Le claquement du fouet Z. Carri`ere

To cite this version: Z. Carri`ere. Le claquement du fouet. J. Phys. Radium, 1927, 8 (9), pp.365-384. .

HAL Id: jpa-00205306 https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00205306 Submitted on 1 Jan 1927

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LE

CLAQUEMENT DU FOUET.

par M. Z. CARRIÈRE Institut Catholique de Toulouse. Sommaire. 2014 Un fouet de laboratoire est décrit et son montage détaillé de manière obtenir, par chronophotographie, les formes instantanées de la corde et de l’onde sonore qu’elle engendre. Les formes succesives résultent d’une onde transversale se propageant vers l’extrémité libre du fouet et, à cette extrémité, se réfléchissant avec changement de signe. La vitesse de propagation de l’onde et la courbure qui définit l’onde croissent d’abord jusqu’à des valeurs très grandes réalisées à l’instant où s’opère la réflexion (vitesse supérieure à 350 mètres par seconde, courbure d’un millier de dioptries). Ensuite, la vitesse diminue et le rayon de courbure croit à nouveau en valeur absolue (son signe est changé). Au

à

maximum de vitesse et au minimum absolu du rayon de courbure, le bout libre du fouet subit d’énormes variations de direction, de tension, de torsion. Il en résulte, au voisinage, une onde sonore sphérique dont les clichés reproduits montrent la trace. On y retrouve toutes les particularités de l’onde de sillage fournie par les projectiles. Application de la théorie est faite au fouet de charretier, pour deux façons usitées d’en obtenir le claquement. Deux claquements très rapprochés dans le temps (fouet à deux ficelles d’inégale longueur) donnent à l’oreille la sensation d’un son de hauteur déterminée que ne donne pas un claquement isolé.

Pour analyser le claquement du fouet, il est nécessaire 1. Fouet de laboratoire. la photographie en chambre noire avec poses extrêmement courtes fournies par des étincelles. Il faut donc obtenir le phénomène cinématique et sonore appelé claquement dans une région de l’espace toujours la même dont la plaque photographiquc fournira des images quasi instantanées. Ces conditions m’ont amené à substituer au fouet ordinaire un fouet de laboratoire caractérisé par le dispositif suivant. En AA, (fig. 1), au plancher du laboratoire, est fixée l’une des extrémités d’un caoutchouc de bonne qualité (longueur 31 cm, section 5 X 5 mm2), capable de supporter un poids de 3 kg et des allongements de 300 pour i00. A l’autre extrémité BB, du caoutchouc est attachée une corde mince BiC! (longueur 110 cm, diamètre 1,~ mm, poids 1,7 g par mètre) qui est l’élément essentiel du fouet et que j’appellerai simplement rouet. C’est d’ailleurs le nom qu’on donne, dans l’industrie, à la corde mince que j’utilise et qui est obtenue par commettage de trois fils de caret (1). Au fouet et au plancher, le caoutchouc est attaché par une sorte d’anse que forme un bout de ficelle de quelques centimètres dont les deux extrémités terminées par des noeuds sont étroitement serrées par un fil à coudre contre le caoutchouc (voir figure B’). Ce dispositif d’attache réduit au minimum l’inertie des accessoires de l’appareil ; il s’est montrêtoujours efficace. Tendu d’abord suivant la verticale ascendante du point A, lé fouet B,Ci passe dans la gorge de la poulie très légère Pi (47 mm de diamètre, axe à 160 cm du plancher), et redescend est arrêtée entre les verticalement jusqu’en C, où son extrémité libre, niunie d’un branches horizontales d’une petite fourche convenablement calibrée. Les branches de la fourche sont deux courtes goupilles parallèles plantées dans l’axe C, C’ normal au tableau et --

d’employer

,

(l) Bor,&ssE. Cordes

et

jJ/embranes, p. 3î.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0192700809036500

366

maintenues horizontales par la palette de fer doux DID’ solidaire du même axe lorsque l’électro-aimant E, est excité. Un électro-aimant de sonnerie suffit à équilibrer la tension du fouet (2 kg et plus) si la ligne d’action de ce dernier est assez voisine de l’axe géorné-

trique Quand on lève le pont Q1, long des goupilles inclinées sur

,

la traction fait basculer la verticale; le coup part.

,

le n(-eud échappe L’expérience montre

en glissant le que le système

,

ainsi constitué produit le phénomène sonore appelé claquement avec toute l’intensité désirable. Il est évident et la suite de cette étude montrera que, pour claquer, le fouet doit abandonner la poulie Pi et son extrémité libre échappée de Ci doit monter, passer au-dessus de ,Pi, puis redescendre vers la droite. Le fouet balaie ainsi une portion du plan vertical qui contient PP1 et que j’appellerai, pour cette raison, j)lan de fouettement (il est normal au tableau pour la portion droite de la îigure 1, parallèle au tableau pour la partie inférieure gauche de la même figure). Les phases initiale et finale du mouvement seront ici négligées; je m’efforcerai, par

367

contre, d’analyser le plus possible

phase

sa

médiane

qui

se

déroule dans le plan

de fouette-

°

ment au-dessus de la

poulie noire, à des

En chambre instants convenables, je prends de ce plan des photographies instantanées au moyen d’étincelles produites en FF’. L’éclateur est représenté double parce que, pour la mesure des vitesses, il est nécessaire d’avoir au moins deux poses relatives ~~ nième J’ai emplo-vé des éclateurs triples et même quadruples. La figure montre un groupement de 4 jarres payant chacune 1~3,~ décimètres carrés) et de circuits réalisant cette condition. Les pointillés y représentent conventionnellement des tubes à eau aptes à procurer la charge jJl’ogressiL’e, infranchissables à l’étincelle de Celle-ci est provoquée par court-circuitage des armatures internes au moyen du double pont M que lâche l’électro-aimant N quand le pont Q3 est levé. On règle l’intervalle des étincelles en disposant convenablement sur le parcours de M les extrémités des conducteurs à court-circuiter. A cause due l’ionisation intense qu’elles produisent dans leur voisinage, les étincelles ne peuvent être très rapprochées dans le temps et dans l’espace que moyennant quelques

