Groupe de Travail en Mod´elisation G´eom´etrique – mars 2006 –

GTMG06

Une mod´elisation g´eom´etrique it´erative bas´ee sur les automates E. T OSAN? -I. BAILLY-S ALINS‡? -G. G OUATY†? -I. S TOTZ† -P. B USER‡ -Y. W EINAND† ? LIRIS UMR CNRS 5205 - Universite´ Claude Bernard Lyon I ´ erale ´ † IBOIS - ‡ IGAT - Ecole Polytechnique Fed de Lausanne [email protected], [email protected], [email protected]

R´esum´e Nous pr´esentons un mod´ele it´eratif inspir´e du mod`ele CIFS (Controlled Iterative Function System) de P RUSINKIEWICZ [PH94] - encore appel´e RIFS (Recurrent Iterative Function System) par BARNSLEY ou MRIFS (Mutually Recursive Iterative Function System) par C ULIK [CD93] -. Le principe de ces mod`eles est de d´efinir des familles de figures g´eom´etriques avec des r`egles de production et des syst`emes d’´equations. Dans cet article, nous en pr´esentons deux g´en´eralisations, qui permettent de contrˆoler la g´eom´etrie et la topologie des formes produites. Mots-cl´es : architecture, mod`ele it´eratif, automate, sch´ema de subdivision, topologie, courbe, surface.

F IG . 1 – Application en architecture : panneau d’ombrage fractal en carton d´ecoup´e, EPFL 2006

1

Introduction

Dans le cadre du projet de recherche “La g´eom´etrie fractale et ses applications dans la construction en bois” nous e´ tudions un formalisme math´ematique g´en´eral qui permette la repr´esentation de formes g´eom´etriques abstraites (voir figure 1). Ces formes sont destin´ees a` l’architecture selon deux aspects principaux : design/architecture int´erieure ou structure constructive et porteuse [BRS90] [WEI04]. Tr`es sch´ematiquement, le premier aspect exige surtout une maˆıtrise de la g´eom´etrie des formes, alors que le second exige un contrˆole suppl´ementaire, celui de la topologie - ces formes doivent eˆ tre munies d’une structure car elles doivent eˆ tre constructibles-. Nous proposons un mod`ele it´eratif qui permet d’aborder ces deux aspects de mani`ere compl´ementaire.

2

Contrˆole de la g´eom´etrie

Dans le mod`ele CIFS, un automate controle les it´erations d’un IFS [PH94]. En nous basant sur l’aspect langage de ce mod`ele, appel´e LRIFS (Langage-Restricted Iterated Function System), nous avions d´efini des op´erations sur les figures fractales [THO97]. Par ailleurs, nous avions d´evelopp´e un mod`ele d’IFS projet´e qui permettait de d´efinir des formes a` pˆoles et de retrouver les formes CAO classiques [ZT96]. Le principe de ce mod`ele e´ tait de distinguer deux espaces : l’espace de mod´elisation et l’espace d’it´eration (ou de “m´elange”). En utilisant une famille de figures et en associant a` chaque figure son propre espace de d´efinition, le mod`ele CIFS peut eˆ tre g´en´eralis´e et int´egrer les formes a` pˆoles.

2.1

Description

2.1.1 Automate ´ Le principe de repr´esentation est le suivant. Etant donn´e un automate (Q , Σ, δ), chaque e´ tat de Q correspond a` une figure - not´ees s,t, a, b, f , g, ... - chaque symbole de l’alphabet Σ d´esigne un op´erateur de subdivision ; les mots finis d´esignent les composantes d’une figure. L’´etat initial \ correspond a` la figure globale. La fonction de transition exprime des r`egles de d´ecomposition : δ(x, i) = y signifie qu’un op´erateur e´ l´ementaire index´e par i fait passer d’une figure de type x a` sa composante de type y. L’automate se met sous forme d’un graphe orient´e. Chaque nœud correspond a` un e´ tat x, chaque arc correspond a` une ` chaque transition (x, i), son origine est l’´etat de d´epart x et son extr´emit´e est l’´etat d’arriv´ee y = δ(x, i). A nœud x est associ´e le sous-ensemble de symboles sur lequel δ est d´efinie : Σx = {i ∈ Σ/∃y δ(x, i) = y}. 2.1.2 Description g´eom´etrique ` chaque nœud - ou e´ tat - x est associ´e un espace affine E x d´efini par des coordonn´ees barycentriques : A Jx

E x = B(R ) = {(λ j ) j∈Jx /

∑ λ j = 1}.

j∈Jx

` chaque arc - ou transition - (x, i) avec y = δ(x, i), est associ´e un op´erateur affine T x qui permet de A i passer d’un espace a` l’autre : Tix est une fonction de E y dans E x , not´ee Tix : E x ← E y . Les op´erateurs Tix sont identifi´es a` des matrices J x × J y v´erifiant ∀k ∈ J y ∑ j∈Jx T jk = 1. Les classes d’op´erateurs sont d´etermin´es par les espaces E x et E y : – si E x = E y - ce qui est en particulier vrai si y = x - Tix op`ere sur E x et la matrice est carr´ee ; – si E x 6= E y - ce qui implique que y 6= x - on a en g´en´eral dim(E x ) > dim(E y ), et Tix est un plongement de E y dans E x qui positionne une composante dans une figure plus grande. Mais on peut avoir dim(E x ) < dim(E y ) et Tix est une projection de E y sur E x .

