De Moivre’s theorem – exam questions    Question 1: Jan 2007 

 

Question 2: June 2007 

 

Question 3: Jan 2006 

It is given that z  ei . 1 a ) i )Show that z   2 cos  z 1 z2 1 1 iii ) Hence show that z 2  z  2   2  4 cos 2   2 cos  z z b) Hence solve the quartic equation z 4  z 3  2 z 2  z  1  0 giving the roots in the form a  ib. ii ) Find a similar expression for z 2 

(2 marks ) (2 marks )  

(3 marks )

(5 marks )

  Question 4: Jan 2010 

 

 

 

Question 5: June 2009 

 

Question 6: Jan 2009 

 

  Question 7: June 2006 

 

 

 

Question 8: Jan 2008 

  Question 9: June 2008 

   

   

De Moivre’s theorem – exam questions ‐ answers    Question 1: Jan 2007 

  6 6   iSin  Cos  iSin  1 b)  Cos  iSin   Cos 6 6 6 6  c) (Cos  i sin  )(1  Cos  i sin  )  (Cos  iSin )  (Cos  iSin )(Cos  i sin  )  6

(Cos  iSin )  Cos 2  Sin 2  Cos  iSin  1 d ) (1  Cos

            iSin )6  (1  Cos  iSin )6   (Cos  i sin )(1  Cos  i sin )   (1  Cos  iSin )6  6 6 6  6 6 6 6 6 6 6 



6

            iSin )6 1  Cos  iSin   (1  Cos  iSin )6   1 1  Cos  iSin   (1  Cos  iSin )6  0 6 6  6 6 6 6 6 6 6 6  Question 2: June 2007  15  Cos  iSin   Cos 15   iSin 15   0  i (Cos



6

Cos(15 )  0 and Sin(15 )  1 3 3  so 15    2 30 10 Question 3: Jan 2006 

6

 

z  ei a) i) z 

1 1  ei  i  ei  e  i z e  Cos  iSin  Cos  iSin

ii ) z 2 

z

1  2Cos z

1 1  ei 2  i 2  ei 2  e  i 2 2 z e  Cos 2  iSin 2  Cos 2  iSin 2 z 2 

1  2Cos 2 z2

1 1 iii ) z 2  z  2   2  2Cos 2  2Cos  2 z z we know that Cos 2  2Cos 2  1 so 1 1 z 2  z  2   2  2(2Cos 2  1)  2Cos  2 z z 1 1 z 2  z  2   2  4Cos 2  2Cos z z 4 3 2 b) z  z  2 z  z  1  0 factorise by z 2 ( z  0 is not a solution) 1 1 1 1 z 2 ( z 2  z  2   2 )  0 This gives z 2  z  2   2  0 z z z z 2 4Cos   2Cos  0 2Cos (2Cos  1)  0 Cos  0 or Cos 

 ze  



or   

2 i

 2

 2

1 2

 

or  

 i or z  e

i

 3



or   

3 1 3  i 2 2

 3

Question 4: Jan 2010 

a) i)   e

i

2 7

b)1     2   3   4   5   6 is a geometric series with common ration 

7

 i 2  so    e 7   e 2i  cos 2  i sin 2  1    is a solution of z 7  1 7

1 7 11  0 1  1  4 4 i  4 c) i )  2   5   2   2  e 7  e 7  2 cos 7 2 3 4 5 6 ii )1              0

1    2  3   4  5  6 

2 7 the other non  real solutions are

ii ) 7  k  2

  k

for k  2, e for k  4, e for k  6, e

i

i

4 i 7 8 7

 2 

12 7

for k  3, e for k  5, e

4

i

6 i 7

10 7

   2   3   3   2   1  1    1   2   2   3   3  1 2 4 6

 3

2 cos

 5

 6

       

cos

 2 cos

7

7

 2 cos

7

 1

2 4 6 1  cos  cos  7 7 7 2

 