précautions. Dans le plan moyen d’un anneau de bois dur (en F’, en haut à droite) on perce radialement et en croix quatre trous dans lesquels on introduit, convenablement isolés, quatre conducteurs convergeant vers le centre. On ne peut faire passer une étincelle par deux conducteurs diamétraux. L’ionisation intense qu’elle crée au centre provoque immédiatement, sans attendre l’intervention du pont M, la décharge de la seconde batterie dont l’étincelle passe au même point. En connectant à chaque batterie deux conducteurs à angle droit, on fait jaillir les étincelles près du centre de l’anneau, suivant deux lignes parallèles voisines, mais non confondues. On empêche l’action ionisante de l’une sur le trajet de l’autre en interposant une lame de mica normale au plan de l’anneau. Les éclateurs à trois, quatre coupures ont ces coupures sur trois, quatre verticales voisines séparées par des micas convenables. Les coupures ont 1 mm environ. Un réglage ne vaut que pour une tension déterminée (20 000 volts environ) : d’où la nécessité de l’électromètre représenté en G. La charge est opérée au moyen d’une machine de Whimshurst mue à la rnain. Le miroir concave H de 29 cm d’ouverture et dont le centre est en F (HF = 143 cm) joue le rôle de condenseur pour le faisceau lumineux incident qu’il réfléchit vers l’objectif de l’appareil photographique, disposé un peu en arrière de F et réglé sur le plan de fouettement. Un petit écran placé devant l’objectif et centré sur son axe permet d’appliquer la méthode de Foucault-Tcepler susceptible de donner sur la plaque photographique la forme de l’onde sonore qui prend naissance à l’instant du claquement. Pour l’étude purement cinématique du fouet, on peut supprimer le petit écran ou le laisser; en le supprimant, on augmente évidemment la luminosité de l’appareil. J’emploie des plaques Lumière, étiquette violette (sensibilité extrême). Le chronographe à bille J donnera les intervalles de temps compris entre les deux, trois ou quatre étincelles... La difficulté de l’expérimentation consiste à lever chacun des trois ponts Q,, Q2, QJ à des moments tels que, à l’instant où éclatent les étincelles, la bille chronométrique et le fouet à étudier se trouvent simultanément dans le champ de l’objectif. Il faut d’ailleurs pouvoir choisir à volonté les positions et les formes instantanées du fouet dont on désire un cliché. A lever cette difficulté et à permettre ce choix sert la guillotine représentée en bas et à droite de la figure. C’est une simple planche R de 80 cm de long, tombant debout, en chute quasi libre, entre deux fils métalliques verticaux xx, yy qui lui servent de glissière à frottement négligeable. Le, long et près de l’un des fils sont échelonnés les trois ponts à lever et leurs leviers de commande disposés pour être actionnés par la guillotine. L’opérateur charge l’appareil photographique dont il laisse l’obturateur fermé ; remonte la planche-guillotine, arme l’électro-aimant N, le chronographe J et enfin le fouet. Il ,

,

368

substitue alors à la lumière blanche la lumière rouge, ouvre l’obturateur de l’appareil photographique et, de la main droite, actionne la machine de Whimshurst tandis que la main gauche s’apprête à agir sur le déclic de la guillotine. Celui-ci est actionné au moment où l’électromètre G passe sur la division arrêtée à l’avance. 2. Formes successives du fouet. La figure 2 reproduit, d’après les clichés (voir planches 1 et II) numérotées de 1 à 12, dans l’ordre de leur apparition, quelques-unes des formes successives que prend le fouet balayant l’espace au-dessus de la poulie P, . Ce sont de véritables courbes à chacune desquelles il faudrait donner pour cote l’instant auquel elles -

2.

fouet, cotes qui seront données plus loin (§ 6). La famille de courbes divise en deux dont l’une correspond à la montée du bout du jouet (courbes montantes cotées de 1 à 6) et l’autre correspond à la retombée du fouet (courbes descendantes cotées de 7 à 12). Chaque famille couvre une portion déterminée du plan de fouettement. Pour les montantes, la zone couverte est limitée par la verticale A2 B~ 0 et par la courbe parabolique Bi CI 0 qui sont de véritables enveloppes tangentes aux courbes de la famille. Au moins dans les conditions de l’expérience (fouet ,de l10 cm ; tension initiale de lancement 2 kg), la verticale Az B2 est éloignée de Ai B, de trois fois environ le rayon de la poulie. Pour des raisons développées ci-après, j’appellerai le point 0 point critique; hauteur critique, la distance de ce point au plan horizontal supérieur tangent à la poulie, et courbe critique, la courbe Bi Ci 0. Cette courbe n’est pas à proprement parler enveloppe des formes descendantes qui se ont été dessinées par le

se

369

raccordent à elle apj-ès traversée. Il faudrait chercher plus à gauche une véritable enveloppe dont l’étude est sans intérêt. La droite ON est limite de zone balayée par les courbes descendantes, et à ce titre, courbe de sûreté, mais non pas enveloppe. L’expérience montre que, hors de la région représentée, la ligne 01~ s’incurve en tournant sa concavité vers le bas. L’angle B2 0 N vaut 40 degrés environ; il est à peu près bissecté par la courbe

critique. La courbe 6 inscrite dans l’angle B20.N, au plus près du sommet, a en ce point un rayon de courbure très petit (clichés 4 et 5, pl. II) ; cette remarque n’est pas une objection au tracé : elle prépare l’analyse du phénomène étudié et, à vrai dire, est l’élément essentiel de l’étude physique ici présentée. Considérons les courbes montantes cotées 1 à 6. Elles présentent toutes un maxinîum unique ou somrnel et, en ce maximum, un ’rayon de cOlll’hu1’P nliuÍJJlunt. A mesure que le sommet des courbes s’élève au-dessus de la poulie, il se rapproche de la verticale .A.2 B2 et son rayon minimum diminue. La diminution semble devoir aller jusqu’à l’annulation (courbe 7î mentionnée) puis à l’inversion de signe. De 7 à il, le rayon de courbure croit à nouveau en valeur absolue; mais la concavité de ces formes est tournée vers la droite de Bi Ci 0 tandis que, pour les formes 1 à fi, elle était tournée vers la gauche de la même courbe. La forme 12 (dont les clichés ont fourni plusieurs exemplaires) n’est qu’une apparente exception à la règle de l’accroissement du rayon de courbure Cet accroissement est arrêté par la gorge de la poulie qui s’oppose partiellement à la tombée libre du fouet.

déjà

3. Remarques sur les clichés. - Tant pour la bille que pour le fouet et chaque pose, tous les clichés fournissent des images douhles qu’il ne faut pas confondre avec deux poses différentes. Ce dédoublement est dû non à l’épaisseur du miroir (qui estargenté sur sa face concave), mais à l’écartement inévitaLle qu’impose le dispositif adopté, tant pour l’éclateur E que pour l’objectif 0, par rapport au centre de courbure C du miroir M (fig. 3). On réduit au

Fig. 3. ~

minimum le dédoublement (et les aberrations) en rendant minimum la distance OE. Le montage de la figure 1 impose OE =: CE. L’appareil photographique, dont 0 représente le centre optique de l’objectif, est réglé sur le plan AB de fouettement, distant de ia4 cm de l’objectif et de 9 cm du miroir. Le quasi-plan A’B’ image de AB dans le miroir est à 152 cm de 0, et donc aussi sensiblement A toute image d’un point du premier fixée sur le cüché, correspond une image du point correspondant du second qui est aussi inévitablement fixée. De chaque point du plan de fouettement la plaque donne donc deux images dont l’écart angulaire est égal au diamètre apparent de AA’ vu de l’objectif. Supposons horizontal le plan de la figure 3, vertical le fouet à photographier, dont A représente la trace, et A’, l’image de cette trace. Faisons tourner le plan de la figure autour °

.")!..

370

l’image du fouet ; sur le cliché, on trouve l’angle AOA’. Supposons horizontale la portion de fouet à photographier, le

de GE. A décrit le fouet, A’ angulairement distantes de

deux

images

du fouet

sommet par

exemple.

1

L’image A’ de A est sur l’horizontale qui contient le îoueL Tous les points tels que A et leurs correspondants A’ sont donc sur la même horizontale dont l’objectif donne une image unique. Le dédoublement n’existe pas.

