Mod´ elisation et commande robuste de syst` emes hydrauliques ` a surface libre : application aux rivi` eres et canaux d’irrigation Xavier LITRICO, Vincent FROMION ? , Jean-Pierre BAUME, Pierre-Olivier MALATERRE Cemagref, UR Irrigation B.P. 5095, 34033 Montpellier Cedex 1, France, T´el : 04 67 04 63 00. Fax: 04 67 63 57 95. e-mail: {xavier.litrico,jean-pierre.baume,pom}@cemagref.fr ? LASB, INRA Montpellier, 2 place Viala, 34060 Montpellier, France. e-mail:
[email protected] 7 mars 2000
R´ esum´ e L’article pr´esente les syst`emes irrigu´es ´etudi´es (rivi`eres et canaux) ainsi que les m´ethodes de commande automatique robustes d´evelopp´ees par l’UR Irrigation du Cemagref et le LABS de l’INRA. La mod´elisation utilis´ee se base sur des mod`eles de connaissance, simplifi´es afin de pouvoir concevoir des contrˆoleurs automatiques. La robustesse des contrˆ oleurs est ´evalu´ee `a l’aide de la valeur singuli`ere structur´ee dans le cas d’incertitudes structur´ees. L’approche est d´etaill´ee dans le cas des canaux et des rivi`eres utilis´es pour l’irrigation.
Mots-cl´ es : hydraulique `a surface libre, retard, robustesse, mod`ele interne, Commande H∞ .
1
Introduction
La gestion de l’eau est un des domaines o` u la recherche se trouve confront´ee `a des enjeux multiples et pressants. La croissance d´emographique impose des pressions importantes sur la ressource en eau, par l’interm´ediaire de la consommation directe d’eau et de l’agriculture irrigu´ee, qui est le premier consommateur sur la plan`ete. Dans ce cadre, nous nous int´eressons plus sp´ecifiquement `a la gestion hydraulique des syst`emes irrigu´es qui consiste `a fournir de l’eau en un point donn´e en quantit´e et en temps voulu par l’utilisateur (des agriculteurs utilisant l’eau pour l’irrigation, ou d’autres consommateurs). Cette gestion est rendue d´elicate par l’´etendue spatiale des syst`emes consid´er´es, par les temps de retard importants et par le caract`ere non lin´eaire de leur fonctionnement hydraulique. Pour ´economiser et utiliser au mieux la ressource existante, les modes de gestion de l’eau sont amen´es `a se moderniser. L’automatique, traditionnellement industrielle peut ˆetre appliqu´ee avec profit aux cas des syst`emes hydrauliques pour permettre une gestion aussi fine que possible. Les approches de l’automatique ne sont pourtant pas transposables directement aux syst`emes hydrauliques `a surface libre qui sont des syst`emes distribu´es non lin´eaires fortement perturb´es.
Face `a la nature non seulement distribu´ee mais aussi non lin´eaire du syst`eme, les hydrauliciens utilisent une m´ethodologie classique en automatique, consistant `a contrˆoler aux mieux les lin´earisations (stationnaires) associ´ees `a l’ensemble des r´egimes permanents du syst`eme (les points d’´equilibre). Cette m´ethodologie, assimilable sous bien des points `a celle utilis´ee dans le cadre des gains variables, est de nature heuristique par le fait qu’elle n’implique pas n´ecessairement que le syst`eme poss`ede un bon “comportement global” (cela concerne mˆeme la stabilit´e). Par contre, `a d´efaut de fournir des conditions suffisantes (de stabilit´e et de performance), elle impose des contraintes qu’il est n´ecessaire de satisfaire. Soulignons enfin que cette approche donne des r´esultats tr`es satisfaisants dans le cadre des syst`emes hydrauliques `a surface libre. Cette approche conduit naturellement `a chercher un contrˆoleur lin´eaire (ou des correcteurs lin´eaires) capable de stabiliser une famille de syst`emes lin´eaires (correspondant `a l’ensemble des lin´earisations `a commander). On comprend pourquoi les outils r´ecemment d´evelopp´es dans le cadre de la commande robuste sont particuli`erement adapt´es `a ce probl`eme, aussi bien du point de vue de l’analyse (utilisation de la µ analyse) que de la synth`ese (m´ethode H∞ , LPV, etc.). Enfin, notons qu’`a terme, il est probable que le cadre th´eorique attach´e `a l’approche robuste permette de tenir compte des aspects non lin´eaires de ces syst`emes. Dans ce papier, nous pr´esentons de fa¸con sch´ematique les grandes ´etapes permettant de passer des demandes des gestionnaires `a la synth`ese de lois de commande. Nous distinguons dans ce cadre les deux grands types de syst`emes : les syst`emes o` u le transport de l’eau est r´ealis´e par des rivi`eres et ceux o` u l’eau est transport´ee par des canaux (artificiels) d’irrigation. Dans le premier cas, il s’agit d’utiliser un moyen naturel, i.e. la rivi`ere, pour amener l’eau `a l’utilisateur. Dans ce cadre, comme par exemple dans le cas des rivi`eres de Gascogne (g´er´ees par la CACG 1 ), il s’agit de calculer en temps r´eel les lˆachures `a effectuer `a chaque barrage en fonction des demandes des utilisateurs (qui sont connues ou inconnues) tout en assurant un d´ebit minimal `a l’aval de la rivi`ere (viabilit´e du milieu). Ces rivi`eres souvent assez longues (de l’ordre de 100 km) sont caract´eris´ees par des retards importants (de l’ordre de 4 heures par dizaine de kilom`etres) et variables en fonction du d´ebit (le retard peut varier de ± 20 % autour de la valeur nominale). Cette forte variabilit´e des caract´eristiques du syst`eme rend le probl`eme de commande difficile. En effet il s’agit d’obtenir le meilleur compromis entre stabilit´e et performance. De plus, comme on dispose en g´en´eral de plusieurs mesures de d´ebit sur la rivi`ere, et d’un seul point de commande au niveau du barrage, on doit de fait concevoir un contrˆoleur multivariable (le syst`eme est “SIMO” (Single Input, Multiple Outputs). Le second type de syst`emes, de loin les plus utilis´es en irrigation, est celui qui utilise des canaux (artificiels) d’irrigation. Ils forment souvent un r´eseau ramifi´e par diffluences, o` u le d´ebit diminue vers l’aval du syst`eme. Les canaux poss`edent un nombre important d’actionneurs (vannes en travers) permettant d’agir sur les niveaux et les d´ebits interm´ediaires. Il s’agit de r´eguler la hauteur d’eau au niveau de chacun des ouvrages. Cet objectif assure implicitement, par l’interm´ediaire de la loi de Bernoulli, le contrˆole des d´ebits pr´elev´es par chacun des utilisateurs. Du point de vue de la commande, il s’agit de commander un syst`eme multivariable, fortement coupl´e (car constitu´e de sous syst`emes en s´erie) et sujet `a un nombre important de perturbations non mesur´ees. Nous discutons dans cet article, tout d’abord des aspects attach´es `a la mod´elisation de ces deux types de syst`emes. Une attention particuli`ere est port´ee sur la d´emarche nous permettant 1. Compagnie d’Am´enagement des Coteaux de Gascogne
d’obtenir les mod`eles pour la simulation et pour la commande. Nous abordons ensuite le probl`eme de la commande en pr´esentant pour chacun de ces deux types de syst`eme, une m´ethodologie de synth`ese d’un contrˆ oleur.
2 2.1
Mod´ elisation Mod` ele physique : les ´ equations de Saint-Venant
En ´ecrivant la conservation de la masse et de la quantit´e de mouvement d’un volume ´el´ementaire de fluide, pour un ´ecoulement suppos´e mono-dimensionnel et graduellement vari´e, on obtient deux ´equations aux d´eriv´ees partielles hyperboliques, du premier ordre et non-lin´eaires (Chow, 1988). Elle sont usuellement appel´ees Equations de Saint Venant et ont la forme suivante : dSmiroir perturbation en débit
surface au miroir après dt secondes Smiroir(t+dt)
dx
état initial de la surface d'eau
Z
l
S
p : périmètre hydraulique
S: surface mouillée (m2) X: abscisse (m) Z: côte absolue de l'eau (m) l: largeur au miroir R: rayon hydraulique = S / p (m)
Fig. 1 – Repr´esentation d’un volume ´el´ementaire de l’´ecoulement
∂S ∂Q + ∂t ∂x ∂z ∂Q ∂Q2 /S Dynamique : + + gS + gSJ ∂t ∂x ∂x Continuit´e :
= ql
(1)
= kql V
(2)
avec t la variable de temps [s], x la variable d’espace [m], S la section mouill´ee [m2 ], Q le d´ebit [m3 /s], ql le d´ebit lat´eral par unit´e de longueur [m2 /s], ql > 0 : apports, ql < 0 : pertes, g l’acc´el´eration de la pesanteur [m/s2 ], z la cote absolue de l’eau [m], J la pente de frottement, V la vitesse de l’´ecoulement [m/s], k = 0 si ql > 0 , et k = 1 si ql < 0 , consid´erant que les apports sont perpendiculaires au sens de l’´ecoulement, n’apportant pas de quantit´e de mouvement, et que les pertes sont parall`eles au sens de l’´ecoulement, diminuant la quantit´e de mouvement. Les frottements sont mod´elis´es par la formule de Manning-Strickler (Chow, 1988) : J=
Q 2 n2
(3)
4
S2R 3
avec R le rayon hydraulique [m] et n le coefficient de Manning (n = de Strickler).
