SESSION 2012
PSIM102
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI ____________________
MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures ____________________ N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
___________________________________________________________________________________
Tournez la page S.V.P.
R
C n
C Mn (K)
K
Mn,1 (K)
A
I I
R A:I →F
A (t) = "
i A−1
j K t
A(t) A "
"
K
ai,j Mn (K)
A F
K ′
n
K n
K A = (ai,j ) I
R
A(t) = ai,j (t)
I t
I
a′i,j (t)
M (t) M N (t) = M (t)N (t) + M (t)N ′ (t) ′
N (t)
′
I
R n
A I
n
I A
B
B
K (E) : X ′ (t) = A(t)X(t) + B(t) I
n
X(t)
K (E0 ) : X ′ (t) = A(t)X(t) (E) (E0 ) (E0 ) K (E)
S0
S0 n S0
(E) (E)
t0 I
I
V
Mn,1 (K)
X
X(t0 ) = V
I (E0 )
"
W (t) = X1 (t), . . . , Xn (t) W (t)
n
(X1 , . . . , Xn ) Xj (t)
S0 (E0 )
(E) (E0 )
(E) : X ′ (t) = AX(t) + B(t)
(E0 ) : X ′ (t) = AX(t) Mn (K)
A I=R Mn,1 (K) (E0 )
V X(t) = eλt V
λ
K V
A
λ
0 −1 1 −1 0 2 0 0 n=4 A= 0 1 1 0 1 −1 1 0
tet et B(t) = 0 −tet
K=C
(E0 ) A
(E0 )
I=R K=R x1 (t) x (t) 2 X(t) = x3 (t)
(E) : X ′ (t) = AX(t) + B(t)
x4 (t)
xk (t) x2 (t)
x3 (t)
(E) x1 (t)
I =R x4 (t)
Tournez la page S.V.P.
−1 −1 X(0) = −1
(E)
X
0
(E) : X ′ (t) = A(t)X(t) + B(t) R t∈I K=R C
I S0 (E0 ) t0 ∈ I
n Φt 0
S0
Mn,1 (K)
∀X ∈ S0 , Φt0 (X) = X(t0 ) . Φt 0 Mn,1 (K) X1 , . . . , X n t0 X(t0 ) = V
S0
(E0 ) t
V ∈ Mn,1 (K) X ∈ S0 −1 Φt ◦ Φt0 (V ) = X(t)
I
(E0 )
(X1 , . . . , Xn )
S0
Mn,1 (K)
(C1 , . . . , Cn )
Φt 0
t0 ∈ I S0
Mn,1 (K) W (t0 ) = X1 (t0 ), . . . , Xn (t0 ) .
t0
t
−1 R(t, t0 ) = W (t) W (t0 ) (X1 , . . . , Xn )
I
R(t, t0 )
R(t, t0 )
t, t0 , t1
t2
(E0 )
I R′ (t, t0 )
R′ (t, t0 ) = A(t)R(t, t0 ) X(t) = R(t, t0 )V (E0 ) R(t2 , t1 )R(t1 , t0 ) = R(t2 , t0 )
R(t, t0 )
t
V ∈ Mn,1 (K) X(t0 ) = V R(t, t0 )
−1
= R(t0 , t)
(E) t
t0
(E)
I X(t) = R(t, t0 )V (t) ,
V : I → Mn,1 (K) X(t) = R(t, t0 )V (t)
(E)
R(t, t0 )V ′ (t) = B(t) . V (t) =
Z
t
(E)
R(t0 , u)B(u) u
V (t)
t0
R(t0 , u)B(u) Z t R(t, u)B(u) u Y (t) =
(E)
t0
K=R
(e0 ) : t(t − 1)y ′′ + 3y ′ − 6y = 0 , y = y(t)
I y(t) = am tm + · · · + a0
(e0 ) am 6= 0 (e0 )
(e0 )
P
R Q(t) =
1 (1 − t)2
(e0 )
P (0) = 1 ] − 1; 1[
(e0 )
y(t) =
+∞ X
ak t k
k=0
|t| < R
R>0 k
ak+1
k
ak
R
Tournez la page S.V.P.
k0 ak 0
ak ak 0
k ≥ k0 ak P
Q
(E) : y ′′ + a(t)y ′ + b(t)y = ϕ(t) , a, b, ϕ
I z
z(t) = y ′ (t)
A(t)
X(t) =
f (t), g(t) (E0 ) : y ′′ + a(t)y ′ + b(t)y = 0 ! ! f (t) g(t) f ′ (t) g ′ (t) (E0 ) : X ′ (t) = A(t)X(t) ! f (t) g(t) W (t) = f ′ (t) g ′ (t) I f ′ (t) f0′
! (E)
B(t) (E) : X ′ (t) = A(t)X(t) + B(t)
"
t t0 g(t0 ) f ′
y(t) z(t)
I
f (t) f0 f (t0 ) g g(t) g0 f ′ (t0 ) g ′ g ′ (t) g0′ g ′ (t0 ) " −1 W (t0 ) f0 , g0 , f0′ , g0′ R(t, t0 ) f, f0 , g, g0 , f ′ , f0′ , g ′ , g0′ f
(e) : t(t − 1)y ′′ + 3y ′ − 6y = 20t4 I =]0; 1[ (e)
(E)
A(t) B(t) (E) : X ′ (t) = A(t)X(t) + B(t)
Q W (u)
t Q(t)P (u) − P (t)Q(u)
f (t) = P (t) u ]0; 1[
(e)
g(t) = Q(t)
P
t
t0
]0; 1[
1 y(t) = (1 − t)2
Z
t
(4t5 − 5t4 − 4u5 + 5u4 ) u t0
(e) t0 = 0 (e)
[0; 1[
(e) y(0) = y ′ (0) = 0 ?
[0; 1[
IMPRIMERIE NATIONALE – 12 1245 – D’après documents fournis