371

Dans la

figure 3, je suppose horizontale la Des clichés ont été pris avec d’autres inclinaisons qu’il est facile de retrouver en cherchant, sur les clichés, la direction pour laquelle la tangente aux courbes n’esl pas dédoublée. PLANCHE lI.

Très net sur les clichés, le dédoublement n’apparaît, sur les duisent quelques-uns, que comme un élargissement de l’image du le dédoublement n’a pas lieu, le fouet semble d’épaisseur moindre.

plancles, qui

en

repro-

sommets, où

372

Les billes chronométriques paraissent elliptiques pour la même raison ; leur grand axe à la direction OE. Leur hauteur de chute est voisine d’un mètre. La circonférence qui, sur les clichés, limite l’impression de la plaque est l’image du contour du miroir dont les défauts d’argenture (disposée sur la face réfléehiseante et exposée à l’air) sont reproduits, ainsi que les défauts de courbure (cercles concentriques au contour

est

parallèle

extérieur). Sont visibles sur les clichés les 4 taquets assujétissant le miroir dans sa monture. Est visible également, vers le bas, partiellement, la poulie servant au lancement. Une ligne fine verticale est l’image d’un fil à plomb tendu dans le plan de base du miroir sur lequel deux n0153uds distants de 20 cm serventde points de repère pour les mesures

chronométriques. L’échelle est encore fournie par le diamètre du miroir qui vaut 29 cm. Mais l’échelle des courbes représentant le fouet est à réduire dans le rapport 134 : 143 parce que le plan de fouettement est à 9 cm en avant du miroir. Le cliché n° 6 (pl. II) est pris dans des conditions un peu différentes qu’il est inutile de préciser, son intérêt résidant uniquement en ce que la forme photographiée est la forme Bi C1 0 de la figure 1 et que, à l’instant où cette forme existe, le noeucl supérieur sectionné se détache. Les clichés nOS j et 8 (pl. II) sont obtenus sans objeclif, comme ombre portée du fouet sur une plaque 13 X 18. ’

4. Théorie de la propagation. - Les courbes de la figure 2 sont les formes successives d’une corde le long de laquelle se propage une déforllzation transversale. Il ne s’agit pas des déformations transversales envisagées par la théorie classique qui laissent à peu près constante la tension de la corde et n’imposent à sa direction que due petites variations. Dans le cas du fouet, la déformation est notable et le changement qu’elle amène dans la tension, en grandeur et direction, énorme. De plus, le fouet a un de ses bouts libres et chacun de ses points est animé d’un mouvementcOlnplexe. Aitken(’) a étudié des chaînes sans fin en mouvement courbées en demi-circonférences ou même en circonférences entières. C’est le cas que j’étudie, à ceci près que les chaînes passent sur des poulies fixes tandis que le bout du fouet est libre de se mouvoir dans l’espace. Je suis heureux de déclarer que le fouet de laboratoire décrit ci-dessus n’est que l’un des montages d’Aitken transformé. J’ai libéré le bout de chaîne, laissé fixe par cet auteur; la suite de cette étude montrera l’importance de cette libération. Aitken se borne à décrire des phénomènes et comparer des vitesses de propagation qui ne peuvent être que constantes. J’aurai à déterminer des vitesses et des accélérations énormes dans lesquelles il est possible de trouver l’explication d’un phénomène acoustique très important : le claqiiemeîît. A l’instant où la fourche Ci C’ (fi;. t) libère le fouet et fait partir le coup, la traction du caoutchouc (2 kg environ) cesse d’être équitibrée et produit une accélération énorme du système auquel elle est appliquée. Ce système comprend, outre le caoutchouc, la poulie (de moment 4’inerte 48 g-cm’, de rayon à fond de gorge 47 mm) et le fouet(de poids 1,9 g). La poulie prend un mouvement de rotation très rapide (plus de 50 tours à la seconde à son maximum) et la force axifuge qui en résulte ne tarde pas à détacher de la poulie le fouet qui se trouve alors constituer un système nouveau indépendant bien déterminé

(fig. 2, 1). Considérons-le (fig. 4) comme une corde à deux brins verticaux Ai Bi A2 H2 raccordés tangents à une demi-circonférence B, EB2 coplanaire avec les brins. En A,, la tension est nulle; en A1, elle est notable, de l’ordre du kilogramme; la traction T du caoutchouc qui la maintient est la seule force extérieure appliquée au système ; elle doit être dynamiquement compensée par les forces d’inertie. Au moins au début, quand le fouet décolle de la poulie, son mouvement est un glisse-

(’)

L. 5

p. 8 1-10 J.

373

pendant lequel, à chaque instant, chaque élément de corde se substitue à l’éléplacé en aval, tant sur les verticales que sur la demi-conférence dont le centre n’a qu’un déplacement négligeable. Le mouvement suivant les verticales engendre des accélérations proprement dites ou tangentielles ;-, le mouvement le long du cercle donne lieu en outre à une accélération axipète et à la force d’inertie axifuge F corresponment voisin

dante. La tension Ti en B, est la tension T réduite, parce que la plus petite en amont de B, qu’en amont de Ai

La tension T2

en

B2 est due seulement

Fig.

masse

à l’inertie de la

de corde entraînée est

longueur A2 Bz.

4. ,

L’équilibre dynamique des forces d’inertie F, Tl T2 est impossible tant que Tl est plus grand que 7B. Il y a une résultante verticale dirigée vers le haut et un couple dont la figure 4 précise le signe. L’introduction d’un couple est légitimée par toutes les expériences d’Aitken, qui ont pour but principal de montrer la rigidité apparente des chaînes ou des cordes en rnouvenlent.

Au moment où le fouet abandonne la poulie, les conditions cl’Aitken sont réalisées et le mis en évidence se traduira, non pas par l’inclinaison du diamètre B,B2, mais par la déformation du demi cercle, avec diminution de la courbure du côté Bj et augmentation du côté B,. La résultante F sera par là auqmeîîtée et déviée vers la gauche. Au lieu de la demi-circonférence de rayon et de centre fixes envisagée figure 4, nous aurons les courbes de la figure 2 dont le rayon du cercle osculateur minimum diminue avec lo temps en même temps qu’il relève et s’approche de la verticale Cette ascension est une véritable propagation. La déformation qui se propage est la courbure Bi E B2 le long de laquelle la direction du fouet tourne de 180 degrés penclantque la tension diminue de Ti - T2. Loin de s’arrêter ou de s’amortir, la propagation ne peut que s’accélérer, car toute augmentation de courbure accroit la résultante verticale des forces d’inertie et simulanément le couple cause de cette augmentation. L’évolution du mouvement doit donc aboutir à une forme critique du fouet pour lequel la courbure sera infinie et la

couple

374

,

vitesse de propagation de cette courbure doit elle-même croître quasi indéfiniment. La vitesse de propagation croît avec la courbure. Aitken a observé que la vitesse de propagation le long d’une chaîne en mouvement dépend iiïziqiieineiit de la tension de la chaîne et pas du rayon du cercle qu’épouse la chaîne déforme. Mais il s’agit, pour cet auteur, et dans le cas que je cite, de portions de chaîne dessinant une entière, le long de laquelle toutes les forces d’inertie s’équilibrent sensiblement. Dans une expérience à laquelle j’ai déjà fait allusion et qui rm’a suggéré mon montage, il y a bien, chez Aitken comme chez moi, déformation en demi-circonférence ; comme moi, Aitken signale alors une diminution du rayon de courbure consécutive à la propagation. La vitesse de propagation V doit être mesurée le long de la corde déformée, à partir de Ai par exemple. Il faut la distinguer de la vitesse d’ascension U du sommet (maximum) des courbes de la figure 2 qui est mesurée sur une verlicale à partir du plan horizontal supérieur tangent à P1 par exemple. Le glissement ne se produit pas avec la même vitesse de long des verticales Ai BI et A2 B2 . Soient ~1 et g~ ces vitesses.