1 K,
o` u K est le coefficient
Ce syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles doit ˆetre compl´et´ees par les conditions initiales, c’est `a dire, le d´ebit et la cˆote en tout point `a l’instant initial, i.e., z(x, 0) et Q(x, 0), plus deux conditions aux limites, par exemple le d´ebit et la cote pour tout t en deux points sp´ecifiques. Au del`a de la difficult´e li´ee `a la r´esolution de cette EDP, nous pouvons noter d`es ici que la solution de cette ´equation d´epend fortement de la forme du “tuyau” (`a travers les termes d´ependant de la section mouill´ee, i.e., S). Ceci explique pourquoi la mod´elisation des canaux et des rivi`eres est r´ealis´ee de fa¸con tr`es diff´erente. En effet, dans le cas des canaux, les caract´eristiques g´eom´etriques ´etant bien maˆıtris´ees, il est possible d’obtenir un mod`ele de simulation satisfaisant sur la base de la r´esolution des ´equations de Saint-Venant. Dans le cas des rivi`eres, il en est tout autrement. L’´equation de Saint-Venant servira de base pour structurer les mod`ele servant `a d´ecrire le comportement dynamique de ces syst`emes. Les paragraphes suivants ont pour objet de d´etailler cela.
2.2
Mod´ elisation des canaux : R´ esolution des ´ equations de Saint-Venant contrôle
retenue d’eau
ouvrage fixe
1
Q(Z) aval
2 3
: côte à réguler
: prise d’eau
Fig. 2 – Un canal est une mise en s´erie de biefs Comme nous l’avons dit plus haut, il est possible, dans le cas des canaux d’irrigation, d’obtenir un mod`ele de simulation de bonne qualit´e en r´esolvant les ´equations de Saint-Venant. L’id´ee ici est tout d’abord de d´ecomposer un canal d’irrigation comme une s´erie de biefs (figure 2), chacun de ces biefs ´etant r´egit par les ´equations de Saint-Venant. Les conditions aux limites de chacune de ces ´equations correspondent en fait aux lois qui r´egissent les ouvrages, par exemple les lois des vannes (figure 3). W
ZV1
Q
ZV2
Q(t)=LCD W(2g) 1/2 (ZV1 -ZV2 )1/2 W : ouverture (m) Q : débit (m3 /s) CD : coefficient de vanne expérimental L : longueur de la vanne (m)
Fig. 3 – Condition aux limites des biefs : les lois des ouvrages La nature distribu´ee et non lin´eaire des ´equations de Saint-Venant ne permet qu’une r´esolution approch´ee de celles-ci `a travers la discr´etisation de la solution selon x et t. Le sch´ema num´erique usuellement utilis´e dans ce cadre est celui de Preissmann (Preismann, 1965). Il correspond `a une m´ethode implicite aux diff´erences finies `a quatre points. Dans ce contexte, une fonction de t et
x et ses d´eriv´ees partielles par rapport `a x et t sont approch´ees de la fa¸con suivante : f (x, t) ' ∂f ∂x ∂f ∂t
M fjn
' Dx fjn ' Dt fjn
θ n+1 + f n+1 ) + 1 − θ (f n + f n ) i+1 i i i+1 2 (fn+1 2 n − fn fi+1 − fin+1 fi+1 i = θ + (1 − θ) ∆x ∆x n+1 n fi+1 − fi+1 + fin+1 − fin = 2∆t =
(4)
o` u i est l’indice d’espace, n l’indice de temps et θ un coefficient de pond´eration compris entre 0 et 1. M, Dx , Dt sont des op´erateurs aux diff´erences finies. Le remplacement des divers fonctions t n+1 f(x,t) θ
n ∆t
∆x
i
i+1
x
Fig. 4 – Maillage du sch´ema de discr´etisation de Preissmann par les approximations pr´esent´ees ci-dessus dans les ´equations de Saint-Venant conduit `a un syst`eme d’´equations “lin´eaires” implicites qu’il s’agit de r´esoudre `a chaque pas de temps.
