Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
Combinatoire alg´ebrique li´ee aux ordres sur les permutations Viviane Pons Th` ese de doctorat effectu´ ee ` a l’universit´ e Paris-Est Marne-la-Vall´ ee, sous la direction de Jean-Christophe Novelli et Jean-Yves Thibon
7 octobre 2013
Viviane Pons
Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinitions R´ esultats principaux
D´efinition Une permutation est un mot de taille n sur l’alphabet {1, . . . , n} o` u chaque lettre apparaˆıt exactement une fois. Exemple : 143592867
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinitions R´ esultats principaux
D´efinition Une permutation est un mot de taille n sur l’alphabet {1, . . . , n} o` u chaque lettre apparaˆıt exactement une fois. Exemple : 143592867 1
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Viviane Pons
Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinitions R´ esultats principaux
D´efinition Une permutation est un mot de taille n sur l’alphabet {1, . . . , n} o` u chaque lettre apparaˆıt exactement une fois. Exemple : 143592867 1
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Structure de groupe 1
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σ = 143592867 1
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Structure de groupe 1
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σ = 143592867 1
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µ.σ = 394862517
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Structure de groupe 1
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σ = 143592867 1
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µ = 324981756 1
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µ.σ = 394862517
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Transpositions 1
2
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(2, 5)
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Transpositions 1
2
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(2, 5)
Transpositions simples 1
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(2, 3) = s2
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre faible droit σ
σsi `(σsi ) = `(σ) + 1
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre faible droit σ
σsi
251436
521436
254136
251463
`(σsi ) = `(σ) + 1
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre faible droit σ
σsi
251436
521436
254136
251463
`(σsi ) = `(σ) + 1
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre faible droit σ
σsi
251436
521436
254136
251463
`(σsi ) = `(σ) + 1
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre faible droit σ
σsi
251436
521436
254136
251463
`(σsi ) = `(σ) + 1
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre faible droit 1234 2134 1324 1243 123 2314 3124 2143 1342 1423 213
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3214 2341 3142 2413 4123 1432 3241 2431 3412 4213 4132 3421 4231 4312 4321
321 Viviane Pons
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre faible droit 1234 2134 1324 1243 123 2314 3124 2143 1342 1423 213
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3214 2341 3142 2413 4123 1432 3241 2431 3412 4213 4132 3421 4231 4312 4321
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre faible droit 1234 2134 1324 1243 123 2314 3124 2143 1342 1423 213
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3214 2341 3142 2413 4123 1432 3241 2431 3412 4213 4132 3421 4231 4312 4321
321 Viviane Pons
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre faible droit 1234 2134 1324 1243 123 2314 3124 2143 1342 1423 213
132
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3214 2341 3142 2413 4123 1432 3241 2431 3412 4213 4132 3421 4231 4312 4321
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre faible gauche σ
si σ `(si σ) = `(σ) + 1
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre faible gauche σ
251436
si σ
351426
261435
`(si σ) = `(σ) + 1
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre faible gauche σ
251436
si σ
351426
261435
`(si σ) = `(σ) + 1
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre faible gauche σ
251436
si σ
351426
261435
`(si σ) = `(σ) + 1
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre faible gauche 1234 2134 1324 1243 123 3124 2314 2143 1423 1342 132
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3214 4123 2413 3142 2341 1432 4213 4132 3412 3241 2431
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231 4312 4231 3421 321
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Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
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Ordre de Bruhat
D´ efinitions R´ esultats principaux
σ
στ `(στ ) = `(σ) + 1
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre de Bruhat 251436
521436
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre de Bruhat 251436
521436
451236
351426
261435
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251436
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre de Bruhat 251436
521436
451236
351426
261435
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251436
253416
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre de Bruhat 251436
521436
451236
351426
261435
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251436
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre de Bruhat 251436
521436
451236
351426
261435
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251436
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre de Bruhat 251436
521436
451236
351426
261435
Viviane Pons
251436
253416
251463
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre de Bruhat 251436
521436
451236
351426
261435
Viviane Pons
251436
253416
251463
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre de Bruhat 251436
521436
451236
351426
261435
Viviane Pons
251436
253416
251463
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre de Bruhat 1234 2134 1324 1243 123 2314 3124 2143 1342 1423 213
132
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3214 2341 3142 2413 4123 1432 3241 2431 3412 4213 4132 3421 4231 4312 4321
321 Viviane Pons
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre de Bruhat 1234 2134 1324 1243 123 2314 3124 2143 1342 1423 213
132
231
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3214 2341 3142 2413 4123 1432 3241 2431 3412 4213 4132 3421 4231 4312 4321
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre de Bruhat et polynˆomes multivari´es
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre de Bruhat et polynˆomes multivari´es I
Produit des polynˆ omes de Grothendieck
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre de Bruhat et polynˆomes multivari´es I
Produit des polynˆ omes de Grothendieck
Th´eor`eme (P.) Le produit Gσ Gsk se d´eveloppe dans la base des G comme une somme altern´ee sur un intervalle de l’ordre de Bruhat.