On a :

Au départ du coup, Uest négligeable, g1 et g2 notables. A mesure que U augmente, g2 augmente également tandis que g, reste presque constant ou commence à dirninuer. Au point critique, g1 est négligeable devantq, et devant U devenus très grands. 5. Phénomènes au point critique. - Les clichés nIl 4 et 5 (pl. II) montrent que, le point de prendre la forme critique, la portion de fouet osculatrice au cercle éva~ nouissant embrasse encore un arc de 180 degrés. Mais la tension marquée T’a sur la figure 4 est, e:l ce point, inclinée sur la verticale; sa composante verticale est très voisine de zéro, ainsi que sa valeur totale. Quelle que soit l’accélération imposée réellement au bout du fouet, la force d’inertie qui en dérive ne peut que s’annuler avec la masse accélérée. L’accélération tangentielle s’annule elle-même au point critique, qui est bien de vitesse maximum. Le cercle osculateur ne peut arriver à l’évanouissement complet. La rigidité de la corde s’oppose à une diminution du rayon au-dessous d’un rayon limite de l’ordre du millimètre; la rigidité statique est d’ailleurs accrue de la rigidité dynamique due au sur

’

glissement. Le mouvement,qui tend à l’évanouissement du cercle se transformera donc en un mouvement compatible avec les forces intérieures engendrées par la déformation, compatible égalementavec le phénomène prévu pour la phase ultérieure, à savoir augmentation progressive du rayon de courbure changé de signe. Supposons à un instant donné le cercle osculateur limite matériellement réalisé sous forme d’unegoupille de 2 mm (voir clichés 4 et 5, pl. II) de diamètre, autour duquel est enroulé le bout du fouet sous un angle de iHO degrés environ (en 1, fig. 5). En vertu de la vitesse acquise, sans vaniation de coul’bure désormais exclue, l’arc de cercle (la goupille) s’élève. Le fouet glisse sur la goupille fictive tant qu’un reste de tension s’exerce à l’extrémité libre. En 2, toute tension a cessé, ou du moins est incapable d’assurer le contact avec le cercle. En 3 et 4, le contact n’existe plus qu’au voisinage du diamètre horizontal. L’inertie assure le passage de 4 à puis à 6 pendant que le rondin fictif continue son ascension. En 6, le changement de signe de la courbure est assuré et sa grandeur continuera sur les courbes descendantes à subir les variations prévues qui doivent être une croissance du rayon. La croissance s’entend à

partir de

la valeur réalisée

en

6, qui

est

en

réalité un minimum,

375

imposé par la nature et le diamètre de la corde utilisée. L’intervention de la rigidité au voisinage du point critique est manifestée par le phénomène suivant. Prenons un fouet neuf et faisons le noeud aussi près que possible du bout. Lançons après avoir donné au caoutchouc une tension notable, 2,5 kg par exemple. Le fouet retombe privé de son naeud qui semble avoir été détaché par un coup de ciseaux. Le bout sectionné, violcmment projeté vers le haut’à un mètre et plus) retombe dans le plan de fouetternent, à droite de la verticale A,Bi.Il ne reste pas d’ailleurs àl’état noué. Non seulement le noeud est défait, mais encore les fils de caret qui composaient la petite longueur nouée sont dissociés et séparés. La liaison des fibres dans le fil de_caret persiste cependant plus ou moins relâchée. Le sectionnement ne prouve pas l’existence d’une tension du fouet égale à la tension de rupture (qui est, pour le fouet que j’utilise, supérieure à 20 g). Il peut y avoir rupture

Fig. ~. par

dans 1 et 2

flexion

porter

en

laquelle les fibres placées à l’extérieur du l’allongement de rupture, tandis que les

cercle critique ont seules à supfibres intérieures sont pressées

dans le sens qui tend à les raccourcir. Ces dernières sont donc seules à supporter l’effort de traction du à la force axifuge quand s’opère le passage 4-5 (figure 4), et elles rompent à leur tour. Il peut y avoir, même quand la flexion préalable laisse le fouet inchangé, rupture véritable par traction. La vitesse au voisinage du point critique est, en effet, au moins égale à 300 mètres par seconde. La masse par mètre de corde étant I7 décigrammes, admettons que le noeud concentre en un point la masse d’un centimètre de corde et que le centre de rotation C (fig. 4) est à 5 mm du passage 4-5 , la force axifuge représente une trentaine de kiIogrammes. Elle peut suffire pour la rupture par traction. Sa directrice est assez voisine de la verticale pour que les débris du noeud retombent à quelques décimètres seulement de la verticale A, Bi (à droite). Le cliché 6 (pl. II) montre le noeud se détachant du fouet dans le prolongement même du fouet. La flexion d’une corde ne va pas sans détorsion. Le commettage des fils de caret tend à diminuer. La diminution est permanente vers le bout s’il n’y a pas de noeud. Libérées du frottement mutuel que leur imposait la torsion, les fibres ne sont plus solidaires et, sous l’influence de l’action axifuge, au voisinage du point critique, certaines se détachent et sont projetées à des hauteurs variables, retombant lentement à peu de distance de la verticale d’ascension. J’ai mis en évidence cette détorsion par l’expérience suivante. J’enfume l’intérieur d’un dièdre dont l’arête passe par le point 0 et dont les faces, normales au plan de la figure 2, -

376

ont pour traces

B2 0 N. J’utilise

une

corde

Ineuve

bien propre munie du noeud terminal.