  Question 5: June 2009  i



a) z  2e 12

4

1   3  z 4  16  cos  iSin   16   i  3 3 2   2

 i  i12  so z   2e   16e 3   4

z 4  8(1  i 3)

a 8

b) let's write z  re

i

, z  r 4 ei 4 4

z is a solution of this equation when



r 4  16 and 4 = r  2 and  

3



 k 2



k

12

i

k  2, 1, 0,1

2

  Question 6: Jan 2009 

a)  z 4  ei  z 4  e  i   z 8  z 4 e  i  z 4 ei  1  z 8  z 4  ei  e  i   1 1  (   ) , z 8  2 z 4 cos   1 becomes z 8  z 4  1  0 2 3   i  i   We can factorise as  z 4  e 3   z 4  e 3   0   

b) for cos 

We need to solve z  e

i

 3

(rei ) 4  e r  1 or 4  

  This gives z  e c)    

11 i 12

,e

 3

 12 i

5 12

i



r 4 e 4i  e

3

i

 3

 k  2 

k 2

,e

i

 

 12

,e

i

i

5 12

, 2e

i

11 12

i

7

, 2e 12

 

 z 8  z 4  2 cos   1  z 8  2 z 4 cos   1

4



Solutions are : 2e 12 , 2e

9 12

 

Question 7: June 2006  a ) Let note z  rei then z 6  r 6  ei 6

and 1  1ei 0

The equation z 6  1 is equivalent to

r 6  ei 6  1 ei 0

This gives r 6  1 r 1 6  0  k 2

 k so z  e

i

2 3

i

or e



3 k  3

2 k 3

3

 3

or ei 0 or e

i

 3

or e

i

2 3

or ei

w2  1 ei 2  1 ei (ei  e  i )    ei  e  i  2iSin w ei ei i w i 1 1 ii ) 2     2 Sin w  1 2iSin 2iSin i e i Cos  iSin 2i 2i 1 iii ) 2   i   w  1 2iwSin e  Sin Sin Sin Cos Sin  i  Cot  i Sin Sin 2i iv) z  Cot  i so 2 z w 1 2i  zw2  z

b)i )

z  2i  zw2 c) i ) ( z  2i )6  z 6 is equivalent to order 5 polynomial=0 (the term in z 6 cancel out )  z  2i    1  z  6

ii ) ( z  2i )6  z 6 So w2  e

i

k 3

we

(question a )

This gives z  cot 0  i , cot



i

( w2 ) 6  1

k 6

 i , cot



 i , cot

6 3 3 3 i ,   i,  3  i z  i , 3 i , 3 3

2 5  i , cot i 3 6

Question 8: Jan 2008  

i 1   1 4 i a) 4  4i  4 2    4 2e 2  2 5 i 5 b) Let's write z  (re )  r 5ei 5

z 5  4  4i becomes r 5ei 5  4 2e

i

 

 4



so r 5  4 2 and 5 

 k  2

 

2 k  2, 1, 0,1, 2 20 5 15 7  9 17 r  2 and    , , , , 20 20 20 20 20 The 5th roots of 4  4i are : r  2 and  

2e

i

3 4

, 2e

i

7 20



4

k

i



, 2e 20 , 2e

i

9 20

, 2e

i

17 20

 

Question 9: June 2008  1  1 1 1  a) i )  z   z    z 2  1  1  2  z 2  2 z  z z z 

1  1 1   1  1    ii )  z    z     z     z   z    z  z z   z  z    4

2

2

2

2

1 1     z 2  2  2  z 2  2  z z    1 1      z 2  2  2  z 4  4  2  z z    1 1 2 2  z6  2  2z2  z2  6  2  2z4  4  4 z z z z 1  1  1    z6  6    z2  2   2  z4  4   4 z   z   z  

 

1 b)i ) z  n   cos n  i sin n    cos n  i sin n   2 cos n z 1 ii ) z n  n   cos n  i sin n    cos n  i sin n   2i sin n z 4 2  1 1   1  1  4 2 c) cos  sin    4  z      z    2  z     2i 2  z   n

4



1  1  1 z  z  64  z  z

2

1  6 1   2 1   4 1    z  6    z  2   2  z  4   4 z   64  z   z   1    2 cos 6  2 cos 2  4 cos 4  4  64 1 1 1 1   cos 6  cos 4  cos 2  32 16 32 16 1 1 1 1 d )  cos 4  sin 2  d    cos 6  cos 4  cos 2  d 32 16 32 16 1 1 1 1   sin 6  sin 4  sin 2    c  192 64 64 16 