Courbes modulaires et 11-rang de corps quadratiques Franck Lepr´evost
TABLE DES MATIE` RES Introduction 1. Structure galoisienne de courbes modulaires 2. Le cas p = 23 3. M´ethode et R´esultats Remerciements Bibliographie
Nous construisons 53 corps quadratiques imaginaires ayant un 11-rang e´ gal a` 3, et sept corps quadratiques r´eels de 11-rang e´ gal a` 2. Ce sont, a` notre connaissance, les premiers exemples de tels corps. We construct 53 imaginary quadratic fields of 11-rank equal to 3, and seven quadratic fields of 11-rank equal to 2. These appear to be the first examples of such fields.
INTRODUCTION
Soient K un corps de nombres, ClK le groupe des classes d'idéaux de K , et p un nombre premier. Le p-rang du groupe des classes d'idéaux de K est, par dé nition, la dimension de ClK =p ClK sur Fp . Par abus de langage, nous entendrons par p-rang de K le p-rang du groupe des classes d'idéaux de K . Gauÿ a montré que le 2-rang d'un corps quadratique de discriminant D est t 1 ou t 2, où t est le nombre de facteurs premiers de D. Par conséquent, pour chaque entier n 1, il existe une in nité de corps quadratiques réels (ou imaginaires) dont le 2-rang soit égal à n. Shanks [1972] a trouvé les premiers exemples de corps quadratiques imaginaires dont le 3-rang est 3. Depuis, divers auteurs (e.g. [Diaz y Diaz 1973 ; Craig 1977]) ont trouvé d'autres exemples de corps quadratiques de 3-rang supérieur à 3. Quer [1987] a trouvé trois corps quadratiques imaginaires dont le 3-rang est 6. A chacun d'entre eux est associé, par un théorème de Scholz, un corps quadratique réel dont le 3-rang est 5. Les cas p = 5 et p = 7 ont été étudiés par Mestre [1983 ; 1992]. Schoof [1983] a découvert le
c A K Peters, Ltd. 1058-6458/96 $0.50 per page
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premier exemple de corps quadratique imaginaire dont le 5-rang est 4, et Solderitsch [1977] le premier corps quadratique imaginaire dont le 7-rang est 3. Pour d'autres exemples de tels corps, voir [Llorente et Quer]. Nous construisons ici 53 corps quadratiques imaginaires ayant un 11-rang égal à 3, et sept corps quadratiques réels de 11-rang égal à 2. Ce sont, à notre connaissance, les premiers exemples de tels corps. 1. STRUCTURE GALOISIENNE DE COURBES MODULAIRES
Nous renvoyons à [Ling et Oesterlé 1991] pour cette partie. Soient K un corps et N un entier 1. Pour E une courbe elliptique dé nie sur K , notons Y0 (N )(K ) l'ensemble des classes de K -isomorphisme de couples (E; C ), où C est un sousgroupe de E dé ni sur K et cyclique d'ordre N ; et notons Y1 (N )(K ) l'ensemble des classes de K isomorphisme de couples (E; P ), où P est un point de E dé ni sur K et d'ordre N . Soient = SL2 (Z); a b 2 ; c 0 mod N ; 0 (N ) = c d a b 1 (N ) = c d 2 0 (N ) ; a d 1 mod N : Alors Y0 (N )(C) et Y1 (N )(C) sont isomorphes aux quotients de l'action des groupes 0 (N )=f1g et 1 (N )=f1g, respectivement, sur le demi-plan de Poincaré. En rajoutant les pointes aux courbes Y0(N )(C) et Y1(N )(C) on obtient les compacti ées X0(N )(C) et X1 (N )(C). En n, notons J1 et J0 les jacobiennes des courbes X1(N ) et X0(N ). La courbe modulaire X0 (p)
Prenons N = p, où p est un nombre premier impair, et posons (p 1)=12 = a=b, où a et b sont des entiers 1 et premiers entre eux. Si Y (z ) = q1=24 (1 qn ); n1
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où q = e2iz , la fonction
f (z ) = ((pzz ))
2b
=q
a Y (1 (n;p)=1
qn) b 2
est une fonction modulaire pour le groupe 0 (p), de diviseur a[(0) (1)]; où 1 et 0 représentent les pointes correspondantes de X0 (p). On peut montrer que le sous-groupe engendré par le diviseur (0) (1) est exactement le groupe de torsion C de la jacobienne de X0 (p)(Q), et est d'ordre exactement a. Supposons désormais p 1 mod 12 (ce que véri e, par exemple, p = 23), et considérons le revêtement X1 (p) ? X0 (p) prolongeant celui dé ni en dehors des pointes par : Y1 (p) (E; P )
?