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Ordre de Bruhat et polynˆomes multivari´es I
Produit des polynˆ omes de Grothendieck
Th´eor`eme (P.) Le produit Gσ Gsk se d´eveloppe dans la base des G comme une somme altern´ee sur un intervalle de l’ordre de Bruhat. I
Implantation en Sage des bases des polynˆ omes (Schubert, Grothendieck, etc.)
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Treillis de Tamari
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Treillis de Tamari I
1962, Tamari : ordre sur les parenth´esages formels
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Treillis de Tamari I
1962, Tamari : ordre sur les parenth´esages formels
I
1972, Huang, Tamari : structure de treillis
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Treillis de Tamari I
1962, Tamari : ordre sur les parenth´esages formels
I
1972, Huang, Tamari : structure de treillis
I
2007, Chapoton : nombre d’intervalles 4n + 1 2 n(n + 1) n − 1
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Treillis de m-Tamari
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Treillis de m-Tamari I
Bergeron, Pr´eville-Ratelle : posets de m-Tamari
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D´ efinitions R´ esultats principaux
Treillis de m-Tamari I
Bergeron, Pr´eville-Ratelle : posets de m-Tamari
I
Bousquet-M´elou, Fusy, Pr´eville-Ratelle : nombre d’intervalles m+1 (m + 1)2 n + m n(mn + 1) n−1
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Arbres binaires D´efinition r´ecursive : I
l’arbre vide ou
I
une racine poss´edant 2 sous-arbres (gauche et droit)
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Arbres binaires D´efinition r´ecursive : I
l’arbre vide ou
I
une racine poss´edant 2 sous-arbres (gauche et droit)
Exemples
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Rotation droite y
x A
C B
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x y
A B
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Rotation droite y
x A
C B
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x y
A B
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C
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Rotation droite y
x A
C B
→
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
x y
A B
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C
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Rotation droite y
x A
C B
→
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
x y
A B
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Rotation droite y
x A
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
x y
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Rotation droite y
x A
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x A
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Rotation droite y
x A
C B
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x y
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Rotation droite y
x A
C B
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x y
A B
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Lien avec l’ordre faible ´ Etiquetage canonique 5 x x
3 2
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7 2
4
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8 6
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Insertion dans un arbre binaire de recherche 4
15324
→
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
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15324
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Viviane Pons
2
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Insertion dans un arbre binaire de recherche 4
15324
→
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Viviane Pons
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Insertion dans un arbre binaire de recherche 4
15324
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5 3
Viviane Pons
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Insertion dans un arbre binaire de recherche 4
15324
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Viviane Pons
5 3
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Insertion dans un arbre binaire de recherche 4
15324
→
2 1
5 3
Caract´erisation : les permutations qui correspondent `a un arbre donn´e sont ses extensions lin´eaires 15324, 31254, 35124, 51324, . . .
