 1 ]
– t = −1 : Formes n´ egatives b = x U + xU − x L ε x
o` u ε = 21 ε(−1) ∈ [−1 , 0 ]
– t = 1 : Formes postives b = x L + xU − x L ε x
o` u ε = 12 ε(1) ∈ [ 0 , 1 ]
58