2.3
Mod´ elisation des rivi` eres
A la diff´erence des canaux, les rivi`eres ont une g´eom´etrie assez mal maˆıtris´ee. Ceci implique qu’il est difficile d’obtenir un mod`ele de simulation `a partir de la seule connaissance de sa g´eom´etrie et de la r´esolution des ´equations de Saint-Venant. C’est pour cela qu’il est plus naturel dans ce cadre d’utiliser le mod`ele de Saint-Venant pour structurer un mod`ele qui sera ensuite identifi´e (Litrico, 1999). Nous explicitons cela dans le paragraphe qui suit. Le mod` ele de l’onde diffusante (Litrico, 1999) L’´equation de l’onde diffusante est une ´equation non lin´eaire aux d´eriv´ees partielles obtenue par simplification du mod`ele de Saint Venant : ∂Q ∂Q ∂2Q + C(Q) − D(Q) 2 = 0 (5) ∂t ∂x ∂x avec Q(x, t) le d´ebit [m3 /s], C(Q) la c´el´erit´e [m/s], et D(Q) la diffusion [m2 /s]. Dans le cas d’une g´eom´etrie rectangulaire large uniforme, C et D s’expriment sous la forme de fonctions puissance du d´ebit Q. On suppose que c’est ´egalement vrai dans le cas g´en´eral, avec C et D sous la forme suivante : C(Q) = αC QβC D(Q) = αD QβD avec C [m/s], D [m2 /s], αC , αD , βC et βD > 0. Les divers coefficients sont alors obtenus par identification (Litrico, 1999). La m´ethode d’identification consiste `a minimiser l’´ecart quadratique entre les sorties mesur´ees sur le syst`eme et
les sorties g´en´er´ees par l’´equation (5) `a partir des entr´ees mesur´ees. On utilise une technique d’optimisation non lin´eaire pour minimiser le crit`ere d’´ecart. L’´equation (5) est r´esolue `a l’aide d’un sch´ema aux diff´erences finies suivant la m´ethode dite de Muskingum-Cunge (Cunge, 1969).
3 3.1
Mod` eles pour la commande Introduction
La section pr´ec´edente nous a permis d’expliciter plus avant la nature des mod`eles qui sont `a notre disposition pour repr´esenter de fa¸con satisfaisante le comportement r´eel des syst`emes d’irrigation. Dans cette section, nous discutons du probl`eme li´e `a l’obtention d’un mod`ele pour la commande. De fait, ce mod`ele pour la commande est bien ´evidement fortement li´e aux mod`eles que nous venons de d´ecrire mais aussi aux objectifs de commandes que le syst`eme doit satisfaire. Enfin, il d´epend de l’approche retenue. Dans la suite, nous adoptons la d´emarche classiquement consid´er´ee dans ce contexte en cherchant `a contrˆoler aux mieux les lin´earisations (stationnaires) associ´ees `a l’ensemble des r´egimes permanents du syst`eme (les points d’´equilibre). Comme nous allons le voir, les mod`eles lin´eaires extraits des mod`eles math´ematiques pr´esent´es plus haut sont encore souvent trop complexes, puisque soient de nature irrationnelle, soient comportant un nombre tr`es important d’´etats. De fait, la commande robuste permet de traiter ce probl`eme sans difficult´e. L’id´ee ici est d’approcher les transferts de fa¸con satisfaisante sur une plage de fr´equences donn´ees (celle-ci peut ˆetre d´etermin´ee `a partir de la connaissance de la valeur maximale de la bande passante admissible). Il ne reste plus alors qu’`a quantifier, `a l’aide des outils attach´es `a l’approche robuste, la valeur de “l’incertitude de mod`ele” introduit par cette approximation.
3.2
Mod` eles pour la commande dans le cas des rivi` eres
Mod` ele d’Hayami La lin´earisation de l’´equation (5) autour d’un d´ebit de r´ef´erence Qe 6= 0 donne l’´equation d’Hayami : ∂q ∂2q ∂q + Ce − De 2 = 0 (6) ∂t ∂x ∂x avec Ce = αC Qβe C et De = αD Qβe D . Cette ´equation aux d´eriv´ees partielles lin´eaire du second ordre a une solution analytique pour des entr´ees simples de type ´echelons ou rampes (Piquereau and Villocel, 1982; Kosuth, 1989; Moussa, 1996). On peut aussi exprimer la relation entre d´ebit amont et d´ebit aval sous la forme d’une fonction de transfert apr`es transformation de Laplace (Angot, 1972). Ainsi, en fixant une condition aval ∂q du type limx→∞ ∂x = 0, on obtient la fonction de transfert d’Hayami : ! p Ce − Ce2 + 4De s FHayami (s) = exp X (7) 2De X : longueur du bief [m] Ce : c´el´erit´e [m/s] De : diffusion [m2 /s] s : variable de Laplace.