2.2

Calculs

` partir d’une famille initiale de figures (segments, facettes, polygones, poly´edres, ...) vont eˆ tre calcul´ees A des suites de figures. Ces suites sont destin´ees a` produire des formes g´eom´etriques utilisables pour r´ealiser des objets (voir figure 1). Sur un plan th´eorique, ce sont des approximations de solutions d’un syst`eme d’´equations : des maillages de plus en plus fins convergent vers des figures lisses ou fractales. Ces calculs ont deux aspects compl´ementaires : un aspect num´erique avec le calcul de produits de matrices, un aspect formel avec le calcul de transition d’´etats dans un automate. 2.2.1 Syst`eme it´eratif L’automate d´ecrit un syst`eme it´eratif g´en`erant une suite de familles de figures Kn = (Knx )x∈Q a` partir d’une famille initiale de figures. La famille intiale K0 = (K x )x∈Q sera compos´ee de primitives graphiques. Les figures g´eom´etriques que nous utilisons sont des compacts de l’espace m´etrique E x - c.a.d. des ensembles de points ferm´es et born´es : K x ∈ H (E x ).

F IG . 2 – Figure g´en´er´ee par automate. ` chaque nœud x est associ´ee une e´ quation de passage d’un niveau de subdivision a` l’autre : A x Kn+1 =

[

δ(x,i)

Tix Kn

(1)

i∈Σx

` chaque nœud x est associ´ee la figure Ax ∈ H (E x ) L’automate d´ecrit e´ galement un syst`eme d’´equations. A v´erifiant l’´equation : [ (2) Tix Aδ(x,i) Ax = i∈Σx

(Ax )x∈Q

La famille A = correspond au passage a` la limite de la suite Kn = (Knx )x∈Q . Sous r´eserve de certaines hypoth`eses sur les op´erateurs de subdivision (graphe a` circuits contractants), cette limite existe. 2.2.2 Composantes g´eom´etriques Tout mot fini θ tel que δ(x, θ) = y d´ecrit une suite d’op´erations e´ l´ementaires θ = θ1 ...θn permettant de produire une composante de type y a` partir d’une figure de type x. Ces mots sont regroup´es dans les langages suivants : – Lx = {θ/∃y δ(x, θ) = y} ensemble des mots obtenus a` partir de x ; (n) – Lx = {θ ∈ Lx /|θ| = n} ensemble des mots de longueur n. Tout couple (x, θ) avec θ ∈ Lx , not´e x.θ dans la suite, d´esigne un chemin dans le graphe associ´e a` l’automate. Son origine est x et son extr´emit´e est y = δ(x, θ). Sur chaque chemin est calcul´e un op´erateur Tθx : E x ← E y d´efini par r´ecurrence : δ(x,θ)

Tεx = I et Tθix = Tθx Ti

.

` chaque chemin x.θ est associ´ee une composante : K x = T x K δ(x,θ) . A θ θ ` chaque niveau de subdivision n, les K x sont les composantes de la figure Knx : A θ Knx =

[

Kθx

(3)

(n) θ∈Lx

La visualisation de Knx se fait a` travers celle de chacune de ses composantes Kθx , c’est-`a-dire a` travers l’affichage de la primitive K δ(x,θ) dans un rep`ere calcul´e a` partir de Tθx (voir figure 2). La mod´elisation it´erative que nous proposons est bas´ee sur l’adressage formel des composantes des figures. Chaque composante g´eom´etrique Kθx est identifi´ee par le chemin x.θ, son espace de d´efinition est E x , son type g´eom´etrique est δ(x, θ) et son positionnement est Tθx .

2.3

Exemples

2.3.1 Attracteur a` condensation Etant donn´ees les r`egles de production : f

f f

→

g f

g

et

g

→

l’automate et le syst`eme it´eratif sont :  f  δ( f , 0) = f , δ( f , 1) = f , δ( f , 2) = f , δ( f , 3) = g; Kn+1 ⇒ g δ(g, 0) = g. Kn+1

f

f

f

f

f

f

f

g

= T0 Kn ∪ T1 Kn ∪ T2 Kn ∪ T3 Kn , g = Kn .