?
Y (p) (E; hP i) Ce revêtement est abélien cyclique de groupe de Galois Z=aZ, où a = (p 1). Ce revêtement induit, par fonctorialité de Picard : : J - J : Le revêtement est cyclique de degré a. Donc [Ling et Oesterlé 1991, p. 172] il existe un sous-groupe (dit de Shimura) de la jacobienne de X (p)(Q(a)), isomorphe à a en tant que Gal(Q =Q)-module, et qui est le noyau de . Ainsi obtient-on la suite exacte de Gal(Q =Q)-modules : 1 - a - J - J : La jacobienne de la courbe modulaire X (p) possède donc deux sous-groupes cycliques, rationnels sous l'action de Gal(Q =Q) et d'ordre a : le groupe 0
1 2
1
0
0
0
1
0
Lepr´evost: Courbes modulaires et 11-rang de corps quadratiques
C engendré par (0) (1) et le groupe de Shimura. Gal(Q =Q) agit trivialement sur C , comme a sur . Supposons désormais a impair (donc C \ = f0g) et premier. Les sous-groupes précédents permettent, dans certains cas, de construire, en utilisant la méthode décrite dans [Mestre 1982], des corps quadratiques dont le a-rang est 1. Soit 1 - Ker(') - C '- J - 1 0
une suite exacte, où C est une variété abélienne et ' une isogénie dé nies sur Q. Supposons C semistable en tout l premier. Soit k un corps quadratique, Ok son anneau des entiers, C=O et J0 =O les modèles de Néron de C et J0 sur Ok , et Ker(')=O la clôture schématique de Ker(')=k dans C=O . On a alors la suite exacte de schémas en groupes sur Ok 1 - Ker(')=O - C=O - J00 =O - 1; où J00 =O est un sous-schéma en groupes ouvert de J0 =O , contenant la composante neutre de J0 =O (ceci étend le lemme de [Mestre 1992, p. 371]). Supposons dans la suite la courbe X0 (p) hyperelliptique, d'équation y2 = f (x); où f est un élément depQ[x] sans racines multiples. Notons k le corps Q f (x) et Ok l'anneau des entiers de k. k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
Cas imaginaire
Supposons que k soit un corps quadratique imaginaire. Soit B la variété abélienne quotient de J0 par le sous-groupe d'ordre a engendré par le diviseur (0) (1). On a une suite exacte :
1 - Z=aZ - J0 - B - 1 qui, par dualité, donne une autre isogénie, dé nie sur k : 1 - a - tB - J0 - 1:
139
Posons C = tB et supposons C semi-stable en tout nombre premier l. Notons G le schéma en groupes quasi- ni clôture schématique de a=k dans C=O . Alors on a, pour un certain sous-schéma en groupes J00 =O ouvert de J0 =O et contenant la composante neutre de J0 =O , la suite exacte de schémas en groupes sur Ok : 1 - G - C=O - J00 =O - 1: En regardant cette suite exacte comme une suite exacte de faisceaux sur Spec(Ok ) pour la topologie fppf, on en déduit une injection : 1 - J00 (Ok )=C (Ok ) - H1 (Spec(Ok ); G): D'autre part, on a la suite exacte 1 - G - a - a: - 1; où a: désigne un faisceau en gratte-ciel trivial en dehors des places de k divisant a. D'où l'injection 1 - H1 (Spec(Ok ); G) - H1 (Spec(Ok ); a): En n, k étant un corps quadratique imaginaire, H1 (Spec(Ok ); a) s'injecte dans a Clk , d'où l'existence d'un morphisme injectif J00 (Ok )=C (Ok ) - a Clk : k
k
k
k
k
k
Cas r´eel
Supposons ici k quadratique réel. La suite exacte 1 - - J - J a
0
1
montre qu'il existe une variété abélienne B = Im telle que l'on ait la suite exacte : 1 - a - J0 - B - 1; qui donne par dualité, en notant C = tB et ' = t : 1 - Z=aZ - C '- J - 1; 0