Mod` ele approch´ e La fonction de transfert (7) peut ˆetre approch´ee analytiquement `a une fonction de transfert de type second ordre avec retard (Malaterre, 1994): F0 (s) =
Ge−sτ 1 + Ss + P s2
(8)
o` u les param`etres sont choisis de telle sorte que la phase et le gain du mod`ele approch´e correspondent au mieux `a celle du mod`ele d’Hayami sur une plage de fr´equence donn´ee. Mod´ elisation des incertitudes On peut repr´esenter de fa¸con simultan´ee l’erreur li´ee `a l’approximation et celle qui d´ecrit la famille des mod`eles possibles. Pour cela, on suppose que le d´ebit de lin´earisation Qe est born´e par Qmin et Qmax . On peut alors ´evaluer l’incertitude de mod`ele lorsqu’on consid`ere le mod`ele nominal F0 (s) pour repr´esenter le bief de rivi`ere. L’incertitude multiplicative Em (s) repr´esente l’erreur relative sur la fonction de transfert nominale F0 (s): F (s) = [1 + Em (s)]F0 (s) avec |Em (jω)| ≤ lm (ω) ∀ ω ∈ R. Avec la repr´esentation des incertitudes sous forme multiplicative, lm (ω) est obtenue par : F (jω, Qe ) max lm (ω) = 1 − (9) Qe ∈[Qmin ,Qmax ] F0 (jω)
3.3
Mod` ele pour la commande dans le cas des canaux
L’int´egration num´erique des ´equations de Saint Venant nous permet de d´eterminer les r´egimes stationnaires de chacun des biefs. Sur cette base et pour un r´egime stationnaire sp´ecifique, on calcule le mod`ele aux petites variations de l’´equation de Saint-Venant discr´etis´ee. Cela conduit `a un mod`ele lin´eaire discret qui permet de restituer l’effet d’une petite variation des entr´ees `a chaque pas de discr´etisation temporelle sur l’ensemble des cotes et des d´ebits associ´es `a chaque noeuds du sch´ema de discr´etisation spatiale. Le mod`ele ainsi obtenu poss`ede souvent un nombre important d’´etat. L’analyse de ces mod`eles montre en fait que bon nombre de ces ´etats ne sont que faiblement commandables et observables et donc qu’ils peuvent ˆetre retir´es sans nuire `a la mod´elisation (technique de troncature balanc´ee). Comme le montre la (figure 5), la r´eduction par la technique de la troncature balanc´ee permet de passer d’un syst`eme d’ordre 24 `a un syst`eme d’ordre 3 sans d´egradation substantielle des caract´eristiques des divers transferts du bief (figure 5).
4
Synth` ese des contrˆ oleurs
Nous pr´esentons deux exemples de synth`ese de contrˆoleurs, un contrˆoleur de type mod`ele interne pour les syst`emes barrage-rivi`ere, et un contrˆ oleur H∞ pour les canaux.
Bode Diagrams Entrée en aval du bief
Entrée amont
20 0
Sortie 1 : cote amont
−20 −40 −60
non réduit réduit
−80 0
−1000 −1500
non réduit réduit
−2000 −2500 0
Sortie 2 : cote aval
Phase (deg); Gain (dB)
−500
−50
−100
−500
−1000 −1500 −4
10
−3
−4
10
10
−3
10
Fréquences (rad/sec)
Fig. 5 – Comparaison des transferts r´eduits et non r´eduits pour un bief
4.1 4.1.1
Syst` emes barrage-rivi` ere Architecture du contrˆ oleur
L’architecture type mod`ele interne permet une estimation ind´ependante des pr´el`evements interm´ediaires (voir figure 6). L’int´erˆet est que l’estimation des pr´el`evements se fait de mani`ere ind´ependante pour chaque bief et que le r´egulateur ne r´eagit pas plusieurs fois `a un mˆeme pr´el`evement. La commande en boucle ouverte est obtenue par inversion des fonctions de transfert nominales. Si les inverses ne sont pas stables, on effectue une pseudo-inversion qui garantit la stabilit´e de la fonction de transfert. La synth`ese d’un contrˆ oleur ainsi param´etr´e se r´eduit au choix des filtres de robustesse pour chaque bief. Les filtres fi sont des filtres du premier ordre, il n’y a donc qu’un param`etre de calage par bief, la constante de temps du filtre. 4.1.2
Param´ etrisation
La r´eponse indicielle (r´eponse `a un ´echelon) d’un filtre du premier ordre est donn´ee par : f (t) = 0 pour t ≤ 0 et f (t) = 1 − e−t/T pour t > 0. On peut donc calculer le temps de mont´ee `a 100x % en fonction du temps caract´eristique T : 1 t100x = ln T = − ln(1 − x)T 1−x o` u ln d´esigne le logarithme n´ep´erien. Par exemple, pour le temps de mont´ee `a 90 % (x = 0.9), on obtient t90 = 2.3T . Pour chaque bief i, on note δτi l’incertitude maximale sur le retard τi0 . Cette incertitude est calcul´ee par : δτi = max (|τi min − τi0 | , |τi max − τi0 |)
w p1
w p2
+
F 1 0 ~-1 w i1 u bo +
u
F1
u bf+
F 10 + +
+
F 2 0 ~-1
+
w p3
F 3 0 ~-1
+
w i2 + +
F2
+ + + -
+
zc
w i3
y1
+ +
+
y2
+ + + -
F 20
F3 F 30
+ + y3
z
+ + + -
f1
+ +
f2 f3
Fig. 6 – Architecture type mod`ele interne pour un syst`eme barrage-rivi`ere SIMO
o` u τi min et τi max sont les retards minimum et maximum, respectivement obtenus pour le d´ebit u τi0 est le retard nominal du bief i. maximum Qi max et le d´ebit minimum Qi min , et o` On note ∆τi l’incertitude sur le retard total depuis le barrage jusqu’`a l’aval du bief i : ∆τi =
i X
δτk
k=1
On d´efinit alors les filtres pour chaque bief i par rapport `a l’incertitude maximum sur le retard total ∆τi , en sp´ecifiant le pourcentage d´esir´e x pour que le filtre r´eagisse `a 100x % en un temps de mont´ee ´egal `a ∆τi . On a alors la relation : ∆τi Ti = − ln(1 − x) avec Ti le temps caract´eristique du filtre pour le bief i. Et, en discret, les filtres sont donn´es par : fi (z) = avec αi = exp(− TTei ) = exp 4.1.3
h
Te ln(1−x) ∆τi
i
(1 − αi )z −1 1 − αi z −1
= (1 − x)Te /∆τi .
