M. Cozi - Logique (DEC B06) - FE n8 - LPOM (1 et 2) Exer i e 1 (Morphologie)

Pour ha une des formules suivantes, dites (a) quelle est la portée de haque quanti ateur (b) quelles o

uren es de variable sont libres ( ) s'il s'agit d'un énon é. 1. (F x ∧ ∀x(Gx ∧ ¬∀xJx)) 2. (∀x(F x ↔ Gx) ∧ (∃xGx ↔ (Hx ∧ Jc))) 3. ∀x(F x → ∃x(¬Gx ∧ Hx)) 4. ∃x(∃xF x → Gx) Exer i e 2 (Interprétation et satisfa tion)

Soit le langage L = (I, P, N, c0, c1 ). On onsidère la L-stru ture M = (M = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, I M) où  I M (I) = {1, 3, 5, 7, 9}  I M (P ) = {2, 3, 5, 7}  I M (N) = {0, 1, 2, 3}  I M (c0 ) = 0  I M (c1 ) = 1 On note gi l'assignation qui asso ie le nombre i (0 ≤ i ≤ 10) à la variable x. 1. Par quelles assignations sont respe tivement satisfaites les formules (a) ¬Ix, (b) (P x ∧ Nx) et ( ) (¬Ix ∨ P x) ? 2. Les énon és suivants sont-ils vrais dans M : • ∀x(P x → Ix) • ∃x(Nx ∧ P x) • P c0 • Nc1 • ∃x(P x ∧ ¬Ix) • ∃x(P x ∧ (¬Ix ∧ ¬Nx)) 3. Donnez une formule qui est exa tement satisfaite par les assignations g0 , g1 , g2, g3 et g9 . Exer i e 3 (Contre-exemples)

Montrez que les formules i-dessous ne sont pas valides en onstruisant des

ontre-exemples, 'est-à-dire des L-stru tures où es formules sont fausses. 1. ((∃xP x ∧ ∃xQx) → ∃x(P x ∧ Qx)) 2. (∀x(P x ∨ Qx) → (∀xP x ∨ ∀xQx)) 3. (∀x(P x → Qx) → ∃x(P x ∧ Qx)) 4. ((∃x(P x ∧ Qx) ∧ ∃x(Qx ∧ Rx)) → ∃x(P x ∧ Rx))

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M. Cozi - Logique (DEC B06) - FE n8 - LPOM (1 et 2) Exer i e 4 (Validité en LPOM)

Montrez que les formules suivantes sont valides : 1. (∀xP x → P c) 2. ((∀xφ ∧ ∀xψ) → ∀x(φ ∧ ψ)) 3. ((∃x(φ ∧ ψ) → (∃xφ ∧ ∃xψ)) 4. (∀xφ → ∃xφ) Exer i e 5 (Prouvabilité en DN)

Donnez une preuve en dédu tion naturelle des formules suivantes : 1. (∀x¬F x ↔ ¬∃xF x) 2. (∃x¬F x ↔ ¬∀xF x) 3. (∀x(φ → ψ) → (φ → ∀xψ)) où x n'est pas libre dans φ 4. φ ↔ ∀xφ où x n'est pas libre dans φ 5. φ ↔ ∃xφ où x n'est pas libre dans φ 6. (∀x(φ → ψ) → (∃xφ → ψ)) où x n'est pas libre dans ψ 7. (∃x(φ ∨ ψ) → (∃xφ ∨ ∃xψ)) 8. (∃x(φ → ψ) ↔ (∀xφ → ψ) où x n'est pas libre dans ψ (optionnel)

Exer i e 6 (Dérivabilité en DN)

Donnez une preuve en dédu tion naturelle qui montre que Γ ⊢DN ζ pour 1. Γ = {¬∃x(F x ∧ Gx)}, ζ := ∀x(F x → ¬Gx) 2. Γ = {∀x(F x → Gx), ∀xF x}, ζ := ∀xGx 3. Γ = {∀x(F x → Gx), ∃x¬Gx}, ζ := ∃x¬F x