F IG . 3 – Attracteur a` condensation. Le r´esultat est un attracteur a` condensation [BAR88] :  f A f = A (T f ) ∪ (T f )∗ T3 Ag , g g A = K0 . avec A (T f ) attracteur associ´e a` l’IFS T PINSKI (voir figure 3).

f

f

f

f

= {T0 , T1 , T2 } ; dans ce cas, il s’agit d’un triangle de S IER -

2.3.2 Figure a` pentagone de contrˆole 5

La famille de figures - figure “pentagonale” projet´ee, attracteur dans l’espace barycentrique B(R ) - est d´efinie par le syst`eme it´eratif :   \ δ(\, 0) = a , Kn+1 = T0\ Kna , S ⇒ a a a δ(a, i) = a pour i ∈ Σ. Kn+1 = i∈Σ Ti Kn . Le pentagone de contrˆole donne la forme g´en´erale de la figure : T0\ = (p0 , p1 , p2 , p3 , p4 ) avec p j ∈ R ou R . 2

3

L’IFS de subdivision (Tia )i∈Σ est compos´e de matrices dont les colonne Tia e j sont des combinaisons convexes des sommets du pentagone. Certaines colonnes sont choisies sur les arˆetes du polygone de contrˆole : Tia e j = (1 − r)ek + rel avec 0 < r < 1. Cette propri´et´e de convexit´e donne une structure

F IG . 4 – Figure pentagonale.

d’emboitement (voir figure 1). En posant conv(Tθa ) = conv{Tθa e j / j = 0, ..., 4} enveloppe convexe des colonnes de Tθa = Tθa1 ...Tθan , on a les inclusions : conv(Tθia ) ⊆ conv(Tθa ). Pour avoir un contrˆole g´eom´etrique plus pr´ecis de cet emboitement, nous identifions certaines colonnes (voir figure 4) : Tia e j = Tka el . La donn´ee de l’IFS est alors e´ quivalente a` la donn´ee d’une grille de points 5 de subdivision : T÷a = (q0 , ..., qm ) avec q j ∈ B(R ) dont on extrait les matrices Tia = (qνi (0) , ..., qνi (4) ).

3

Contrˆole de la topologie

Pour contrˆoler la topologie des figures d´efinies par subdivision, il faut partir d’une famille de figures munie d’une structure topologique (complexe cellulaire), et utiliser des op´erateurs qui modifie cette structure de mani`ere coh´erente (op´erateurs d’E ULER). Les sch´emas de subdivision classiques g´en`erent des figures dont le type topologique est donn´e par la figure initiale (courbes ou surfaces d’un certain genre), l’ajout de nouveaux points aux maillages permettant de raffiner la g´eom´etrie. Mais la d´ecomposition en cellules n’est pas connue. Or a` chaque e´ tape, la figure globale est compos´ee de “pi`eces” (carreaux, arcs, singletons) raccord´ees entre elles selon une certaine relation d’incidence. En pr´ecisant les r`egles de production, il est possible d’associer a` chaque e´ tape de raffinement un complexe cellulaire. Nous avions montr´e que le contrˆole de la topologie passe par des contraintes sur les matrices de subdivision [TOS99] [TOS04]. Nous montrons ici que ces contraintes sont le reflet de la relation d’incidence exprim´ee dans un automate. Ceci est obtenu en int´egrant au mod`ele CIFS une Brep (Boundary representation). Nous obtenons alors un nouveau mod`ele, que nous appelons BCIFS (Boundary Controlled Iterative Function System).

3.1

Principe du mod`ele BCIFS

La relation d’incidence entre composantes peut s’exprimer g´eom´etriquement au moyen d’op´erateurs analogues aux op´erateurs de subdivision. Pour la repr´esenter de mani`ere formelle, il suffit d’ajouter a` l’automate de subdivision des symboles suppl´ementaires.