Quand elle prend successivement les formes 4, 5, fi, elle frôle le dièdre par un de ses points éloigné du bout de quelques eentinzètres et y retient adhérente une tache noire. La tache relative à la courbe 4 (fig. 2) est plus éloignée du bout que celle de la courbe 6. Les formes 8 et 9 ne donnent qu’un noircissement terminal. Ramené au repos, le fouet porte, sur sa face latérale, une ligne noire lieu des points de contact successifs. C’est une hélice de même sens que celle des fils de caret ; elle correspond bien à une détorsion. obtenu avec une grosse ficelle (sans objectif, simple ombre portée) Le cliché 8 (pl. un peu après le point critique, montre une large houppe de fibres terminales’ dont l’étalement semble dû surtout à la détorsion. La même houppe a fourni, un peu avant le point critique, le cliché n8 7 où le glissement empêche l’étalement. Ma technique impose un naeud terminal qui supprime le décommettage permanent et limite l’effilochage à la portion située au ’delà du noeud. A condition de modérer la tension de lancement, le noeud n’est pas arraché à chaque coup, on peut même donner plusieurs dizaines de coups avec le même fouet si l’on a soin de laisser au delà du nceud une longueur de 15 à 20 millimètres. Cet appendice ne subit qu’un effilochage progressif. Dissociées comme les crins d’une queue de cheval, ces fibres subissent individuellement sans dommage la flexion critique qui, ainsi localisée sur elles, épargne le noeud. Lorsque l’effilochage a réduit suffisamment l’appendice, c’est le noeud qui se retrouve en bout et subit l’arrachement par la force axifuge. Au point critique, la vitesse linéaire du bout du fouet est maximum et 6. Vitesses. dépasse 300 mètres à la seconde (pour la tension de lancement 2 kilogrammes). Elle ne dure qu’un instant très court, moins d’un dix-millième de seconde, et il faudrait des poses extrêmeinent rapprochées pour localiser ce maximum au moyen des clichés. Mes meilleures expériences fournissent des vitesses moyennes mesurées sur un intervalle d’un millième de seconde et c’est parce que ces moyennes sont élevées (100 à 150 mètres) quand elles comprennent le passage au point critique, que j’ai voulu obtenir la vraie valeur à ce point critique, ou du moins la certitude que cette valeur est un maximum. Dans ce but, j’ai utilisé l’enregistrement direct sur tambours enfumés dont la figure 2, en haut, représente deux profils. L’un est une poulie épaisse If de Il cm de diamètre, creusée d’une gorge en V profonde de 35 mm et dont le profil est celui de l’angle B20N quand les joues sont verticales. Montée à hauteur convenable sur un axe horizontal qui est dans le plan de frottement et qui fait 100 tours à la seconde, la poulie-tambour conserve, sur les pentes de la gorge, après un coup de fouet, la trace de la trajectoire relative du bout de ce fouet. L’expérience montre que les mesures de vitesse aux différents points de cette trace sont illusoires. Malgré la vitesse élevée du tambour, malgré la différence des vitesses des bords et du fond de la gorge, la trace a.la forme d’un ’7" contenu dans un plan dont l’angle avec l’axe de rotation est de quelques degrés seulement. On ne peut retenir que la vitesse moyenne déduite de la petite différence deslazimuts de la poulie à l’entrée et à la sortie de la gorge. Encore faut-il remarquer que cette différence provient presque exclusivement des deux derniers centimètres du V frolés immédiatement avant la sortie (le développement total de la trace a ’7 5 mm). La vitesse moyenne ainsi mesurée atteint et dépasse 350 mètres par seconde. J’ai voulu contrôler ce résultat au moyen d’un enregistreur tel que tous les points de la surface enfumée aient la même vitesse linéaire. D’où le second tambour L représenté figure 2, simple cylindre de 276 mm de diamètre, de 47 mm d’épaisseur, dont l’axe de rotation est dans le plan de fouettement, incliné sur la verticale de manière que ses génératrices La trace obtenue sur le tambour dont occupent successivement la position de la droite la vitesse périphérique est 57 mètres par seconde est à l’entrée, au voisinage de LO, sensiblement })arallèle arca génératrices; elle est un peu incurvée après 3 centimètres de parcours et ne correspond plus alors qu’à une vitesse de cent mètres par seconde. -

.

’

377

C’est donc au voisinage immédiat du point 0 qu’est localisée la vitesse maximum. Sa non mesurable par l’expérience présente, est certainement supérieure à 570 m : même pour des tensions initiales modérées du caoutchouc. Au-dessous du point critique, tant pour les courbes montantes que pour les descendantes, les mesures de vitesses ont été faites à partir des clichés (dont quelques-uns reproduits pl. I). Les mesures des vitesses d’ascension U (ou de descente) sont immédiates. Il est malheureusement chimérique d’espérer compléter les renseignements relatifs à un coup de fouet

valeur,

Fig. 6. par ceux relatifs au coup suivant. Des écarts considérables existent pour les vitesses mesurées dans des conditions qu’on croît identiques. Je n’ai pas pu mettre en évidence les facteurs qui commandent ces variations, pas plus que je n’ai pu obtenir plusieurs fois de suite exactement la même pose. La réactivité du caoutchouc ne doit pas être incriminée, car j’ai eu le même insuccès en donnant un coup par jour seulement et laissant le fouet armé, hendant les 24 heures séparant deux coups. J’en suis réduit, pour chiffrer les vitesses dont je m’occupe, à prendre une moyenne sur une centaine de clichés utilisables. La figure 6 représente les vitesses d’ascension U en fonction des élévations H mesurées à partir de la tangente horizontale supérieure de la poulie. La courbe est sensiblement une droite au voisinage de l’origine près de la,quelle elle coupe l’axe des élévations. On ne peut admettre qu’elle passe par l’origine. On en déduirait, en effet,

378

et, par intégration to si l’on donne à Il la valeur zéro. D’où, quel que soit 10’ une valeur infinie pour t En réalité, t Io a toujours des valeurs très petites. -

-

On doit écrire

et

Quand

=

-

les

longueurs

mm

sont

mesurés

est l’ordonnée à

en

l’origine

mètres et le

temps

en

second es,

on a :

de la droite étudiée.

C’est d’après ces calculs que j’admets 12 millièmes de seconde nécessaires pour que le fouet passe du contact de la poulie à la forme 1, valeur difficile à déterminer d’autre part par l’expérience. A partir d’une certaine hauteur, à peu près égale à la moitié de la hauteur critique, la vitesse croît beaucoup plus vite que H. La droite s’incurve vers l’axe des vitesses et rencontre l’horizontale du point critique en un point tellement éloigné qu’elle semble rester asymptote à cette droite. d’après la formule précédente et d’après les moyennes prises sur de nombreux en millièmes de seconde, les temps nécessaires pour le passage du fouet par les clichés, formes successives représentées figure 2 ; la forme zéro correspond au temps zéro et à l’adhérence du fouet à la poulie.

Courbe

0 1

Temps

0

Différences

2

3

4

5

6

7

8

9101112

12,0 15,2 17,4 19,0 19,6 19,9 20,0 20,2 ~0,~ 20,9 21,6 22,6 1,0 3,2 2,2 1,6 0,6 0,3 0,1 0,2 0;3 0,4 0,7

Ainsi, à partir du moment où il est lancé, le fouet ne met guère plus de deux centièmes de seconde à balayer l’espace compris dans l’angle Bz0N au-dessus de la poulie, et pas plus d’un centième pour passer de. la forme 1 à la forme t 2. De là la difficulté des réglages par lesquels on cherche à obtenir un cliché reproduisant une forme déterminée à l’avance ;de là l’effet de statistique qui fournît en multiples exemplaires les formes voisines-de 1, 2 ou 3, en exemplaires plus rares les formes comprises entre 5 et 8, en exemplaires très rares la forme 7. Pour mesurer les vitesses sur les clichés de la planche I, il faut compter la hauteur de chute du centre des billes à partir d’un point situé à 1096 mm au-dessus de l’horizontale tangente vers le haut à la poulie de lancement. Les clichés n°S 1 à 3 (pl. II) pris Claquement au point critique. Faucault-Toepler, portent parfaitement nettes des traces de l’onde sonore. 7.