(la variété abélienne J0 étant une jacobienne, elle est isomorphe sur Q à sa duale). Supposons C semi-stable en tout nombre premier l. Pour un certain sous-schéma en groupes 24 August 1996 at 18:20
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J 0 =O ouvert de J =O et contenant la composante neutre de J =O , on a la suite exacte de schémas en groupes sur Ok : 1 - Z=aZ - C=O - J 0 =O - 1; qui induit un homomorphisme de groupes : 0 - J 0 (Ok )=C (Ok ) - Hom(Clk ; Z=aZ); car H (Spec(Ok ); Z=aZ) = H (Spec(Ok ); Z=aZ) = Hom(Clk ; Z=aZ): Par suite, l'image réciproque par ' de tout point de J 0 (Ok ) engendre une extension de k, abélienne non rami ée et de degré divisant a. De manière concrète : soit x un rationnel et Q l'un des deux points de X (p) d'abscisse x. Supposons que Q ne se réduise pas modulo p en le point singulier de X (p)=F . Alors le théorème de Chevalley et Weil [1932] permet de montrer que p l'extension k ' (Q) =k, où k = Q f (x) , est non rami ée et de degré a. 0
0
k
0
k
k
0
k
k
0
1 fppf
1 et
0
0
0
p
1
X (2p) Si N = N N , où N et N sont des entiers 1 et premiers entre eux, nous pouvons dé nir sur Q une involution !NN1 (dite d'AtkinLehner) de X (N ), en posant, pour tout (E; C ) 2 Y (N ) : !NN1 (E; C ) = (E=CN1 ; EN1 + CN2 =CN1 ); où CN , pour i = 1; 2, est l'unique sous-groupe cyclique de C d'ordre Ni , et EN1 est le groupe des points d'ordre N de E . La courbe modulaire X (N ) est donc revêtement de deux manières diérentes de la courbe modulaire X (N ). En eet, un premier revêtement naturel, noté ici , est donné, en dehors des pointes, par : X (N N ) (E; CN ) ? ? X (N ) (E; N CN ) La courbe modulaire 1
0
2
1
2
0
0
i
1
0
0
2
1
0
1
2
1
0
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1
2
1
Un second revêtement, 2 , s'obtient en composant le revêtement ci-dessus avec l'involution !NN1 d'AtkinLehner : !N X0 (N ) N-1 X0(N )
1
R ?
2
X (N ) Si N = 2p, la courbe modulaire X (2p) est donc revêtement de deux manières de X (p). De manière explicite, le morphisme est donné par 0
2
0
0
1
(E; C2 Cp )
- (E; Cp);
(1.1)
et le morphisme 2 par (E; C2 Cp )
- (E=C ; C Cp=C ): 2
2
2
(1.2)
En n l'involution !22p de X0 (2p) est donnée par (E; C2 Cp )
- (E=C ; [E [2]=C ]:Cp); 2
2
où E [2] désigne le noyau de la multiplication par 2 dans E . Les revêtements 1 et 2 de X0 (2p) sur X0 (p) sont indépendants. Le calcul montre en eet que les images réciproques par 1 et 2 de l'espace vectoriel p sont supplémentaires dans 2p , où, pour N = p ou N = 2p, N désigne l'espace des formes diérentielles de première espèce de X0 (N ). Soit (E; C2 Cp ) un élément de X0 (2p)(k) et (E; P) un élément de X1 (p) au dessus de 1 (E; C2 Cp ) . En considérant l'isogénie de degré 2 dé nie sur k : :E
- E=C ; 2
on constate que (P ) est un point de E=C2 , dé ni sur k et qui engendre le sous-groupe C2 Cp =C2 . Par suite la jacobienne de X0 (2p) ne contient qu'une copie de . Une démonstration de cela se trouve également dans [Ling et Oesterlé 1991], que nous reproduisons ci-dessous.
Lepr´evost: Courbes modulaires et 11-rang de corps quadratiques
Nous avons vu que le revêtement X1(p) (p) ? X0(p) induit, par fonctorialité de Picard, une suite exacte (p) 1 - (p) - J0 (p) - J1 (p): De même, le revêtement X0 (2p) 1 ? X0 (p) induit un morphisme J0 (p) -1 J0(2p): Or, on a 1 (p) (2p) [Ling et Oesterlé 1991, Th. 4, p. 175]. Mais 2 X0(2p) X0(2p) !-
1
R ?