3.1.1 Automate L’automate g´en´eral (Q , Σ, δ) est la superposition des deux automates : 1. L’automate “g´eom´etrique” (Q , Σ÷ , δ) d´ecrivant un sch´ema de subdivision, c.a.d. le raffinement ` chacun de ses arcs est associ´e un op´erateur de de la g´eom´etrie et le changement de r´esolution. A subdivision : x.i ∈ Q × Σx÷ → Rxi = Tix . 2. L’automate “topologique” (Q , Σ∂ , δ) d´ecrivant une structure Brep, c.a.d. une relation d’incidence ` chacun de ses arcs est associ´e un op´erateur repr´esentant le cˆot´e d’une figure : entre composantes. A x x.u ∈ Q × Σx∂ → Ru = Pxu Les e´ tats sont typ´es suivant la classe topologique des figures associ´ees. Sont distingu´es : – les e´ tats correspondant aux cellules : – Q S = {s,t, ...} sommets ; – Q A = {a, b, ...} arˆetes ; – Q F = { f , g, ...} faces triangulaires ou quadrangulaires ; – les e´ tats initiaux correspondant aux figures compos´ees : courbes ou surfaces. Les symboles de subdivision sont typ´es par la classe topologique d’arriv´ee : iX avec X = S, A, F et i = 0, 1, 2, ... : Σ÷ = ΣS ∪ ΣA ∪ ΣF . ` chaque e´ tat x sont associ´es les sous-ensemble de symboles : Σx∂ et Σx÷ = ΣxS ∪ ΣxA ∪ ΣxF . A Dans cet automate, les chemins x.β s’interpr`etent comme des expressions : les composantes sont calcul´ees par Rxβ K δ(x,β) avec β mot m´elangeant les symboles de subdivision et de cˆot´e. Deux chemins deux expressions - x.β et x.γ, seront dites e´ quivalents, - not´e x.β ≡ x.γ - si elles ont la mˆeme e´ valuation, c.a.d. le mˆeme type et le mˆeme positionnement et par suite la mˆeme composante : δ(x, β) = δ(x, γ) et Rxβ = Rxγ ⇒ Rxβ K δ(x,β) = Rxγ K δ(x,γ) ⇒ Kβx = Kγx . Cette relation d’´equivalence va permettre de formuler les contraintes sur les e´ tats et les matrices pour que l’automate (Q , Σ, δ) produise des figures a` topologie contrˆol´ee. 3.1.2 Expression formelle de la relation d’incidence Les cˆot´es des cellules classiques peuvent eˆ tre formellement num´erot´es : – pour les arˆetes, Σa∂ = {0∂ , 1∂ } et δ(a, i∂ ) ∈ Q S ; – pour les faces, si f est a` m cˆot´es Σ f ∂ = {i∂ /i = 0, ...m − 1} et δ( f , i∂ ) ∈ Q A . La relation d’adjacence reliant sommets, arˆetes et faces typ´es :

s −−a−− t

u −−c−− | d f | r −−a−−

t | b | s

peut eˆ tre repr´esent´ee par le graphe :

a.0∂

←− a

−→ a.1∂

f .2∂ ↑ f .3∂ ←− f −→ f .1∂ ↓ f .0∂

Le premier d´ecrit un complexe cellulaire comportant une arˆete a.ε et deux sommets a.0∂ , a.1∂ . Le second d´ecrit un complexe cellulaire comportant une face f .ε, quatre arˆetes f .i∂ pour i = 0, 1, 2, 3 et quatre sommets donn´es par les expressions f .i∂ 0∂ et f .i∂ 1∂ . Pour d´ecrire ces sommets, il faut introduire les e´ quivalences d’expression suivantes : c u −→ t d↑ f ↑b r −→ s a

⇒

f .3∂ 1∂ ≡ f .2∂ 0∂ ↑ f .3∂ ↓ f .3∂ 0∂ ≡ f .0∂ 0∂

← f .2∂ → ↑ ←− f −→ ↓ ← f .0∂ →

f .2∂ 1∂ ≡ f .1∂ 1∂ ↑ f .1∂ ↓ f .0∂ 1∂ ≡ f .1∂ 0∂

Les e´ quivalences f .vw ≡ f .v0 w0 vont se traduire par les contraintes : f

δ( f , vw) = δ( f , v0 w0 ) et Pvf Paw = Pv0 Pbw0

(4)

3.1.3 Expression g´eom´etrique de la relation d’incidence Les figures cellulaires sont des formes param´etr´ees H x : Dx → E x dont les domaines de param´etrisation sont des polytopes standard : – singletons de domaine Ds = {0} ; – arcs de courbe de domaine Da = [0, 1] ; – carreaux quadrangulaire de domaine D f = [0, 1]2 ; Les cˆot´es de ces domaines sont repr´esent´es par des op´erateurs affines : a – Les extr´emit´es de l’intervalle Da = [0, 1] sont donn´es par les plongements P˘ u : {0} → [0, 1] a a - P˘ 0∂ 0 = 0, P˘ 1∂ 0 = 1 f – Les cˆot´es du pav´e D f = [0, 1]2 sont donn´es par les plongements P˘ u : [0, 1] → [0, 1]2 f f f f - P˘ 0∂ t = (t, 0), P˘ 1∂ t = (1,t), P˘ 2∂ t = (t, 1), P˘ 3∂ t = (0,t) . Les cellules “gauches” s’expriment comme des images des polytopes standard par des fonctions continues H x contrˆol´ees par des grilles de contrˆole. Dans le cas o`u il y a interpolation des sommets, ces grilles sont : – le singleton de contrˆole J s = {0} ; – le polygone de contrˆole a` m + 1 sommets : J a = {0, ..., m} ; – la grille de contrˆole a` (m + 1) × (n + 1) sommets : J f = {0, ..., m} × {0, ..., n}. La relation d’incidence de ces cellules s’exprime a` travers les grilles de contrˆole. Les cˆot´es des grilles de contrˆole sont donn´es par des suites extraites d’indices : – pour les arcs, les singletons de contrˆole des extr´emit´es sont les extr´emit´es du polygone de contrˆole : Pa0∂ es0 = ea0 et Pa1∂ es0 = eam . – pour les carreaux, les polygones de contrˆole des cˆot´es sont les cˆot´es de la grille de contrˆole : f