Viviane Pons
Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
1234
2134
1324
1243
2314
3124
2143
1342
3214
2341
2413
3142
1432
3241
2431
4213
3412
4132
3421
4231
1423
4123
4312
4321
Viviane Pons
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Polynˆomes de Tamari On d´efinit r´ecursivement BT par B∅ := 1 BT (x) := xBL (x)
xBR (x) − BR (1) x −1 •
avec
=
T
L
R
Th´eor`eme (Chˆatel, P.) BT compte le nombre d’arbres inf´erieurs ou ´egaux `a T dans le treillis de Tamari en fonction du nombre de nœuds sur leur branche gauche. Viviane Pons
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Polynˆomes de Tamari On d´efinit r´ecursivement BT par B∅ := 1 BT (x) := xBL (x)
xBR (x) − BR (1) x −1 •
avec
=
T
L
R
Th´eor`eme (Chˆatel, P.) BT compte le nombre d’arbres inf´erieurs ou ´egaux `a T dans le treillis de Tamari en fonction du nombre de nœuds sur leur branche gauche. Viviane Pons
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Polynˆomes de Tamari On d´efinit r´ecursivement BT par B∅ := 1 BT (x) := xBL (x)
xBR (x) − BR (1) x −1 •
avec
=
T
L
R
Th´eor`eme (Chˆatel, P.) BT compte le nombre d’arbres inf´erieurs ou ´egaux `a T dans le treillis de Tamari en fonction du nombre de nœuds sur leur branche gauche. Viviane Pons
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
B∅ := 1 BT (x) := xBL (x)
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xBR (x) − BR (1) x −1
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
B∅ := 1 BT (x) := xBL (x)
xBR (x) − BR (1) x −1
BL (x)= x 3 + x 2
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
B∅ := 1 BT (x) := xBL (x)
xBR (x) − BR (1) x −1
BL (x)= x 3 + x 2 BR (x)= x 2
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
B∅ := 1 BT (x) := x(x 3 + x 2 )
xBR (x) − BR (1) x −1
BR (x)= x 2
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
B∅ := 1 BT (x) := x(x 3 + x 2 )(1 + x + x 2 )
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
BT (x) = x 3 + 2x 4 + 2x 5 + x 6
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
BT (x) = x 3 + 2x 4 + 2x 5 + x 6
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
BT (x) = x 3 + 2x 4 + 2x 5 + x 6
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
BT (x) = x 3 + 2x 4 + 2x 5 + x 6
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
BT (x) = x 3 + 2x 4 + 2x 5 + x 6
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
BT (x) = x 3 + 2x 4 + 2x 5 + x 6 BT (1) = 6 Viviane Pons
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
4 2 1
5 3
9 7 6
8
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Forˆet finale F≥ (T ) 4 2 1
5 3
9 7 6
8
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Forˆet finale F≥ (T ) 1 4 2 1
5 3
2
4
3
5 6
7
9
8
9 7 6
8
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Forˆet finale F≥ (T ) 1 4 2 1
5 3
4
3
5 6
7
9
8
9
Forˆet initiale F≤ (T )
7 6
2
8
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Forˆet finale F≥ (T ) 1 4 2 1
5 3
2
4
3
5 6
9
8
9
Forˆet initiale F≤ (T )
7 6
7
4 8
2 1
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5 3
9 7
8
6
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
1234
2134
1324
1243
2314
3124
2143
1342
3214
2341
2413
3142
1423 4 1432
4123
2 1
3241
2431
3421
4231
4213
3412
3
4132
4312
4321
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
1234
2134
1324
2314
3124
2143
1342
3214
2341
2413
3142
1243
1423
1432
F≤ (T ) 4
4123
2 3241
2431
3421
4231
4213
3412
4132
3
1
4312
4321
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
1234
2134
1324
2314
3124
1243
2143
1342
1423
F≥ (T ) 3214
2341
2413
3142
1432
3241
2431
4213
3412
4132
3421
4231
4123
1
2
4
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4312
4321
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
1234
2134
1324
1243
2314
3124
2143
1342
3214
2341
2413
3142
1423 2 1432
4123
1
3 4
3241
2431
3421
4231
4213
3412
4132
4312
4321
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
1234
2134
1324
2314
3124
1243
2143
1423
1342
F≤ (T 0 ) 3214
2341
2413
3142
1432
3241
2431
4213
3412
4132
3421
4231
4123
2
3
4
1
4312
4321
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
1234
F≥ (T ) 2134
1324
1243
1
2
4
3 2314
3124
2143
1342
3214
2341
2413
3142
1423
1432
4123
F≤ (T 0 ) 2
3
4
1 3241
2431
3421
4231
4213
3412
4132
Intervalle-poset [T , T 0 ] 2
4312
1
4 3
4321
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Th´eor`eme (Chˆatel, P.) Les intervalles de Tamari sont en bijection avec les posets ´etiquet´es sur 1, . . . , n de taille n v´erifiant :
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Th´eor`eme (Chˆatel, P.) Les intervalles de Tamari sont en bijection avec les posets ´etiquet´es sur 1, . . . , n de taille n v´erifiant : I
Si a < c et a C c alors b C c pour tout a < b < c.