2
X (p) 0
induit
J (p) - J (2p); et = ! implique = ! , donc (p) = ! (p) : Par suite, (p) ! (2p) = (2p); car, d'après [Ling et Oesterlé 1991, Th. 3, p. 174], le sous-groupe de Shimura (2p) est stable sous !. Donc les images par et par du sous-groupe de Shimura de J (p), (p), sont des sous-groupes de (2p), le sous-groupe de Shimura de J (2p). En n, [Ling et Oesterlé 1991, Cor. 1, p. 173] permet de montrer que l'ordre de (2p) est encore a, ce qui établit que J (2p) ne contient qu'une copie de (p). 2
0
2
1
2
0
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
0
0
0
141
Par contre, on peut veri er que les pointes de X0 (2p) engendrent un sous-groupe de sa jacobienne qui, entant que module galoisien, est isomorphe à Z=aZ 2. Si la courbe X0 (2p) est hyperelliptique, d'équation y2 = g(x), considérons le point Q de X0 (2p) d'abscisse un rationnel x. Supposons que Q ne se réduise pas modulo p en un point de la p singulier courbe X0 (2p)=F . Soit k = Q g(x) ; si k est un corps quadratique imaginaire, le a-rang de k est supérieur ou égal à 2. Si k est un corps quadratique réel, on peut seulement a rmer que le a-rang de k est supérieur ou égal à 1. p
2. LE CAS p
= 23
X (23)(Q) Considérons la courbe modulaire de genre deux, donc hyperelliptique, X (23)(Q). Une équation de cette courbe est, par exemple, Y = X 14X +57X 106X +90X 16X 19 [Fricke 1928]. Cette courbe a bonne réduction partout sauf en 23 où la réduction du modèle ci-dessus est une union de deux droites : Y (X + 2) (X + 5) (X + 9) mod 23; donc n'est pas irréductible. Il convient donc d'éclater les singularités. Dans un premier temps, considérons le point singulier modulo 23 d'abscisse X = 2. Posons X = 2 + 23t. Ainsi obtient-on la courbe : Y = 23 (529t 207t + 26t 1) (529t 391t + 78t 5): Le changement Y = 23y mène à l'équation y = f (t), où f (t) = (529t 207t + 26t 1) (529t 391t + 78t 5): Alors y 4(t +2)(t +15) mod 23 ; on a donc éclaté le point singulier modulo 23 d'abscisse X = 2. La courbe modulaire
0
0
2
6
5
2
2
4
2
2
3
3
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
3
2
2
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Formellement on a f 9 (t) 9 mod 23; 23 et donc le dernier point singulier modulo 23 est éclaté.
Plaçons-nous maintenant sur le point singulier modulo 23 d'abscisse X = 5. Posons pour ce faire X = 5 + 23u. On obtient ainsi Y 2 = 232 (279841u6 535348u5 + 413678u4 166658u3 + 37105u2 4342u + 209): Si l'on pose Y = 23y, on se ramène à l'équation y2 = 279841u6 535348u5 + 413678u4 166658u3 + 37105u2 4342u + 209; pour laquelle y2 6(u + 10)2 mod 23. Il faut faire un second éclatement en posant u = 10+23t. On obtient y2 = f 5 (t), avec f 5 (t) égal à
X (46)(Q) La courbe modulaire hyperelliptique X (46) est revêtement de X (23) de deux manières diérentes : voir (1.1) et (1.2). Une équation de cette courbe est
La courbe modulaire
0
0
Y = (X + X + 2X + 1)(X + 4X + 4X + 8) (X + 5X + 14X + 25X + 28X + 20X + 8) 2
23(148035889 3 198127428 2 + 88389023 13144019) (12167 3 16468 2 + 7429 1117) t
t
t
t
:
g
2
3
2
2
2
2
2
2
Comme précédemment, nous éclatons la courbe X (46) en les 6 points singuliers modulo 23 d'abscisses respectives 5, 3, 5, 6, 7 et 8 modulo 23. Nous obtenons ainsi, pour m 2 f 5; 3; 5; 6; 7; 8g, les équations y = gm (t), où les polynômes gm (t) sont donnés ci-dessous. 0
2
2
2