f

f

f

f

f

f

f

P0∂ eaj = e j0 , P1∂ eaj = em j , P2∂ eaj = e jn , P3∂ eaj = e0 j . f a Dans les deux cas, les op´erateurs P˘ i∂ , P˘ j∂ v´erifient les contraintes (4).

3.2

Subdivision et relation d’incidence

Les maillages obtenus par subdivision se raccordent de mani`ere automatique. Nous explicitons et g´en´eralisons cette propri´et´e. Grace a` une r`egle formelle, la relation d’incidence des composantes est d´efinie a` chaque niveau.

3.2.1 Relation d’incidence entre composantes La famille des composantes est munie de la relation d’incidence formelle suivante : x.θ est incidente a` x.ϑ si en posant y = δ(x, θ) il existe un cˆot´e v ∈ Σy∂ tel que x.θv ≡ x.ϑ, c.a.d. : δ(x,θ)

δ(x, θv) = δ(x, ϑ) et Tθx Pv

= Pxϑ .

Sous de bonnes hypoth`eses de raccord, la composante Kθx = Tθx K y est alors bord´ee par les composantes : x Kθv = Rxθv K δ(y,v) = Tθx Pyv K δ(y,v) .

Grace a` une r`egle de subdivision que doit v´erifier l’automate, la relation d’incidence de niveau n + 1 se d´eduit de la relation de niveau n.

u →

f i↓

v →

g

i

u f −→ a ↓ ↓ g −→ b v

Ef j

Ti

f

Puf ←−

↑ E g ←− Pgv

Ea ↑ Eb

a ↓j

f i↓ c g

|b

T ja

i

f ↓ g

& k −→ c w

Ti

f

Ef ↑ Eg

←− g Pw

f

Tk Ec

F IG . 5 – En haut : a` gauche subdivision d’un cˆot´e, a` droite insertion d’une nouvelle composante ; en bas : les contraintes correspondantes sur les e´ tats et les matrices. 3.2.2 R`egle de subdivision Le passage d’un niveau de subdivision a` l’autre s’exprime formellement par une r`egle de commutation entre symboles de subdivision et symboles de cˆot´e. Au cours d’une subdivision de y, la composante y.i ne peut poss´eder que deux types de cˆot´es (voir figure 5) : – Soit c’est une subdivision d’un composant existant : il y a h´eritage du niveau pr´ec´edent et transport de la relation d’incidence : δ(y,i)

∃(u, j) ∈ Σ∂ × Σ÷ y.iv ≡ y.u j ⇔ δ(y, iv) = δ(y, u j) et Tiy Pv

δ(y,u)

= Pyu T j

.

– Soit c’est un nouveau composant : il y a cr´eation par rapport au niveau pr´ec´edent et ajout d’un raccord interne a` la relation d’incidence : δ(y,i)

∃k ∈ Σ÷ y.iw ≡ y.k ⇔ δ(y, iv) = δ(y, k) et Tiy Pw

4 4.1

= Tky .

Etude de cas Singletons

Dans la subdivision des singletons, un seul arc est issu de chaque nœud, on a Σs = Σs÷ = {0S }. Le cas le plus simple est celui d’un sommet qui est le point fixe de l’op´erateur de subdivision : δ(s, 0S ) = s ⇒ ps = T0sS ps . Si l’op´erateur T0sS est une fonction constante, le sch´ema est interpolant sur le sommet. On a : J s = {0}, E s = {1} et T0sS = (1). Si l’op´erateur n’est pas constant, on a autour de ps , un comportement “diff´erentiel” commun aux arˆetes et faces incidentes.

