Devoir surveillé de spé ialité mathématiques
Terminales S 12/10/17
1 heure La al ulatri e est autorisée.
Problème Partie A
1. Montrer par ré urren e que pour tout entier naturel n, il existe un entier qn tel que 10n = 9 × qn + 1 2. Soit N un entier naturel, s'é rivant ak ak−1 ak−2 ...a2 a1 a0 où les ai sont ses hires. On peut alors é rire : N = ak × 10k + ak−1 × 10k−1 + ak−2 × 10k−2 + ... + a2 × 102 + a1 × 101 + a0 × 100
On appelle S la somme des hires de N , S = ak + ak−1 + ak−2 + ... + a2 + a1 + a0 . Montrer que N et S ont le même reste dans la division eu lidienne par 9.
Partie B
Sur les billets de banque en euros gure un ode de 11 hires pré édé d'une lettre. On rempla e la lettre par son rang dans l'alphabet habituel omportant 26 lettres. On obtient ainsi un nombre à 12 ou 13
hires et on her he le reste de la division eu lidienne de e nombre par 9. Ce reste est le même pour tous les billets authentiques et vaut 8. Par exemple, le ode relevé sur un billet authentique est : X27385267637. Le rang dans l'alphabet de la lettre X est 24 don le nombre obtenu est 2427385267637. Le reste pour e billet est 8. 1. Le ode U01308937097 gure sur un billet de banque. (a) Donner le nombre à 13 hires orrespondant à e ode. (b) Cal uler le reste de la division eu lidienne par 9 de la somme des 13 hires de e nombre. ( ) Que peut-on dire de e billet? 2. Sur un billet authentique gure le ode S0216644810x, x pour le dernier hire illisible. Montrer que le reste de la division eu lidienne de x + 42 par 9 est 8. En déduire x. 3. Sur un autre billet authentique, la partie du ode formé par les 11 hires est 16122340242, mais la lettre qui les pré ède est ea ée. On appelle n le rang dans l'alphabet de la lettre ea ée. (a) Déterminer les valeurs possibles de n. (b) Quelles sont les possibilités pour la lettre ea ée?
Corrigé du DS du 12/10/17 Problème Partie A
1. Soit Pn la propriété : il existe un entier qn tel que 10n = 9 × qn + 1 pour tout entier n. Initialisation : Montrons que P0 est vraie. 100 = 1 = 9 × 0 + 1 don 100 = 9q0 + 1 ave q0 = 0 et P0 est vraie. Hérédité : Supposons qu'il existe un entier k > 0 tel que Pk soit vraie (il existe un entier qk tel que 10k = 9 × qk + 1) montrons que Pk+1 est vraie (il existe un entier qk+1 tel que 10k+1 = 9 × qk+1 + 1). 10k+1 = 10 × 10k = 10(9qk + 1) d'après l'hypothèse de ré urren e = 9 × 10qk + 10 = 9 × 10qk + 9 + 1 = 9(10qk + 1) + 1 = 9qk+1 + 1 ave qk+1 = 10qk + 1 est un entier ar qk est un entier Ainsi Pk+1 est vraie et Pn est héréditaire. Con lusion : Pn est vraie pour n = 0 et est héréditaire don Pn est vraie pour tout n > 0,
'est-à-dire : pour tout entier n, il existe un entier qn tel que 10n = 9 × qn + 1. 2. Soit N un entier naturel, s'é rivant ak ak−1 ak−2 ...a2 a1 a0 où les ai sont ses hires. On peut alors
é rire :
N = ak × 10k + ak−1 × 10k−1 + ak−2 × 10k−2 + ... + a2 × 102 + a1 × 101 + a0 × 100
On appelle S la somme des hires de N , S = ak + ak−1 + ak−2 + ... + a2 + a1 + a0 . N = ak × 10k + ak−1 × 10k−1 + ak−2 × 10k−2 + ... + a2 × 102 + a1 × 101 + a0 × 100 k X = ai × 10i i=0
=
k X
ai × (9qi + 1) d'après la question pré édente
i=0
=
k X
ai × 9qi + ai × 1
i=0
= =
k X
i=0 k X
9 × ai × qi + ai 9 × ai × qi +
i=0 k X
=9
k X
aj
j=0
ai × qi + S
i=0
Si on ee tue la division eu lidienne de S par 9, on obtient : S = 9Q + R ave 0 6 R < 9 et ainsi, N =9
k X
ai × qi + S
i=0
=9
k X
ai × qi + 9Q + R i=0 ! k X =9 Q+ ai × qi + R i=0
ave 0 6 R < 9 est la division eu lidienne de N par 9 et par uni ité de la division eu lidienne, N et S ont le même reste dans la division eu lidienne par 9.