( ) = 23(12167 3 7406 2 + 1541 109)(12167 3 5819 2 + 897 37) (6436343 6 6996025 5 + 3212088 4 796145 3 + 112194 2 8510 + 271) 3 184 2 + 23 1)(12167 3 2645 2 + 161 + 5) 3 ( ) = 23(529 (148035889 6 83672459 5 + 20708234 4 2834911 3 + 224296 2 9614 + 173) 3 + 368 2 + 87 + 7)(529 3 + 437 2 + 119 + 11) 5 ( ) = (529 (148035889 6 + 225272005 5 + 143838274 4 + 49337185 3 + 9589712 2 + 1001650 + 43933) 3 + 10051 2 + 2806 + 265)(12167 3 + 11638 2 + 3680 + 392) 6 ( ) = 23(12167 (6436343 6 + 11473481 5 + 8565568 4 + 3428449 3 + 776066 2 + 94208 + 4792) 3 + 11638 2 + 3749 + 407)(529 3 + 575 2 + 207 + 25) 7 ( ) = 23(12167 (148035889 6 + 302508121 5 + 258573084 4 + 118348409 3 + 30594186 2 + 4235726 + 245393) 3 + 13225 2 + 4830 + 593)(12167 3 + 14812 2 + 5980 + 808) 8 ( ) = 23(12167 (6436343 6 + 14831573 5 + 14284058 4 + 7359977 3 + 2140012 2 + 332948 + 21656) 5 t
t
t
t
t
g
4
2
9
3
5
2
5
3
3
Y (X + 3) (X + 5) (X + 15) (X + 16) (X + 17) (X + 18) mod 23:
f (t) 3 mod 23 ; 23 le deuxième point singulier est bien éclaté. Ôtons en n la singularité modulo 23 d'abscisse X = 9 : en posant X = 9 + 23t, nous obtenons y = f (t), avec f (t) = 23(12167t 20102t + 10649t 1837) (529t 690t + 229t 43): 9
2
[Gonzàlez Rovira 1991], qui se réduit modulo 23 en
Formellement,
2
3
6
t
t
0
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
g
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Polynômes utilisés pour l'éclatement des singularités de la courbe 24 August 1996 at 18:20
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
g
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
g
t
t
t
g
t
t
t
X0
(46).
Lepr´evost: Courbes modulaires et 11-rang de corps quadratiques
3. ME´ THODE ET RE´ SULTATS
Soient ak et bk les racines réelles de fk , où k = 9; 5; 2, et cm et dm les racines réelles de gm , où m = 5; 3; 5; 6; 7; 8. Substituons dans fk un nombre rationnel t = i=j , où j est premier à 23 et ak < t < bkp: le 11-rang du corps quadratique ima ginaire Q fk (t) est 1. De même, par substitution dans gm de nombres rationnels convenables, tels que cm < t < dm , l'onp obtient des corps quadratiques imaginaires Q gm (t) dont le 11-rang est 2. Il n'était pas désespéré de trouver, par une recherche systématique dans ces familles, des corps quadratiques imaginaires ayant un 11-rang 3. Dans la pratique, on a imposé aussi la condition 1 j B , où B est une borne convenablement choisie. Pour chaque valeur de t ainsi obtenue, on a calculé de discriminant d correspondant. Pour 20 6 , les discriminants appartenant à 10 ; 25 10 23 6 le dans le cas des fk , ou à 10 ; 25 10 , dans p cas des gk , on a alors calculé le 11-rang de Q d . (La borne supérieure de ces intervalles est imposée par les travaux de Buell [1987].) L'implémentation de cette méthode sera considerée ci-dessous. Le tableau 1 fournit le nombre de corps quadratiques imaginaires obtenus à l'aide de chaque polynôme fk ou gk , et le nombre de ceux qui ont 11-rang égal à 1, 2, 3. Nous avons également cherché, à l'aide des trois courbes associées à X0 (23), des exemples de corps quadratiques réels ayant un 11-rang 2. Pour ce faire, nous avons substitué dans fk des rationnels t = i=j , où B j B , j non nul premier à 23, 1 i B , i premier avec j tel que i < ak j ou i > bk j , en ne retenant que les discriminants 1015 . Le tableau 2 résume nos résultats dans cette direction (la même méthode, appliquée aux courbes issues de X0 (46), a donné des discriminants dont la taille rendait le temps de calcul prohibitif par rapport au résultat escompté). Le tableau 3 contient l'information suivante pour chaque corps imaginaire de 11-rang égal a 3 : le discriminant d ; le polynôme et les valeurs de i et
1 325073 48672 115775
B f
2000 10000 2000 5000 5000 5000 5000 5000 5000
2
f
5
f
9
g
5
g
3
g5 g6 g7 g8
2 35545 5390 13065 85 163 241 159 163 159
3 29 7 9 2 2 3 1 2 1
143
total 360647 54069 128849 87 165 244 160 165 160
Nombrep de corps quadratiques p imaginaires de la forme Q k ( ) ou Q k ( ) , avec = et premier à 23. Le nombre de corps ayant 11-rang 1, 2, et 3 est également indiqué.