Synth` ese robuste
En supposant que M et ∆ sont stables (pˆoles `a partie r´eelle n´egative en continu, dans le disque unit´e en discret), on a le th´eor`eme g´en´eral de la robustesse en stabilit´e suivant (d’apr`es le th´eor`eme du petit gain). Th´ eor` eme 1 Le syst`eme de la figure 7 est stable pour tout ∆(s) tel que k∆k∞ ≤ 1 si et seulement si kM k∞ < 1, ce qui ´equivaut ` a: σ (M (jω)) < 1
∀ω∈R
∆ p
q M
Fig. 7 – Sch´ema g´en´eral d’´etude de la robustesse en stabilit´e
Dans le cas o` u on a plusieurs biefs en s´erie (syst`eme SIMO), les incertitudes multiplicatives non structur´ees deviennent une incertitude globale structur´ee. On utilise alors le th´eor`eme : Th´ eor` eme 2 Si M (s) et ∆(s) ont tous leurs pˆ oles ` a partie r´eelle n´egative, le syst`eme de la figure 7 est stable pour toute matrice ∆(s) ∈ ∆ telle que k∆k∞ < 1 si et seulement si: µ∆ (M (jω)) ≤ 1
∀ω∈R
(10)
Une preuve de ce th´eor`eme est donn´ee dans (Zhou and Doyle, 1998). Pour une valeur de x ´egale `a z´ero, c’est-`a-dire pour une valeur des temps caract´eristiques des filtres infinie, la stabilit´e de la boucle ferm´ee est garantie. Si on augmente la valeur de x, la r´eaction `a un pr´el`evement identifi´e par les mod`eles internes sera plus importante et la robustesse de la boucle ferm´ee va diminuer. On cherche `a d´eterminer la plus grande valeur de x pour laquelle la condition de stabilit´e robuste (10) est v´erifi´ee. Cette valeur est d´etermin´ee par dichotomie sur la valeur du pourcentage x, jusqu’`a satisfaction de la contrainte de stabilit´e robuste µ∆ (M ) < 1. Cette param´etrisation permet une synth`ese automatique d’un contrˆoleur IMC-SIMO robuste pour un syst`eme barrage-rivi`ere. R´ esultats Un r´esultat de simulation est donn´e dans le cas de la Gimone, une rivi`ere de 116 km de long, compos´ee de deux biefs de respectivement 44 km et 72 km. u
2
m3/s
1.5 1
0.5 0
0
100
200
300 time (h)
400
500
600
400
500
600
[y1 y2]
2
m3/s
1.5 1
0.5 0
0
100
200
300 time (h)
Fig. 8 – Contrˆ oleur IMC-SIMO, suivi de consigne et rejet de perturbation Les simulations sur un mod`ele non lin´eaire ont montr´e la robustesse en stabilit´e du contrˆoleur propos´e, ce qui conforte la d´emarche propos´ee pour la mod´elisation et la synth`ese robuste.