4.2

Arcs

4.2.1 Subdivision et relation d’incidence ` un arc est associ´e un complexe cellulaire compos´e d’une arˆete a.ε bord´ee par deux sommets a.0∂ , a.1∂ : A a.0∂ ←− a.ε −→ a.1∂ La subdivision de cet arc en deux donne un nouveau complexe cellulaire. Il est compos´e de cellules internes - deux arˆetes a.0A , a.1A et un sommet a.1S - et de deux sommets externes issus de la subdivision de sa bordure a.0∂ 0S , a.1∂ 0S . Ces cellules sont li´ees par la relation d’incidence : a.0∂ 0S ← a.0A → a.1S ← a.1A → a.1∂ 0S

Le passage d’une relation d’incidence a` l’autre s’exprime dans le graphe : a.0∂ ←− − − − − − − − −a.ε − − − −− − − − −→ a.1∂ ↓ . ↓ & ↓ a.0∂ 0S ≡ a.0A 0∂ ← a.0A → a.0A 1∂ ≡ a.1S ≡ a.1A 0∂ ← a.1A → a.1A 1∂ ≡ a.1∂ 0S Ces e´ quivalences de chemins se traduisent par des contraintes sur les e´ tats et les matrices. 4.2.2 Contraintes En supposant a autosimilaire, c.a.d. en prenant δ(a, 0A ) = a et δ(a, 1A ) = a, on a : s ←− − a − −→ t ↓ . ↓ & ↓ s ←a→ t=s ←a→ t La famille de figures - arc, singleton - est d´efinie par le syst`eme d’´equations :   a A = T0aA Aa ∪ T1aA Aa ; δ(a, 0A ) = a, δ(a, 1A ) = a; ⇒ δ(s, 0S ) = s. As = T s As . La relation d’incidence se traduit par les contraintes suivantes sur les matrices de subdivision : T0aA Pa0∂

= Pa0∂ T0sS ,

T1aA Pa1∂

= Pa1∂ T0tS .

T0aA Pa1∂ = T1aA Pa0∂

= T1aS ,

Avec ces contraintes, l’arc param´etr´e est en g´en´eral non diff´erentiable. L’“ordre de raccord” des sommets e´ tant dim(E s ), on retrouve les sch´emas de subdivision classiques de courbes fractales avec dim(E s ) = 0 et des sch´emas analogues a` ceux des B-splines avec dim(E s ) > 0. 4.2.3 Sch´ema fractal classique Le sch´ema classique de d´efinition d’un arc fractal par subdivision est donn´e par la figure 6. Les espaces associ´es aux composantes sont : – singleton : E s =< es0 >= {es0 } ; – arc : E a =< ea0 , ea1 , ea2 >, cˆot´es : Pa0∂ = (ea0 ) et Pa1∂ = (ea2 ). ´ Etant donn´es les points de subdivision :   ri T÷a = (ea0 , q1 , q2 , q3 , ea2 ) avec qi =  si  et ri + si + ti = 1; ti

→

⇒

F IG . 6 – Raccord simple d’arc. les matrices de subdivision sont : – singleton : T s = (es0 ) ;

– arc : T0aA = (ea0 , q1 , q2 ) et T1aA = (q2 , q3 , ea2 ) ; et la relation d’incidence est :

T0aA Pa1∂

T0aA Pa0∂ = Pa0∂ T s

= T1aA Pa0∂ = T1aS T1aA Pa1∂ = Pa1∂ T s

=

(ea0 ),

=

(q2 ),

=

(ea2 ).

4.2.4 Sch´ema type B-spline La famille de figures - arc, singleton - est d´efinie par le syst`eme d’´equations : 

δ(a, i) = a pour i = 0A , 1A , 2A ; δ(s, 0S ) = s .

⇒



Aa As

= T0aA Aa ∪ T1aA Aa ∪ T2aA Aa , = T s As .

En prenant pour ordre de raccord des sommets dim(E s ) = 2, et pour “degr´e” des arˆetes dim(E a ) = 3, les espaces associ´es sont : – singleton : E s =< es0 , es1 , ea2 > ; – arc : E a =< ea0 , ea1 , ea2 , ea3 >, cˆot´es : Pa0∂ = (ea0 , ea1 , ea2 ) et Pa1∂ = (ea1 , ea2 , ea3 ). ´ Etant donn´es les points de subdivision :     ri ri  si   a   T÷a = (q0 , q1 , q2 , qˆ0 , qˆ1 , qˆ2 ) avec qi =  si  , qi = Pa0∂ qi =   ti  , qˆi = P1∂ qi =  ti 0 

 0 ri   et ri +si +ti = 1, si  ti

les matrices de subdivision sont : – singleton : T s = (q0 , q1 , q2 ) ; – arc : T0aA = (q0 , q1 , q2 , qˆ0 ), T1aA = (q1 , q2 , qˆ0 , qˆ1 ), T2aA = (q2 , qˆ0 , qˆ1 , qˆ2 ) ; et la relation d’incidence est :

T0aA Pa1∂ T1aA Pa1∂

T0aA Pa0∂ = Pa0∂ T s

=

(q0 , q1 , q2 ),

= T1aA Pa0∂ = T1aS = T2aA Pa0∂ = T1aS T2aA Pa1∂ = Pa1∂ T s

= =

(q1 , q2 , qˆ0 ), (q2 , qˆ0 , qˆ1 ),

=

(qˆ0 , qˆ1 , qˆ2 ).