TABLEAU 1.
f
t
i=j
j
t
g
t
B
B f
2
f
5
f
9
20 50 20
1 446 70 288
2 4 0 3
total 450 70 291
Nombre de corps quadratiques réels obtenus à l'aide des polynômes k .
TABLEAU 2.
f
j qui ont permis de trouver d, selon le procédé cidessus ; et la structure du groupe des classes. (Dans la dernière colonne, chaque expression entre parenthèses désigne un group cyclique, de sorte que (2) (3 )(11) doit être interpreté comme le groupe (Z=2Z) (Z=9Z) (Z=11Z) .) Les discriminants obtenus avec g (t) et g (t), étant les mêmes que ceux obtenus, respectivement, avec g (t) et g (t), ne sont donc pas reproduits. Le tableau 4 comporte les mêmes données pour les corps quadratiques réels de de 11-rang égal a 2, le groupe des classes étant pris au sens restreint. 4
2
3
4
3
7
8
3
6
Impl´ementation
Nous avons exploité pour nos calculs deux programmes écrits en langage C et utilisant la bibliothèque PARI [Batut et al. 1992]. Le premier construit les discriminants satisfaisant les conditions décrites ci-dessus, et les stocke dans des chiers, un pour chaque fk ou gk . 24 August 1996 at 18:20
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Experimental Mathematics, Vol. 2 (1993), No. 2
groupe de classes 107212102879 23 152 (2)4 (32 )(11)3 2 6009498285655 35 401 (2)3 (24 )(7)(11)3 2 2 3273815151496615 205 1006 (2 )(2)5(33 )(7)(11)3 2 3 4 11705648783592155 106 293 (2) (2 )(35 )(11)3 2 2 3 15983136910670819 74 895 (2) (2 )(11)3 (1171) 2 45917006295607387 138 523 (22 )(2)4 (11)3 (13)(29) 2 128303784590905631 119 158 (2)3 (23 )(11)3 (3943) 9 221930700346928435 266 1593 (22 )2 (2)3 (11)3 (599) 2 2 2 240993755376321431 181 464 (2) (2 )(112 )(11)2 (17)(137) 2 259906958807885179 783 1429 (2)4 (27 )(3)(112 )(11)2 9 6 329291663794278515 133 223 (2 )(2)4 (32 )(112 )(11)2 9 369255782670095911 189 1613 (26 )(2)4 (11)3(251) 2 767924965669088755 300 1637 (2)3 (26 )(3)(11)3(53) 2 859176261382499495 215 622 (2)3 (24 )(3)(5)(11)3(257) 2 1053991934262106015 211 1873 (2)6 (11)3(4001) 2 3 2 1388624107376355751 3 25 (2) (2 )(23 )(3)(11)3(733) 5 1689531290879523071 1065 2384 (2)(22)(3)(7)(11)3(5653) 5 1788386963820377771 179 303 (2)3 (3)(11)3(14009) 9 4 3 1858557024305974751 169 1926 (2) (2 )(5)(11)3(19)(127) 2 2 2 2 2051939044103994599 347 1864 (2) (2 ) (7)(11)3 (2089) 2 2378163971730283483 274 1099 (2)3 (3)(5)(11)3(1451) 2 3672446254951263379 294 1175 (2)2 (22 )(11)3 (15467) 2 3 2 5277472009435747079 337 1508 (2) (2 )(11)3 (29)(2897) 2 6223112851448049611 821 1827 (2)(27 )(54)(7)(11)3 5 7612626093344267531 532 1781 (2)(22)(11)3 (13)(9829) 2 8592703740928325387 1283 2877 (2)5 (24 )(11)3 (1429) 5 2 10893680997458041703 4029 9082 (2) (7)(11)3(59557) 5 2 12134995031308874287 403 662 (2) (3)(11)3 (59)(2579) 9 12280492000465528715 338 1149 (2)5 (32 )(11)3 (17)(163) 2 2 2 2 15175819545558957391 1501 3362 (2)(2 ) (3 )(5)(7)(112)(11)2 (13) 5 16523040683771963671 351 1097 (2)4 (47)(11)2(112 )(149) 2 16690063420707862759 361 955 (2)4 (22 )(11)3 (37)(821) 2 16713560136722037895 466 1229 (2)4 (112 )(11)2 (47)(179) 9 16829732115140025191 1490 3339 (22 )(2)2 (3)(11)3(84857) 5 17549249288784625511 361 1259 (2)3 (11)3(17)(109)(211) 2 23492548617875798615 379 1322 (2)4 (23 )(7)(11)3(61)(71) 2 28531121405097223255 