4.2
Canaux
De multiples techniques peuvent ˆetre utilis´ees dans le cadre de canaux d’irrigation, nous pr´esentons ici rapidement une synth`ese de type H∞ (Pognant-Gros, 1999). La synth`ese du correcteur H∞ passe par deux ´etapes importantes. La premi`ere ´etape consiste `a exprimer le cahier des charges en termes de contraintes H∞ sur les divers transferts du syst`eme boucl´e. La seconde ´etape consiste alors `a formaliser l’ensemble de ces contraintes sous la forme de la minimisation de norme H∞ d’un probl`eme sous la forme standard (Doyle et“nobreakspace –˝al., 1989). Nous pr´esentons dans la suite la synth`ese r´ealis´ee sur un canal d’irrigation comportant trois biefs. Les trois biefs sont choisis identiques afin de mieux montrer la nature multivariable des correcteurs obtenus. Le syst` eme Le syst`eme poss`ede 3 sorties, not´ees y, et qui correspondent aux mesures des cotes, 3 contrˆ oles, not´es u, qui correspondent aux valeurs des d´ebits fournis par les vannes et enfin il est sujet `a 3 perturbations, not´ees p, qui correspondent aux pr´el`evements des utilisateurs sur chacun des biefs. Dans ce cadre, la boucle ouverte a la forme suivante ˜ y = Gu − ˜Gp et la boucle ferm´ee prend alors la forme suivante : ˜ (I + GK)−1 (I + GK)−1 ˜G e r = ˜ u p (I + KG)−1 K (I + KG)−1 K ˜G o` u K est le correcteur, e est le vecteur des erreurs de poursuite d´efini comme la diff´erence entre le vecteur des consignes, i.e. r, et le vecteur des sorties. Expression du cahier des charges en terme de contraintes H∞ Le cahier des charges a la forme suivante : Erreur de poursuite Commande Consigne de cˆ ote Erreur statique et Effort de commande limit´e d´ecouplage Perturbation en d´ ebit Rejet des perturbations et Effort de commande d´ecouplage On ajoute `a cela une contrainte de robustesse sp´ecifi´ee `a travers l’obtention de marge multivariable de gain et de phase minimale. Expression d’une contrainte du cahier des charges sous forme d’une contrainte H∞ Nous explicitons uniquement ici l’objectif se rapportant aux sp´ecifications de la r´egulation et d´ecouplage. La r´egulation/d´ecouplage des cotes concerne la matrice de transfert liant les consignes aux erreurs de poursuite, i.e. S. De fa¸con g´en´erale, la norme du vecteur de l’erreur de poursuite r´esultant de l’application d’une entr´ee p´eriodique, rw , de pulsation w et d’amplitude a satisfait l’in´egalit´e suivante : |e(jw)| ≤ a¯ σ (S(jw))
On va donc pouvoir formuler la sp´ecification concernant l’erreur statique (et le d´ecouplage basse fr´equences) par la contrainte suivante : σ ¯ (S(j0)) ≤ gs . Dans le cadre H∞ , une telle contrainte est retranscrite `a travers l’utilisation d’une pond´eration fr´equentielle (g´en´eralement not´ee W1 dans la litt´erature) agissant sur S. En effet, s’il existe un correcteur K tel que kW1 Sk∞ ≤ γ ¯ alors on a de fa¸con ´equivalente, pour w ∈ R
σ ¯ (S(jw)) ≤ σ ¯ (W1 (jw)−1 ) d`es lors que si W1 (jw) n’est pas nulle. L’erreur de poursuite, `a une pulsation donn´ee, est donc directement proportionnelle `a l’inverse du gain de W1 en cette pulsation. Les propri´et´es que doit satisfaire W1 pour l’objectif de r´egulation sont qualitativement identifi´ees. Les autres autres contraintes se sp´ecifient de la mˆeme fa¸con. Le crit` ere consid´ er´ e Le crit`ere suivant permet en fait de prendre en compte chaque demande du cahier des charges : ˜ p W1 S W1 S ˜GW H(s) = ˜ p W2 Se K W2 Se K ˜GW o` u W1 = diag(W11 , W12 , W13 ), W2 = diag(W21 , W22 , W23 ) et Wp = diag(Wp1 , Wp2 , Wp3 ). Les pond´ erations retenues Afin de faciliter la phase d’ajustement des pond´erations, nous utilisons des fonctions de transfert propos´ees dans (Font, 1995) qui ont la forme particuli`ere suivante : p p G∞ |G02 − 1|s + G0 wc |G2∞ − 1| p p W (s) = (11) 2 − 1| |G02 − 1|s + wc |G∞
o` u (G0 −1)(G∞ −1) < 0 et wc > 0. De fait, on a |W (j0)| = G0 , |W (j∞)| = G∞ et |W (jwc )| = 1. La grande homog´en´eit´e du syst`eme nous permet d’utiliser des pond´erations elles mˆemes homog`enes, i.e. l’ensemble des pond´erations W1,i , W2,i et Wp,i sont prises identiques. En fait, apr`es une phase d’ajustement, nous avons conserv´e les pond´erations suivantes d´ecrites : W1i W2i G0 1000 0.01 G∞ 0.5 30 −4 wc 1.510 0.01 et pris Wip = 1.