Les courbes de la figure 7 sont obtenues avec r0 = 1 16 7 24 , s2 = 24 ,t2 = 24 .

7 24 , s0

=

16 24 ,t0

=

1 24 ; r1

=

9 24 , s1

=

6 24 ,t1

F IG . 7 – Courbes fractales : a` gauche courbe ferm´ee, a` droite arc compos´e.

=

9 24 ; r2

=

4.3

Surfaces

4.3.1 Subdivision et relation d’incidence ` un carreau quadrangulaire est associ´e un complexe cellulaire compos´e d’une face f .ε ; quatres arˆetes A f .i∂ avec i = 0, 1, 2, 3 et quatres sommets f .i∂ 0∂ avec i = 0, 1, 2, 3. u

c

t

d

f

b

r

a

s

←c→ t ↑ ↑ ←f→ b ↓ ↓ ←a→ s

u ↑ d ↓ r

La subdivision de ce carreau en quatre donne un nouveau complexe cellulaire. Il est compos´e de cellules internes - quatre faces f .0F , f .1F , f .2F , f .3F ; quatres arˆetes f .0A , f .1A , f .0B , f .1B et un sommet f .1S et de cellules de bordure - huit arˆetes f .i∂ 0A , f .i∂ 1A avec i = 0, 1, 2, 3 ; et huit sommets f .i∂ 0∂ 0S , f .i∂ 1S avec i = 0, 1, 2, 3 - . Ces cellules sont li´ees par la relation d’incidence :

f

→

f .1F

f .3F

f .0F

f .2F

u.0S ↑ d.1A ↓ d.0S ↑ d.0A ↓ r.0S

← c.0A → ↑ ← f .1F → ↓ ← f .0A → ↑ ← f .0F → ↓ ← a.0A →

c.0S ↑ f .1B ↓ f .1S ↑ f .0B ↓ a.0S

← c.1A → ↑ ← f .3F → ↓ ← f .1A → ↑ ← f .2F → ↓ ← a.1A →

4.3.2 Contraintes Si f est autosimilaire, c.a.d. δ( f , iF ) = f , on a deux types d’arˆetes et un type de sommets : s −c− | d f | s a=c | d f | s −a− Les contraintes de bordure externe sont :  f f  T0F P0∂ =     T f Pf = 2F 0∂ f f  T  1F P2∂ =    T f Pf = 3F 2∂

f

P0∂ T0aA ,

f P0∂ T1aA ; f P2∂ T0aA , f P2∂ T1aA ;

Les contraintes de raccord interne sont :  f f f f  T0F P2∂ = T1F P0∂ =     T f Pf = T f Pf =     

2F 2∂ T2fF P3f ∂ f f T3F P3∂

3F 0∂ = T0fF P1f ∂ f f = T1F P1∂

−s− | b=d | −s− | b=d | −s−

−c−

s | f b | a=c s | f b | −a− s

 f f  T2F P1∂     T f Pf 3F 1∂ f f  T  0F P 3∂    T f Pf

1F 3∂

f

P1∂ T0bA ,

=

f

P1∂ T1bA ;

=

f

P3∂ T0bA ,

=

f

P3∂ T1bA .

=

f

T0A , f

T1A ;

=

T0fB ,

=

T1B ;

f

(

f

f

T0A Pa1∂ = T1A Pa0∂ T0fB Pb1∂ = T1fB Pa0∂

f

= T1S , = T1fS .

t.0S ↑ b.1A ↓ b.0S ↑ b.0A ↓ s.0S

F IG . 8 – Grille de subdivision quadrangulaire.

4.3.3 Sch´ema de DE C ASTELJAU Dans le sch´ema de DE C ASTELJAU, le maillage de contrˆole est une subdivision du complexe cellulaire. Aux sommets de chaque chaque cellule sont ajout´es des sommets suppl´ementaires : • − ◦ − • | | | J s = •, J a = • − − ◦ − − •, J f = ◦ − ◦ − ◦ . | | | • − ◦ − • Les contraintes de raccord interne se traduisent par les identifications de colonnes donn´ees par la figure 8. La description d’un sch´ema a` 3 × 3 points de contrˆole se ram`ene a` une grille a´ 5 × 5 points de subdivision. Les contraintes de bordure se traduisent par le plongement sur les cˆot´es des points de f f f f f f subdivision des arcs : (q j0 , q j1 , q j2 , q j3 , q j4 ) = P0∂ (ea0 , qa1 , qa2 , qa3 , ea2 ) ...

F IG . 9 – Carreau quadrangulaire.

4.3.4 Sch´ema de C ATMULL -C LARK Dans le sch´ema de C ATMULL -C LARK, il y a une bijection entre sommets du maillage de contrˆole et sommets du complexe cellulaire. La grille de contrˆole de chaque cellule correspond a` son voisinage

dans le complexe cellulaire : J s =

, Ja =

, Jf =

.