679 1502 (2)5 (23 )(3)(112 )(11)2 (197) 5 4 2 36906219151810186103 431 1716 (2) (2 )(24 )(33 )(11)2 (112 )(13) 2 3 2 39834983794677106991 8 81 (2) (2 )(32 )(112 )(11)2 (1709) 3 45160241220675305095 669 1454 (2)5 (3)(11)3 (19)(1181) 9 48914763189846648191 458 1169 (2)3 (5)(11)3(131)(1321) 9 2 71073211716178669795 450 1279 (2 )(2)2 (3)(7)(11)3(3119) 2 4 71490861398199543571 606 1337 (2) (22 )(32 )(5)(11)3 (17)(37) 2 72513155510468696639 481 1905 (2)6 (3)(11)3(79)(461) 2 2 74405260502618147759 713 1526 (2 )(2)2 (53 )(7)(11)3(677) 9 2 80745015529084838443 474 1229 (2 )(2)2 (5)(11)3(9769) 2 2 92749971271765303855 469 1507 (2) (11)2 (112 )(13)(6079) 2 99269440143264816311 17 60 (23 )(2)4 (3)(5)(7)(11)3(947) 5 4 450449172744992498303 24 73 (2 )(22 )(2)2(5)(11)3 (13)(607) 6 4 4046043347830059995927 6 59 (2 )(2)3 (3)(11)3(85751) 3 5 12673958283032810545943 8 53 (2) (23 )(3)(11)3(47)(2293) 5 37299763559484163584607 29 106 (2)4 (22 )(11)3 (961241) 5 2 3 62101651572868998047063 29 81 (2) (2 )(32 )(11)3 (37)(47)(283) 5 TABLEAU 3. Données pour les 53 corps quadratiques imaginaires ayant 11-rang égal à 3. d
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Lepr´evost: Courbes modulaires et 11-rang de corps quadratiques
groupe de classes 317019341 2 2 7 (2)(11)2 78990264001 2 7 6 (2)2 (11)2 3628885436065 9 2 7 (2)3 (11)2 11153056789873 2 17 8 (2)(3)(11)2 27362217255701 2 18 19 (11)2 39112346819681 9 9 2 (2)(22 )(11)2 720826508942753 9 15 4 (2)2 (22 )(11)2 TABLEAU 4. Données pour les sept corps quadratiques réels ayant 11-rang égal à 2. d
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Le second est conçu sur le modèle maître-esclave. Le programme-maître lit dans les chiers les discriminants et les distribue sur diérentes machines. Le programme-esclave, exécuté sur ces machines, calcule, à la réception d'un discriminant d, le nombre de classes et le 11-rang du corps quadratique de discriminant d. Il retourne alors au programme-maître les quantités d et le rang. Celuici range d dans diérents chiers selon la valeur du rang. Voici comme fonctionne le programme-esclave. Nous utilisons la procédure classno (basée sur l'algorithme de [Shanks 1971] et implémentée dans le système PARI) pour déterminer l'ordre du groupe des classes. Nous construisons ensuite un nombre, inférieur ou égal à 3, de formes quadratiques indépendantes et d'ordre 11. En n la structure du groupe des classes des corps quadratiques imaginaires de discriminants d et de 11-rang égal à 3 a été obtenue, sous PARI-GP, avec la procédure buchimag (fondée, ainsi que la procédure buchreal, sur l'algorithme sous-exponentiel de Buchmann) ; nous avons examiné, pour chaque tel d, la concordance du nombre de classes obtenu via la procédure classno avec celui obtenu via la procédure buchimag. Dans le cas des corps réels, nous n'avons pas eu recours au calcul distribué. Pour chacun des 811 discriminants retenus, nous avons déterminé la structure du groupe des classes correspondant (au sens restreint) grâce à la procédure buchreal. Nous avons utilisé une implémentation distribuée sur vingt stations de travail Sparc de l'Ecole Normale Supérieure, en adaptant le programme