--

avec

l’écran

379

Ces traces sont circulaires et leurs centres sont au voisinage des points critiques qu’il est facile de situer en remarquant que le fouet a à peu près la forme 8 de la figure 2. Les mêmes caractéristiques valent pour deux autres clichés que j’ai obtenus dans des conditions analogues. Le voisinage du centre de l’onde et du point critique n’est pas fortuit. Il s’agit de trouver, dans les conditions cinématiques du fouet passant au point critique, la cause génératrice de l’onde photographiée. En balistique, le claquement résulte du mouvement d’un projectile animé d’une vitesse supér-iell1>e à la vitesse du son. La balle d’un fusil Lebel pousse devant elle l’onde dite de sillage qui, latéralement et en arrière, se déforme et traîne en quelque sorte un cône d’angle au sommet bien déterminé. Le bout de fouet a, lui aussi, près du point critique, une vitesse supérieure à celle du son. D’après le paragraphe précédent. le maximum de cette vitesse est réalisé quand le fouet prend la forme 7, quasi verticale, et quand son extrémité libre frôle le plan horizontal passant au point critique (voir fig. 6). Cette extrémité est alors exactement dans les conditions d’un projectile, à cela prèa que son mouvement ne reste horizontal et très rapide que pendant un très court instant et sur un parcours limité à un petit nombre de centimètres. L’onde sonore est engendrée à ce moment et lancée dans le plan horizontal qui contient le point critique; elle n’est pas entretenue; elle n’est pas troublée dans sa propagation par le bout de fouet générateur dont la trajectoire ultérieure est à 45 degrés de l’horizon. Du cône à sommet arrondi caractérisant l’onde de sillage d’une balle n’existe ici que le sommet arrondi, une sorte de calotte sphérique tournée vers le point critique. Le cliché n° 1 (pl. Ii) montre bien, en clair, la trace de cette calotte; j’ai obtenu un petit nombre d’autres clichés où l’arc de circonférence sotus-tend des angles notablement’ plus petits, mais est toujours du côté où va le fouet et au voisinage du plan horizontal critique. En réalité, l’arc est plus développé, au-dessous qu’au-dessus de ce plan, ce qui peut provenir de l’inclinaison de ON, trajectoire du bout de fouet après l’émission de l’onde ’

sonore.

Comme pour un obus, l’onde produite par le fouet est unique, sans périodicité (cliché 3, II. Très satisfaisant comme détails, mais mal venu à la reproduction parce que notahlement plus clair que les autres’. L’impression laissée sur la plaque photographique est de même nature dans les deux cas (’) : une ligne claire et fine dessine la trace du front de l’onde; elle est suivie (du côté du centre) d’une zone plus large, obscure, limitée par des arcs concentriques. L’onde frontale est évidemment condensée; la zone suivante, dont le noir est plus intense que celui du reste du cliché, correspond sans doute à une dilatation. En tout cas, l’obus fournit,pour l’onde de sillage, la même ligne frontale étroite suivie d’une zone plus large et les transparences relatives sont dans le même rapport. D’autre part, dans le cliché 3 ’de la planche II, qui n’a subi aucune retouche, la présence de deux cercles concentriques limitant l’onde frontale et la zone troublée arrière, empêche de supposer que les variations de teinte observées sont dues à des causes accidentelles étrangères au phénomène. A l’oreille et à distance, le claquement du fouet se confcnd, avec le claquement d’un fusil Lebel, voire même, dans certains cas, avec celui d’un obus de petit calibre. 11 est encore analogue au bruit produit par une boule de verre qu’on fait éclater, en la soufflant, sous forte pression; également au bruit des pistolets à vent qui servent de jouets aux enfants et dans lesquels l’air emprisonné et comprimé dans un cylindre entre deux bouchons qu’on rapproche ne tarde pas à expulser le bouchon obturateur. Par contre, à l’oreille, le claquement du fouet semble très différent du bruit produit par le crève-vessie, ou par le bris d’une ampoule de lampe électrique vidée d’air. Si le crèvevessie a une cavité susceptible d’engendrer une résonance et de créer une périodicité dans le phénomène sonore, on ne peut rien arguer de semblable pour l’ampoule, dont le verre est

pl.

°

°

(1

Voir

Icoiisii(lite

des

canons

et des

projectiles, figure

93. page 282.

380

quasi pulvérisé. Il semble bien .que l’onde solitaire condensée caractérise le claquement du fouet comme les autres claquements. Un bruit sourd très différent du claquement caractérise un coup de fouet mou dont la vitesse au point critique est inférieure à la vitesse du son. IL est facile de contrôler expérimentalement cette conclusion. Plaçons une capsule de Koenig de manière qu’elle reçoive sur sa membrane flexible l’onde du cliché n" 1 (pl. II) ; évitons que cette membrane soit frôlée par le bout de fouet ou bombardée par les brins qui s’en détachent. Observons le sens de la prelllière variation de la flamrne (l’observation se fait sans coup perdu si on fait lever le pont Ql de la figure 1 au moment convenable par le miroir tournant utilisé). L’expérience montre que la première variation de la flamme est un allongement. Autre dispositif : parallèlement au plan de fouettement et à petite distance, dressons une grille métallique à mailles de 5 millimètres sur les bords desquelles, au moyen d’un large pinceau trempé dans un liquide savonneux, nous tendons des membranes légères et peu résistantes. Faisons claquer le fouet. De nombreuses membranes sont crevées, principalement en regard du point critique. Sur une seconde grille non savonnée peu distante de la première, recueillons les gouttelettes d’eau savonneuse en lesquelles se résolvent les membranes crevées. La position de cette seconde grille quand elle reçoit les gouttelettes détermine le signe de l’onde incidente. Au voisinage du point critique, les gouttelettes sontprojetées loinduplandefouettement. Au voisinage de la verticale A,B, (fig. ~), les gouttelettes sont attirées vers le point de fouettement. Corrélativement, au voisinage de la même verticale, la flamme de la capsule de Kcnnig commence par se raccourcir. Ce sont deux indices d’une évacuation d’air qui n’est pas une onde proprement dite parce qu’elle est lente et met un temps relativement long à se déve-

lopper. J’ai appelé glissement le mouvement de la portion de fouet qui monte suivant A2B2. Un piston glissant dans son cylindre produit un vide derrière lui. Derrière le fouet, se produit également un vide qui d’ailleurs est rapidement comblé par l’atmosphère. Cependant, l’entraînement de l’air vers le haut ne peut dépasser le point critique où, par un brusque crochet, le fouet entraîneur rebrousse chemin. Butant contre l’atmosphère immobile, l’air ascendant doit produire un choc dont l’énergie s’ajoute à celle transmise par le fouet et contribue, par conséquent, à la production de l’onde sonore. Dans l’effet de vide que j’analyse, le n0153ud n’augmente pas sensiblement la masse d’air "

.

entraînée. Le volume d’air entraîné est toujours plus grand que le volume du cylindre entraîneur. Où se trouve, avant le claquement., l’énergie actuellement localisée dans l’onde sonore ? Il semble qu’elle existe sous forme cinétique dans la portion du fouet glissant le long de la verticale A2B;l. Un peu avant le claquement, en effet, le glissement gi est négligeable et le glissement ,q¿ très grand. En appelant 1 la longueur du brin vertical considéré, on peut écrire, pour cet intervalle de temps : ’

=

constante.

