LE DIPÔLE RL
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Intro : Que se passe-t-il si un fil conducteur est enroulé sur lui même ?
1. La bobine 1.1. Description et structure
Une bobine est constituée d’un fil conducteur enrobé d’un isolant. Ce fil est enroulé toujours dans le même sens pour former des spires sur un support (plus ou moins) cylindrique isolant. Cette disposition favorise l’apparition d’un champ magnétique à l’intérieur de la bobine (Cf. cours de 1ère S). Une bobine présente une certaine résistance car la longueur de fil utilisée est souvent très grande. Si la résistance interne de la bobine peut être négligée par rapport aux autres résistances dans le circuit, on considère que la bobine est idéale. Symboles et fléchage : Bobine réelle : i
Bobine idéale :
Bobine avec noyau de fer :
r uB
1.2. Influence d’une bobine sur l’intensité du courant
Expérience 1 : en courant continu Effet d’une bobine sur l’allumage d’une lampe (la bobine est constituée de 2 bobines de 1000 spires en série et montées sur une carcasse de transformateur). Observation : Lorsqu’on ferme le circuit, la lampe placée dans la E branche comportant la bobine s’allume en retard par rapport à celle placée dans la branche sans bobine ( ). Conclusion : Un courant électrique circule dans la lampe . L’intensité de ce courant croît au cours du temps jusqu’à atteindre sa valeur maximale. Remarque : Quand on ouvre l’interrupteur, il y a des étincelles.
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+
−
R
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Expérience 2 : en courant variable de forme triangulaire R = 1 à 10kΩ et bobine de 1000 spires ; GBF de 1 à 3000 Hz Calibre ±1 V pour les voltmètres, ± 25 mA pour ampèremètre. Acquisition pendant 1 s ou en continu. • Cas où le courant varie lentement : f = 1 à 5 Hz et R = 10 Ω. Faire graphe u B = f (t) ; u R = f (t) ; pour chaque fréquence.
Console ExAO
GBF
Comme u R = R i , la tension aux bornes de la résistance est proportionnelle à l’intensité du courant, donc l’allure de est la même que celle de i, à un coefficient de proportionnalité positif près.
uR = R i
Console ExAO
R
Observation : Les deux tensions sont proportionnelles et le coefficient de proportionnalité est constant si la fréquence varie. La tension aux bornes de la bobine est proportionnelle à l’intensité du courant. Conclusion : Dans ces conditions, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique. • Cas où le courant varie rapidement : f = 1 à 3 kHz et R = 2 kΩ. Graphe u B = f (t) et u R = f (t) . Calibre ±1 V pour les voltmètre, ± 25 mA pour ampèremètre. Acquisition pendant 1 ms ou en continu. Observation : Lorsque la tension image de l’intensité varie suivant une loi affine, la tension aux bornes de la bobine reste constante. Si l’intensité est croissante, est positive et si l’intensité est décroissante, est négative. Il semble que ait un lien avec la dérivée de l’intensité par rapport au temps. Deux méthodes sont utilisables : • On peut utiliser la fonction dérivée de loggerpro avec les courbes expérimentales lissées u di Puis, après avoir obtenu l’intensité i par calcul de la courbe R , faire la dérivée par loggerpro puis R dt di di = f (t) ou faire le rapport de regarder l’allure de u B = f (t) et de par . dt dt On trouve que ce rapport est constant (sauf dans les zones de transitions) di I − (− I) = = 4 I f , avec I la valeur max de i. Ou • On peut estimer la dérivée sur une demi période par dt T/2 1000 1200 1500 1700 2000 (Hz) (A/s) (V) di di Puis on trace le graphe u B = f , on trouve une droite linéaire. et sont proportionnels. dt dt di di = f (t) ont la même allure donc Les graphes u B = f (t) et et sont proportionnelles. dt dt Conclusions : La tension aux bornes de la bobine est reliée à l’intensité du courant par la relation Le coefficient de proportionnalité L est appelé inductance de la bobine, unité le henry H. P.PECORELLA
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.
Expérience 3 : en courant variable de forme rectangulaire f = 1 kHz et R = 2 Ω puis R = 100 Ω en y allant progressivement pour éviter les oscillations i uR K u R = f (t) ou i = = f (t) pour K fermé puis K ouvert. R GBF R Calibre ±1 V pour les voltmètres, ± 25 mA pour ampèremètre. Acquisition continue avec synchro sur pendant 1 ms Observation : Les variations de l’intensité du courant sont plus faibles lorsque la bobine est dans le circuit. Sans la bobine, est bien rectangulaire, avec la bobine, varie progressivement pour arriver à sa valeur maximale. La tension aux bornes de la résistance est proportionnelle à l’intensité du courant. Conclusion : La bobine s’oppose aux variations de l’intensité du courant du circuit dans lequel elle se trouve : on dit que la bobine lisse le courant. Cela explique aussi la présence d’étincelles lors de l’ouverture de l’interrupteur dans l’expérience 1. En effet, lors de l’ouverture le courant devrait s’annuler brutalement mais l’étincelle traduit le passage du courant dans l’air. 1.3. Modélisation du comportement de la bobine
Pour une variation quelconque de l’intensité du courant au cours du temps, le comportement de la bobine est la somme des deux effets précédents, celui liée à la résistance r et celui lié à l’inductance de la bobine. En convention récepteur, on a alors la relation suivante :
u B = ri + L
di dt
.