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conçu (et utilisé dans [Fermigier 1992]) par Stéfane Fermigier. Les calculs ont nécessité moins d'une semaine. REMERCIEMENTS
Je tiens à remercier Stéfane Fermigier pour m'avoir permis d'utiliser son programme de calculs distribués (voir le paragraphe 3), et Jean-François Mestre, mon directeur de thèse, pour l'aide considérable et les encouragements qu'il m'a prodigués dans ce travail. Les diagrammes de cet article ont été realisés à l'aide du programme diagrams.tex, conçu par Paul Taylor. BIBLIOGRAPHIE
[Batut et al. 1992] C. Batut, D. Bernardi, H. Cohen and M. Olivier, User's Guide to PARI-GP, 1992. Ce manuel fait partie de la distribution du programme, disponible sur le serveur snekkar.ens.fr. [Buell 1987] D. A. Buell, Class groups of quadratic elds II, Math. Comp. 48 (1987), 8593. [Chevalley et Weil 1932] C. Chevalley et A. Weil, Un théorème d'arithmétique sur les courbes algébriques, Comptes R. Acad. Sci. Paris 195 (1932), 570572. [Diaz y Diaz 1973] F. Diaz y Diaz, On some families of imaginary quadratic elds, Math. Comp. 32 (1973), 636650. [Fermigier 1992] S. Fermigier, Un exemple de courbe elliptique dé nie sur Q de rang 19, Comptes R. Acad. Sci. Paris 315 (1992), 719-722. [Fricke 1928] R. Fricke, Lehrbuch der Algebra, 3.ter Band, Vieweg, Braunschweig, 1928. [Gonzàlez Rovira 1991] J. Gonzàlez Rovira, Equations of hyperelliptic modular curves, Ann. Inst. Fourier , 41(4) (1991), 779795. [Ling et Oesterlé 1991] S. Ling et J. Oesterlé, The Shimura subgroup of 0 ( ), pp. 171203 in Courbes modulaires et courbes de Shimura, Astérisque 196 197 (1991). [Llorente et Quer] P. Llorente et J. Quer, Tables (non publié). J
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Experimental Mathematics, Vol. 2 (1993), No. 2
[Mestre 1982] J.-F. Mestre, Groupes de classes d'idéaux non cycliques de corps de nombres, Séminaire de Théorie des Nombres de Paris (1982), 189 200. [Mestre 1983] J.-F. Mestre, Courbes elliptiques et groupes de classes de certains corps quadratiques, J. reine angew. Math. 343 (1983), 2335. [Mestre 1992] J.-F. Mestre, Corps quadratiques dont le 5-rang du groupe des classes est 3, Comptes R. Acad. Sci. Paris 315 (1992), 371374. [Quer 1987] J. Quer, Corps quadratiques de 3-rang 6 et courbes elliptiques de rang 12, Comptes R. Acad. Sci. Paris 305 (1987), 215-218.
[Schoof 1983] R. Schoof, Class groups of complex quadratic elds, Math. Comp. 43 (1983), 295302. [Shanks 1971] D. Shanks, Class number, a theory of factorisation and genera, pp. 415440 in 1969 Number Theory Institute, Proc. Sympos. Pure Math. 20, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1971. [Shanks 1972] D. Shanks, A quadratic eld of prime discriminant requiring three generators for its class group, and related theory, Acta Arithm. 21 (1972), 7187. [Solderitsch 1977] J. J. Solderitsch, Quadratic elds with special class groups, Thesis, Lehigh University, 1977.
Franck Leprévost, Université Paris 7, Département de Mathématiques, Tour 45-55, 5e étage, 2 place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France (
[email protected]) Received April 7, 1993 ; accepted in revised form August 31
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