Partie B
Sur les billets de banque en euros gure un ode de 11 hires pré édé d'une lettre. On rempla e la lettre par son rang dans l'alphabet habituel omportant 26 lettres. On obtient ainsi un nombre à 12 ou 13
hires et on her he le reste de la division eu lidienne de e nombre par 9. Ce reste est le même pour tous les billets authentiques et vaut 8. Par exemple, le ode relevé sur un billet authentique est : X27385267637. Le rang dans l'alphabet de la lettre X est 24 don le nombre obtenu est 2427385267637. Le reste pour e billet est 8. 1. Le ode U01308937097 gure sur un billet de banque. (a) U est la 21ième lettre de l'alphabet don la ode à 13 hires orrespondant à e billet est : 2101308937097. (b) 2 + 1 + 0 + 1 + 3 + 0 + 8 + 9 + 3 + 7 + 0 + 9 + 7 = 50 = 9 × 5 + 5 don le reste de la division eu lidienne par 9 de la somme des 13 hires de e nombre est 5. ( ) D'après la partie A, question 2., N et S ont le même reste dans la division eu lidienne par 9 don le reste de la division eu lidienne de 2101308937097 par 9 est 5 6= 8 don le billet n'est pas authentique. 2. Sur un billet authentique gure le ode S0216644810x, x pour le dernier hire illisible. S est la 19ième lettre de l'alphabet don le nombre orrespondant à e billet est : 190216644810x. Puisque le billet est authentique, le reste de la division eu lidienne de e nombre doit être 8, e qui revient ( onfère question A 2.) à dire que le reste dans la division eu lidienne de la somme des
hires de e nombre est 8, 'est-à-dire : 1 + 9 + 0 + 2 + 1 + 6 + 6 + 4 + 4 + 8 + 1 + 0 + x = 42 + x a pour reste 8 dans la division eu lidienne par 9. On a : 0 6 x 6 9 ⇐⇒ 42 6 x + 42 6 51 ⇐⇒ 42 6 9q + 8 6 51 ⇐⇒ 34 6 9q 6 43 Or le seul multiple de 9 entre 34 et 43 est 36 don 9q = 36 ⇐⇒ 42 + x = 9q + 8 = 36 + 8 = 44 ⇐⇒ x = 44 − 42 = 2. 3. Sur un autre billet authentique, la partie du ode formé par les 11 hires est 16122340242, mais la lettre qui les pré ède est ea ée. On appelle n le rang dans l'alphabet de la lettre ea ée. (a) Si on note a et b les hires omposant n, n = a × 10 + b ave a et b ompris entre 0 et 9. Ainsi, le nombre orrespondant à e billet est : ab16122340242. Puisque le billet est authentique, le reste de la division eu lidienne de e nombre doit être 8, e qui revient ( onfère question A 2.) à dire que le reste dans la division eu lidienne de la somme des hires de e nombre est 8, 'est-à-dire : a+b+1+6+1+2+2+3+4+0+2+4+2 = 9q +8 ⇐⇒ a+b+27 = 9q +8 ⇐⇒ a+b+19 = 9q . 0 6 a 6 2 et 0 6 b 6 9 don 0 6 a + b 6 11 ⇐⇒ 19 6 a + b + 19 6 30 ⇐⇒ 19 6 9q 6 30 et le seul multiple de 9 ompris entre 19 et 30 est 27, ainsi, 9q = 27. a + b + 19 = 9q = 27 ⇐⇒ a + b = 8 pour a = 0, b = 8 ou a = 1, b = 7 et a = 2, b = 6 ainsi, n = 8, n = 17 ou n = 26. (b) n = 8 donne H , n = 17 donne Q et n = 26 donne Z .