Admettons que la portion verticale pendante du fouet a une longueur de 5 cm vitesse est de 300 mètres à la seconde. Son énergie cinétique, en ergs, est égale à :

quand la

soit environ 0,4 kilobramrnètres.. La formule rend compte de l’énorme accroissement de g2 quand le bout du fouet approche du point critique; elle donnerait même, en ce point, une valeur infinie pour cette vitesse. J’ai montré au paragraphe 5 comment on peut écarter cette conclusion. Cela revient à dire que la formule proposée est valable sur la verticale B2’ près du point critique, mais non au point critique où intervient un nouveau facteur jusque-là négligeable : la

381

corde. Cette rigidité transformant le déroulement sur cercle évanouissant en de direction moyenne horizontale, assure le passage de l’énergie cinétique verticale sous la forme d’énergie sonore se propageant horizontalement (voir fig. 5). La poulie de lancement a, au début, non sans choc, transféré au brin ascendant du fouet une partie notable de l’énergie emmagasinée dans le caoutchouc; le cercle évanouissant limite, matériellement réalisé grâce à la rigidité de la corde, joue un rôle analogue pour le transfert à l’onde sonore, d’une partie de cette énergie. Le transfert est ici encore accompagné de choc. J’ai calculé ci-dessus la tension supportée par le bout du fouet quand il a la forme critique, tension qui dure moins de 0,0001 seconde, mais qui dépasse deux dizaines de kilogrammes. Cette tension est d’ailleurs appliquée à une masse très petite (2 décigrammes au plus). Le fouet pesant 190 décigrammes, auxquels il faut ajouter la masse du caoutchouc dont il est solidaire, représente ici une enclume par rapport auquel le centimètre terminal qui joue le rôle de marteau à ceci près qu’il agit par traction et non par compression. Le choc peut arracher et même sectionner le bout ; il ne peut altérer le mouvement de l’enclume, c’est-à-dire du fouet qui, le claquement produit, retombe sous l’influence presque exclusive de la force vive acquisse et de la pesanteur désormais non négligeable.

rigidité de la un balayage

8. Caractères accessoires des courbes montantes. - Outrela courbure maximum localisée au point le plus élevé (sommet) des formes ascendantes, existe une autre courbure moindre que la forme 1 (fig. 2) montre particulièrement accentuée en E,B, Elle s’explique de la façon suivante. A l’instant du lancement, le brin destiné à monter est vertical, tangent à la poulie suivant D,E2. Il commence son ascension suivant cette verticale tant que la vitesse de la poulie est inférieure à une valeur déterminée. Quand la rotation est devenue assez rapide, la force axifuge commence à décoller le fouet de la poulie et le décollement commence au point Di où la résultante normale des tensions est minimum. L’éjection du fouet hors de la gorge est donc horizontale et se traduit par une impulsion de sens’ Di B,. C’estt une déformation transversale de l’ordre et de la nature de celles qu’envisage la théorie classique ; elle doit se propager tant vers l’aval où elle achève le décollement total et la libération du fouet par rapport à la poulie, que vers l’amont où elle impose un profil tel que B2I2E2. La vitesse de cette propagation s’ajoute à y, en aval, se retranche de gz en amont. La tension en E2 étant petite et V’ petit, au moins après quelques millièmes de seconde. V’ g2 a le signe de q2. La déformation transversale qui, dans l’espace, était descendante pour la forme 1, devaient montante dans la forme 3 et les formes suivantes. Il est naturel d’admettre une atténuation (un amortissement) de l’onde parvenue à l’extrémité libre, voire même une réflexion à cette extrémité. En réalité,il y a superposition de l’onde principale et de l’onde secondaire qui, grâce à leur différence de vitesse, arrivent en même temps à l’extrémité du fouet au point critique. ’

1

-

9. Formes descendantes. - Les formes descendantes numérotées de 7 à 12 sont caractérisées comme suit. Leur courbure maximum est de signe contraire à celui des courbes montantes. Par cette inversion de signe, elles vérifient les lois relatives aux ondes réfléchies à l’extrémité libre d’une corde et justifient la théorie de la propagation qui leur est appliquée. Pour ces courbes, ne subsiste plus qu’un glissement unique g1. Il est d’ailleurs fort petit : la tension qui le produit est négligeable, due à peu près uniquement au poids du système. Le système fouet-caoutchouc dressé verticalement sous tension de quelques grammes dépasse le point critique de plusieurs centimètres. La vitesse proprement dite de propagation est petite, pour la même raison. Mais la vitesse de chutt du fouet (mesurée sur la trajectoire du centre de courbure maximum, par exemple) est ici la somme arithmétique D’où une chute relativement rapide marquée par les cotes du des deux vitesses V et paragraphe 6 ou le cliché 10 (pl. I). La manière suivant laquelle les courbes dont je parle se raccordent à la courbe critique montre qu’on a constamment, à partir du point 0 : l’ ~ y,. L’onde réfléchie envahit la

382

la ficelle plus vite que la ficelle n’est tirée vers le bas. Comme cette onde a un rayon croissant, elle passe à gauche de la courbe critique qu’elle traverse sous un angle notable et se raccorde à elle en un point d’autant plus éloigné ail-dessous du centre de courbure maximum que cette courbure est plus petite. Lancé à très grande vitesse au point 0, suivant ON, le bout du fouet va plus vite que l’onde. Normal à sa trajectoire an point 0, il fait en N avec cette trajectoire un angle obtus vers l’avant. C’est le bout libre porteur d’énergie cinétique qui entraîne la partie courbée soumise à cette seule traction et aux forces de gravité. A partir de la forme 11, il existe un sommet (un maximum à tangente horizontale) pour les courbes descendantes. Mais le phénomène est dès lors dépourvu d’intérèt.

10. Application : Fouet de charretier. - L’explication fournie du claquement, de et des causes qui l’engendrent n’est valable que si l’on retrouve la même origine et les mêmes causes dans tous les genres de fouet et dans tous les procédés usités pour les son

origine

Iavre

claquer,

Je

monirerai

Lneoim

iappncaLion uema

dans deux cas : c’est-à-dire que je inonlrerai, dans ces deux cas, l’existence de formes successives du fouet séparés en deux classes (ascendantes et descendantes) par une forme critique pour laquelle le bout du fouet reçoit, puis réfléchit une onde transversale analogue à celle de la figure 2. Mes vérifications ont porté sur des fouets simples formés d’une corde de section *îtitifornie adaptée à un manche rigide. Une étude assez longue serait nécessaire pour déterminer comment intervient, dans l’intensité du claquement, la section et le poids par 111ètl’c de la corde, la variation de cette section et de ce poids à partir du manche, la flexibilité du manche, etc. Elle conduirait sans doute à fixer quelques paramètres et le sens de leurs variations, ce qui paraît d’un médiocre intérêt tant que les équations du mouvement restent à établir. Le premier mode examiné, estt le suivant iig. 7 1 . Au départ, le manche OA tenu à la main à l’avant, incliné vers le sol, est élevé progressivement jusqu’en OB ou il est vivement arrêté, puis très rapidement ramené vers 0.....B. Pour augmenter la vitesse de ce rappel, t’axe de rotation du manche, qui se trouvait à l’épaule pendant l’ascension AB, est reporté au poignet pour la descente BM. Dans la première phase, le fouet prend un mouvement vertical de quasi-glissement le long de la verticale voisine Fig.7. de AE. Quand le bout du manche se ralentit pour marquer l’arrêt en B, la corde continue son inoiivement dans la portion soustraite à l’action immédiate du manche. Quand le système BDHF est ainsi réalisé, il présente toutes les conditions du loiiet de moins la traction du caoutchouc. C’est cette traction fortement accélératrice que fournit, l’instant suivant, l’abaissement brusque du manche vers La forme critique est presque rigoureusement vrerticale, verticale aussi la projection des fibres arrachées et du noeud terminal éventuellement ajouté puis sectionné.’. Dans un espace vivement éclairé par le soleil, ces débris tombent comme un pluie lente, à peu près le long de la verticale AB. Le plan de fouetternent est supposé vertical, rien n’empêche de le prendre horizontal ou incliné de façon quelconque. La seconde manière de faire claquer le fouet est expliquée par la figure 8, qui est dans un plan vertical (pour préciser). °