Cette relation est toujours vraie pour les bobines sans noyau de fer. Remarque : cette relation implique que
est homogène à une tension comme ri et donc
est
homogène à un temps. Le dipôle RL
1.4. Réponse à un échelon montant de tension
i
• À la date t = 0, on ferme l’interrupteur. La loi d’additivité des tensions s’écrit : , ce qui donne di di E L di E = ri + L + Ri = ( r + R) i + L =i+ soit dt dt r+R r + R dt E L di =i+ r+R r + R dt
Il faut donc résoudre l’équation différentielle
E
.
uR = R i
• Évolution de l’intensité La solution de ce type d’équation est
i =
−
τ
+
R
dans laquelle A, B et τ
sont des constantes à déterminer. On dérive l’expression de la solution,
di − τ = − + puis on remplace dt τ
di et i par leurs expressions dans l’équation différentielle. dt t − − τt E L A − τt E L τ = Ae +B − e ⇔ = B + A 1 − Donc e . r+R r+R τ r+R (r + R) τ
t
Cette équation doit être vérifiée à chaque instant (quelque soit t), le terme devant e − τ doit être nul mais A ne L E = 0 soit τ = L peut pas être nulle donc : 1 − et B = r + R . r + R (r + R) τ P.PECORELLA
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Utilisation des conditions initiales : à l’instant initial t = 0, l’intensité est nulle i(0) = A e
−
0
.
+ B = A + B = 0 et donc A = −B soit
E A=− r+R
− L’intensité dans le circuit en fonction du temps est : Donc finalement : i = −
+
− τ
+
= + +
i(t) =
+
− τ
.
I=
E r+R
− − τ = +
+ − −
.
• Évolution de la tension di u B = ri + L et i = + dt
− τ − donc u B = +
− τ − + +
− τ −
r E r+R
uB =
+
uB =
− − τ − τ + = + τ +
− − − τ + τ +
− + − τ − τ + +
pour la bobine réelle
Pour la bobine idéale, u = − τ car r = 0 . B • Comparaison avec l’expérience Les modélisations proposées par Généris (4 ou 5+) sont très très proches des points mesurés r+R t. expérimentalement lors de l’acquisition. On vérifie également que l’exposant vaut − L 1.5. Réponse à un échelon descendant de tension
• À la date t = 0, on ouvre l’interrupteur : Donc la tension aux bornes du générateur passe de E à 0. Il y a continuité de l’intensité dans le bobine donc à t = 0, i a la même valeur qu’avant l’ouverture du circuit.
1.6. Constante de temps du dipôle RL
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Le calcul montre que la constante τ qui apparaît dans l’exponentielle est égale à
L . Le terme exponentiel R
L est homogène à un temps. R On peut le vérifier par l’analyse dimensionnelle : (entre crochet = dimension des grandeurs) [u] di [u] [t] L [R] [t] u = Ri donc [R] = donc [L] = = [R] [t] = [t] . et u B = L On a : [ ] = [i] dt [i] R [R] devant être sans dimension, on en déduit que le quotient
La constante de temps d’un dipôle RL est caractéristique de l’évolution de l’intensité à travers la résistance. À la date t = τ, l’intensité du courant atteint 63 % de sa valeur maximale. À la date t = 3 τ, l’intensité du courant atteint à 95 % de sa valeur maximale. À la date t = 5 τ, l’intensité du courant atteint à 99 % de sa valeur maximale. On considère souvent que l’intensité du courant atteint sa valeur maximale au bout d’un temps égal à cinq fois la constante de temps du dipôle RL, la tension aux bornes de la bobine est alors quasi nulle (si la bobine di est idéale) ou égale à rI car comme u B = ri + L quand l’intensité est maximale, elle ne varie plus donc dt di =0 dt On peut déterminer expérimentalement la constante de temps d’un dipôle RL en mesurant le temps correspondant à l’abscisse du point d’intersection de la tangente à l’origine de la courbe i(t) et de la courbe E asymptote . R
2. Énergie emmagasinée dans une bobine Expérience : la diode empêche le courant de circuler lorsqu’on ferme l’interrupteur. Observation : La lampe reste éteinte lorsque l’interrupteur est fermé. La lampe brille pendant un court instant après l’ouverture de l’interrupteur à condition d’avoir fermé l’interrupteur suffisamment longtemps au préalable. Conclusion : On constate que la bobine peut restituer sous forme de courant électrique l’énergie qu’elle a accumulée (sous forme magnétique).
+ E −
On peut montrer que cette énergie est proportionnelle à l’inductance et au carré de l’intensité dans le circuit : E bobine : nergie emmagasine en joules (J) 1 2 E bobine = L i L : inductance en henrys (H) 2 i : intensitdu courant en ampères (A) Démonstration (facultative) : di dE 1 P(t) = u i = L i et P(t) = bobine , donc E bobine a pour drive L i i′ soit E bobine = L i 2 dt dt 2 Conséquences importantes : Comme tout réservoir, on ne peut pas le remplir (ni le vider) instantanément. Comme l’énergie stockée ne peut pas varier brutalement, l’intensité dans le circuit de la bobine ne le peut pas non plus. P.PECORELLA
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L’intensité dans un circuit comportant une bobine est une fonction continue du temps.
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