Universit´e Pierre et Marie Curie LM125

Ann´ee 2005-2006

Feuille d’exercices n◦ 7 Espaces propres, vecteurs propres Exercice 1 . Soit m ∈ R et Am

  m 1 1 ∈ M3 (R) la matrice  1 m 1  . 1 1 m

a) Calculer les valeurs propres de Am et une base de vecteurs propres. b) D´eterminer suivant les valeurs de m le rang de Am . D´eterminer lorsque cela est possible A−1 m . c) Lorsque Am n’est pas inversible d´eterminer le noyau et l’image de Am . Exercice 2 . Soit A ∈ On (R). Montrer que si −1 n’est pas valeur propre de A, alors il existe une matrice Q antisym´etrique (i.e. t Q = −Q) telle que A = (I + Q)−1 (I − Q) = (I − Q)(I + Q)−1 et qu’on a A ∈ SOn (R). R´eciproque ? Exercice 3 . Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f, g ∈ L(E). Montrer que si λ est valeur propre de g ◦ f alors λ est valeur propre de f ◦ g (on distinguera les cas λ = 0 et λ 6= 0). Exercice 4 . a) Soient f et g deux endomorphisme s d’un espace vectoriel E de dimension n sur K = R ou C, ayant chacun n valeurs propres distinctes dans K. Montrer que f ◦ g = g ◦ f ⇐⇒ f et g ont les mˆemes valeurs propres. b) Supposons maintenant que K = C et que f ◦g = g ◦f . Si u est un endomorphisme on dit qu’un espace vectoriel F est u−stable si u(F ) ⊂ F . Montrer que tout sous-espace propre de f est g−stable. Remarque : On peut montrer par r´ecurrence sur n qu’il existe un vecteur propre commun `a f et g. On admettra ce r´esultat. c) Consid´erons f et g deux endomorphismes de R3 dont les matrices dans la base canonique sont respectivement     1 0 0 0 1 1 M =  0 0 −1  et N =  −1 1 −1  0 1 2 1 1 3 – V´erifier que f ◦ g = g ◦ f et d´eterminer les sous-espaces propres de M et N . – D´eterminer une base de R3 dans laquelle les matrices de f et g sont diagonales. Exercice 5 . Soit u ∈ End(E). On note χu = (−1)n X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 . Montrer que a0 = det(u) et an−1 = (−1)n−1 tr(u) Exercice 6 . 1

Soient u et v deux endomorphismes de E qui commutent, c’est `a dire tels que u◦v = v ◦u. On suppose que v admet n valeurs propres distinctes. Montrer qu’il existe une base de E, form´ee de vecteurs propres communs `a u et `a v. En d´eduire qu’il existe (a0 , . . . , an−1 ) ∈ Kn tel que u = a0 id + a1 v + ... + an−1 v n−1 Exercice 7 . Soient A et B deux matrices de Mn (R) telles que AB − BA = A Le but de cet exercice est de montrer que A est nilpotente, c’est `a dire ∃k ∈ N, Ak = 0. On note E l’espace vectoriel Mn (R) et on consid`ere l’application : ψ

E M

→ E → M B − BM

a) Montrer que ψ est lin´eaire de E dans E. b) Montrer par r´ecurrence que : ∀k ∈ N

ψ(Ak ) = kAk .

c) On suppose que ∀k ∈ N, Ak 6= 0. Montrer que ψ a une infinit´e de valeurs propres. d) Conclure. Exercice 8 . On consid`ere la matrice suivante :   0 0 1 A = 0 1 0 . 1 0 0 a) Calculer le polynˆome caract´eristique de cette matrice. b) D´eterminer les valeurs propres de cette matrice. c) D´eterminer les espaces propres de A.

Exercice 9 . D´eterminer les valeurs propres suivantes :    2 2 0 0    M1 = 1 2 1 , M 2 = 1 0 2 2 1

et les espaces propres associ´es aux matrices  1 1 0 1 , 1 0



 1 0 1 M 3 = 0 2 0  . 0 0 2

Exercice 10 . On consid`ere les matrices suivantes :     3 −1 1 2 0 4 A = −1 3 1 , B = 3 −4 12 . 2 2 2 1 −2 5 a) Diagonaliser ces matrices. b) Calculer An , B n et C n pour tout n ∈ N∗ .

Exercice 11 . Effectuer la division euclidienne du polynˆome P par le polynˆome Q. a) P = X 4 + X 3 − 1, Q = X 2 − X + 1. 2

b) P = 7X 4 − X 3 + 3X − 1, Q = X 2 − 3X + 5. c) P = X 8 − 1, Q = X 2 + 1.

Exercice 12 . Quelle est la multiplicit´e comme racine de 1 dans X 4 − X 3 − 3X 2 + 5X − 2. Mˆeme question pour −1 dans X 3 + 5X 2 + 7X + 3.

Exercice 13 . Factoriser dans R[X] puis dans C[X] les polynˆomes suivants (on s’aidera, au besoin, de racines ´evidentes) : a) X 3 − 3X 2 + 4 ; b) X 4 − 1 ; c) X 3 − X 2 + X − 1 ; d) X 4 + 3X 3 + 2X 2 − 3X − 3 ; e) X 4 + 6X 2 + 1.

 Exercice 14 . On consid`ere la matrice M =

 1 1 . 1 −1

a) Diagonaliser M et calculer M n . b) On consid`ere deux suites r´eelles (an )n∈N et (bn )n∈N telles que i) a0 = 1 et b0 = 2, ii) an+1 = an + bnet bn+1  = an− bn pour tout n ∈ N. an+1 a Montrer que = M · n , et en d´eduire les valeurs de an et bn . bn+1 bn

Exercice 15 . On consid`ere l’application Ψ : R3 [X] → R3 [X] d´efinie par Ψ : P (X) 7→ P (X + 1). a) Montrer qu’un polynˆome satisfaisant Ψ(P ) = P est n´ecessairement un polynˆome constant. En d´eduire les vecteurs propres de Ψ. b) L’endomorphisme Ψ est-il diagonalisable ? c) Reprendre l’exercice avec Ψ : P (X) 7→ P 0 (X).

Exercice 16 . On consid`ere dans R3 [X] l’application Φ : P (X) 7→ X 3 P (1/X). a) V´erifier que Φ est un endomorphisme. b) Calculer sa matrice dans la base canonique. c) Montrer que Φ est diagonalisable.

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