F IG . 10 – Tore fractal obtenu par un sch´ema de C ATMULL -C LARK. . Comme il y a correspondance entre types de figures -s, a, b, f - et masques d’interpolation -µs , µa , µb , µ f la grille des points de subdivision est donn´ee par les masques a` partir du complexe cellulaire : f | a | f T÷ = f | a | f

− − − − −

b | s k b k s | b

− = 1F − 0F = −

f | a | f | a | f

− = 3F − 2F = −

b | s k b k s | b

− − − − −

f | a | f | a | f

Les matrices de subdivision sont extraites de cette grille : f − b − f | | | – singleton : T s = a − s − a ; | | | f − b − f f − b − f − b b − f − b − | | | | | | | – arcs : T0aA = a − s = a − s , T1aA = s − a = s − | | | | | | | f − b − f − b b − f − b − a − s − a − s f − b − f | | | | | | | f − b = f − b a − s = a f k 0F k | , T1fF = | k 1F k – carreau : T0F = | a − s = a − s f − b = f | | | | | k | f − b − f − b a − s − a

f | a , ... ; | f − b | = s | , ... = b | − s

La relation d’incidence est :

f

f

f

T0F P0∂ = P0∂ T0aA

f

f

f

f

=

f

T0F P2∂ = T1F P0∂ = T0A

=

f | a | f

− b | − s | − b

− 0F = −

f | a | f

a | f | a

−

− 1F = 0F −

a − | f − | a −

s | − b | − s

− b | − s , ...; | − b s | b , ... | s

4.3.5 Sch´ema tridimensionnel 3

Un sch´ema de subdivision peut eˆ tre d´ecrit dans R . Les op´erateurs de subdivision sont des cisaillements verticaux. Pour l’exprimer, il est plus ais´e d’utiliser des coordonn´es mixtes : tout point peut se f f f f f f f f d´ecomposer dans un rep`ere (e0 , e1 , e2 ,~e3 ) avec e0 , e1 , e2 points ind´ependants du plan horizontal et ~e3 f f f f vecteur vertical : q = re0 + se1 + te2 + h~e3 avec r + s + t = 1.

F IG . 11 – Composition triangulaire. Avec un carreau triangulaire (figure 11), les espaces associ´es aux cellules sont : – singleton : E s =< es0 ,~ea1 > ; – arc : E a =< ea0 , ea1 ,~ea2 >, cˆot´es : Pa0∂ = (ea0 ,~ea2 ) et Pa1∂ = (ea1 ,~ea2 ) ; f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

– carreau : E f =< e0 , e1 , e2 ,~ea3 >, cˆot´es : P0∂ = (e0 , e1 ,~e3 ), Pa1∂ = (e1 , e2 ,~e3 ) et Pa2∂ = (e2 , e0 ,~e3 ). En prenant r = s = 12 , h ∈ R, 0 < ∆h < 1, les matrices de subdivision sont : – singleton : T s = (es0 ,~u) avec ~u = ∆?h~es1 ; – arc : T0aA = (ea0 , p,~v), T1aA = (p, ea1 ,~v) avec p = rea0 + sea1 + h~ea2 , ~v = ∆?h~ea2 ; f

f

f

f

f

f

f

– carreau : T0F = (e0 , qa , qc ,~w), T1F = (qa , e1 , qb ,~w), T2F = (qc , qb , e2 ,~w), T3F = (qb , qc , qa ,~w) avec f

f

f

f

f

f

f

f

f

T0aA P0∂ = Pa0∂ T s

=

(ea0 ,~v),

f

=

(p,~v),

T1aA P1∂ = Pa1∂ T s

=

(ea1 ,~v);

f

qa = re0 + se1 + h~e3 , qb = re1 + se2 + h~e3 , qc = re2 + se0 + h~e3 , ~w = ∆h~e3 ; La relation d’incidence s’exprime avec une mise en commun de la direction verticale : – arc : f

f

T0aA P1∂ = T1aA P0∂ = T0aS f

– carreau : f

f

f

=

(e0 , qa ,~w),

f

=

(qa , qc ,~w),

=

(qc , e0 ,~w).

f

f

f

T0F P1∂ = T3F P1∂ Sa f

f

f

T0F P2∂ = P1∂ T1cA

5

f

T0F P0∂ = P0∂ T0aA

f

Conclusion

Nous avons ramen´e la description d’un mod`ele it´eratif a` une formulation en terme d’automate. Dans l’avenir nous pensons proposer une “grammaire de formes”, c.a.d. un syst`eme de r`egles de production de figures avec un contrˆole au choix de la g´eom´etrie ou de la topologie. Pour cela nous devrons e´ laborer un langage qui d´ecrive cette grammaire. Cette formulation permet e´ galement d’envisager une classification des sch´emas de subdivision.

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