R´ esultats Nous analysons ici le correcteur obtenu. • La figure 9 correspond aux trac´es des valeurs singuli`eres maximales des matrices de transfert ˜ Se K et Se K ˜G, ˜ et des contraintes que le crit`ere leur a impos´ees. principales de H(s), i.e. S, S ˜G,
1
1
10
10
H12 Pondération (inverse)
0
10
0
10 −1
gain
gain
10
−1
10
−2
10
−2
H11 Pondération (inverse)
−3
10
10
−4
10
−3
−6
10
−5
−4
10
10 rad/s
−3
10
10
−2
10
−6
10
2
−5
−4
10
−3
10 rad/s
−2
10
10
2
10
10
1
10
1
10
0
gain
gain
10 0
10
−1
10 −1
H22 Pondération (inverse)
H21 Pondération (inverse)
10
−2
10
−2
10
−3
−6
10
−5
−4
10
10 rad/s
−3
10
10
−2
10
−6
10
−5
−4
10
10 rad/s
−3
−2
10
10
Fig. 9 – Trac´e des 4 blocs et des contraintes associ´ees
• La marge multivariable en entr´ee du syst`eme est calcul´ee `a partir de la norme H∞ de Se et Te . On obtient l’encadrement suivant : −16.9 dB ≤ ∆G ≤ 10.82 dB • Nous pr´esentons maintenant sur la figure 10 les simulations du syst`eme face aux changements de cote et face aux perturbations de d´ebit. La pr´esentation des simulations relatives `a la perturbation du d´ebit et `a la modification de consigne de la cote du bief 3 sont suffisantes pour illustrer l’int´erˆet et la nature de la politique suivie par le correcteur H∞ . 1.2
0.15
1
0.1
z1 z2 z3
z1 z2 z3
0.05
0.6 Côtes (m)
Côtes (m)
0.8
0.4
0
−0.05
0.2
−0.1
0
−0.15
−0.2
0
500
1000
1500 minutes
2000
2500
−0.2
0
500
1000
1500
2000
2500
minutes
Fig. 10 – Evolution des cotes face `a un ´echelon de consigne sur le bief 3 et `a une perturbation de d´ebit en aval du bief 3
5
Conclusions
La mod´elisation des syst`emes hydrauliques `a surface libre fait intervenir des ´equations aux d´eriv´ees partielles relativement complexes, que l’on simplifie pour pouvoir concevoir des contrˆoleurs, d’abord en les lin´earisant, puis en r´eduisant l’ordre du mod`ele lin´eaire obtenu par
approximation “fr´equentielle”. Une fois ´evalu´ees les erreurs de mod`ele, on peut ´etudier la robustesse des contrˆ oleurs obtenus, et int´egrer la prise en compte de la robustesse dans la synth`ese du contrˆoleur. Le caract`ere “standard” des m´ethodes d´evelopp´ees permet leur application dans de nombreux p´erim`etres irrigu´es.
R´ ef´ erences Angot, A. (1972). Compl´ements de math´ematiques ` a l’usage des ing´enieurs de l’´electrotechnique et des t´el´ecommunications. Masson et Cie, Paris, 6th edition. Chow, V. (1988). Open-channels hydraulics. McGraw Hill Book Company. Cunge, J. (1969). On the subject of a flood propagation computation method (Muskingum method). Journal of Hydraulic Research, 7(2):205–230. Doyle, J., Glover, K., Khargonekar, P., and Francis, B. (1989). State-space solutions to standard H2 and H∞ control problems. IEEE Transactions on Automatic Control, 34(8):831–846. Font, S. (1995). M´ethodologie pour prendre en compte la Robustesse des syst`emes asservis : optimisation H∞ et approche symbolique de la forme standard. Th`ese de doctorat, Universit´e de Paris-Sud Orsay, France. Kosuth, P. (1989). R´egulation des transferts d’eau en canaux. Mod´elisation par fonctions de transfert d’un sous-syst`eme non-lin´eaire: bief avec vanne. Mod´elisation par r´eseau de neurones d’un bief sans ouvrage. DEA d’ Automatique de l’INSA Toulouse, Cemagref - LAAS - CNRS Toulouse. Litrico, X. (1999). Mod´elisation, identification et commande robuste de syst`emes hydrauliques ` a surface libre. Th`ese de doctorat, ENGREF - Cemagref. Malaterre, P. (1994). Mod´elisation, analyse et commande optimale LQR d’un canal d’irrigation. Th`ese de doctorat, ISBN 2-85362-368-8, Etude EEE n◦ . 14, LAAS - CNRS - ENGREF Cemagref. Moussa, R. (1996). Analytical solution for the diffusive wave flood routing problem with lateral inflow. Hydrological Processes, 10:1209–1227. Piquereau, A. and Villocel, A. (1982). Gestion automatique des eaux d’´etiage. Cas de la rivi`ere Arrats. rapport technique, ONERA, CERT/DERA Toulouse, ADI, CACG. Pognant-Gros, P. (1999). Mod´elisation et commande H∞ d’un canal d’irrigation. M´emoire de DEA de l’Universit´e de Caen, ISMRA - Cemagref - INRA. Preismann, A. (1965). Difficult´es rencontr´ees dans le calcul des ondes de translation `a front raide. In 11 e`me congr`es IAHR, volume V.3, pages 3–52, Leningrad. Zhou, K. and Doyle, J. (1998). Essentials of robust control. Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458.