383

AD est l’arc de cercle décrit par l’extrémité du manche (non représenté) et dont le centre l’épaule 0 de l’opérateur ; 1, ~, 3, ... 15 sont les formes successives du fouet soumis à cet entraînement. Autour du point D, où est marqué un arrêt sensible, le fouet quasi rectifié balaie un cercle vertical d’un mouvement quasi uniforme que rien n’altère de 3 à 6. Vers l’instant où la forme 6 est réalisée , l’opérateur rappelle le manche sur sa trajectoire initiale. De là une traction qui a une composante notable dans les directions 6 et 7 actuellement envisagées. Au mouvement pur de rotation du fouet, s’ajoute une composante axipète cause de la déformation commençante que montre la figure, sous forme d’une petite anse surmontant l’arc BD au voisinage de D. Sous les formes 8 et 9, l’extrémité libre du fouet garde encore sa direction radiale dirigée vers D tandis que la portion voisines du manche se courbe et élève de plus en plus son sommet au-dessus de BD. En B, le mouvement de rappel est brusquement.accéléré, ce que l’opérateur réalise au

est

Fi g. ~8. mieux en reportant sur le poignet l’axe de rotation qui se trouvait sur l’épaule. L’onde transversale de la figure 2 étant amorcée et ascendante, la brusque rotation l’accélère et la fait se propager vers le haut le long du fouet avec une très grande vitesse. Toutes les particularités signalées dans la figure 2 se retrouvent dansiles formes 1L à 15 de la figure 8. L’évolution que schématise la figure 8 a été mise hors de doute de la manière suivante. Dans une chambre obscure, je dispose un éclateur à deux mètres au dessus du sol et à deux mètres d’un mur blanc. Je me place moi-même entre l’éclateur et le mur et manceuvre le fouet d’après la seconde méthode. J’observe sur le mur l’ombre du fouet projetée par une forte étincelle qui éclate au moment propice. J’assure le succès de l’expérience (simultanéité de l’étincelle et de la forme désirée par le fouet) en comandant l’étincelle au moyen du pont NI de la figure 1 actionné électriquement par le fouet en mouvement. Le circuit de l’électro-aimant N comprend. un contact à pression réglable, logé dans le manche du rouet et que la force axifuge fait cesser au moment où est réalisée une vitesse donnée. Je règle les instants de l’étincelle au moyen du ressort qui assure le contact ou bien au moyen du pont M que j’éloigne plus ou moins des extrémités des tiges à court-circuiter. La machine de Whimshurst est ici actionnée par un moteur électrique. J’ai vu nettement et à plusieurs reprises toutes les formes représentées figure 8, principalement les formes 10, li et 13 qui précèdent immédiatement le claquement. ’

384

C’est bien en avant de l’opérateur (ici supposé en 0 et tourné vers la gauche) qu’est réalisée la forme critique et le claquement. Non seulement l’oreille localise là l’origine de l’onde sonore,mais encore c’est là que se déposent et s’accumulent, après répétition de l’expérience, les tlébris de la corde effilochée ou les éléments des noeuds arrachés. Le coup de fouet donné suivant cette méthode est particulièrement énergique et doit donner lieu à des vitesses très élevées au point critique. Faute de pouvoir assurer la fixité de ce point, il n’est pas possible de mesurer ces vitesses au moyen d’un tambour enregistreur. La photographie serait applicable, mais ne pourrait fournir que des moyennes réparties sur un parcours trop grand pour permettre des mesures instantanées au point critique. Le plan de fouettement peut encore n’être pas vertical. 11. Fouet à deux bouts. Dans la seconde technique du paragraphe précédent, il est aisé de graduer l’énergie fournie au fouet et de comparer les impressions correspondantes reçues à l’oreille. Je n’ai jamais constaté autre chose qu’une variation de l’intensité, sans pouvoir jamais apprécier l’intervalle musical de deux coups. L’épreuve n’est pas péremptoire, car l’oreille est peu sensible aux sons très aigus : le défaut d’entretien et de simultanéité rend l’appréciation encore plus difficile. Il est intéressant de retrouver un son de hauteur déterminée, très aigu d’ailleurs, dans l’expérience suivante. Prenons un fouet formé d’une corde de 4 mm d’épaisseur et de 80 cm de long. Prolongeons son extrémité, comme font les charretiers, avec de la ficelle de 1, 5 mm de diamètre et de 25 cm de longueur. Le claquement est sonore, sans caractère musical. Ajoutons une seconde ficelle de 22 cm de longueur ayant commun avec la ficelle de 25 cm le point de jonction avec la grosse corde. Un caractère musical se manifeste que l’oreille saisit mal après un coup isolé, mais qu’elle sait apprécier quand elle le compare au coup suivant obtenu en réduisant à 20 cm, par exemple, le bout de ficelle ajouté, tandis que la première ficelle reste invariablement de 25 cm. Le son est manifestement plus bas avec 20 cm qu’avec 22. Sa fréquence baisse quand augmente l’inégalité des deux bouts. En valeur absolue, elle est fort grande cependant et, pour l’apprécier, il faut disposer d’un jeu de tuyaux donnant les notes les plus aiguës d’un jeu d’orgue ;piccolo). L’intérêt de l’expérience consiste non pas à mesurer cette fréquence, mais à remarquer du caractère musical. Née sur la grosse corde, l’onde génératrice du claquement se divise en deux à la bifurcation que forment les deux ficelles terminales. Chacune des deux nouvelles ondes progresse avec sa vitesse propre et arrive à son bout à son heure. De là deux ondes sonores nées à des instants différents et se propageant de façon à peu près indépendante dans la même direction. L’oreille, qui les reçoit l’une après l’autre, a la sensation d’une hauteur déterminée. Nous savons que deux périodes d’un son suffisent pour que l’oreille en apprécie la hauteur (au moins pour les fréquences pas trop élevées). Si L’on pouvait déterminer avec quelque précision la hauteur des sons ainsi obtenus, il serait possible de connaître les époques auxquelles l’onde arrive à une distance donnée du bout du fouet et, par conséquent, d’analyser le mouvement au voisinage du point critique mieux que je n’ai pu le faire. -

_

l’origine

Manuscrit reçu le 4

juin

1927.