4
4 ⇒
1
1
2
3
Viviane Pons
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Th´eor`eme (Chˆatel, P.) Les intervalles de Tamari sont en bijection avec les posets ´etiquet´es sur 1, . . . , n de taille n v´erifiant : I
Si a < c et a C c alors b C c pour tout a < b < c.
I
Si a < c et c C a alors b C a pour tout a < b < c.
4
4 ⇒
1 1
1
2 1
3
4
3
2
⇒ 4
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5 2
10
1
4
8
3
7
9
6 1 5 2
7 4 3
6
10 8 9
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
5 2
1
10
1
4
8
3
7
2 3
5 4
6 7 8 10
9
9 6 1 5
1 2
5
7
10
7 4 3
6
2
10 8
4 6 8
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3 9
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
5 2
10
1
4
8
3
7
1
9
2
5
6 1
3
5 2
7 4 3
4
6
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6
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
5 2
10
5 1
4
8
3
7
9
1
6 1
2
7
10
4
6
8
5 2
7 4 3
6
10
3
8
9
9
Viviane Pons
Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
5 2
10
5 1
4
8
3
7
9
1
6 1
2
7
10
4
6
8
5 2
7 4 3
6
10
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8
9
9
Viviane Pons
Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
5 1
10
5 2
8 4
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3
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6
1
2
7
10
4
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9
Viviane Pons
Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
5 1
10
5 2
8 4
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1
6
1
2
7
10
4
6
8
5 2
7 4 3
6
10
3
8
9
9
Viviane Pons
Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
5 1
10
5 2
8 4
7
3
9
1
6 5
2
7
10
4
6
8
1 2
7 4 3
6
10
3
8
9
9
Viviane Pons
Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
2
1
3
,
B( 1
3
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
2
)= 4
Viviane Pons
Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
2
1
3
,
B( 1
3
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
2
)= 4
2 1
Viviane Pons
3
Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
4 2
1
3
,
B( 1
3
2
)= 4
2 1
Viviane Pons
3
Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
4 2
1
3
,
B( 1
3
2
)= 4
2 1
Viviane Pons
5 3
7 6
8
Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
4 2
1 ,
B( 1
3
4
3 2
)= 4
2 1
Viviane Pons
5 3
+
7 6
8
2 1
5 3
7 6
8
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
4 2
1 ,
B( 1
3
4
3 2
)= 4
2 1
5 3
+
7 6
8
2 1
5 3
7 6
8
4 +
2 1
5 3
Viviane Pons
7 6
8
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
4 2
1 ,
B( 1
3
4
3 2
)= 4
2 1
5 3
+
7 6
8
2 1
5 3
4 +
2 1
Viviane Pons
6
8
4 5
3
7
+
7 6
8
2 1
5 3
7 6
8
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
2 1
1
3
3 2
=
h
i
,
4
=
,
Viviane Pons
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
2 1
1
3
h
i
,
x2
3 2
=
4
=
,
x3
Viviane Pons
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
4
2 1
1
3
i
,
4
=
2 1
x2
3 2
=
h
5 3
7 6
8
,
x3
Viviane Pons
,
Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
4
2 1
1
3
i
,
4
=
2 1
x2
3 2
=
h
5 3
7 6
8
,
x3
,
x 2 .x.x 3
Viviane Pons
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
2 1
1
4 3
i
,
2
x2
3 2
=
h
4
=
1
,
5 3
7 6
8
,
x3 x 2 .x.x 3 + x 2 .x.x 2
Viviane Pons
Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
2 1
3
=
h
4
i
,
2
1
x
3 2
4
5
7
2
=
1
,
3
6
8
,
x3 x 2 .x.x 3 + x 2 .x.x 2 + x 2 .x.x
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
2 1
3
=
h
4
i
,
2
1
x
3 2
4
5
7
2
=
1
,
3
6
8
,
x3 x 2 .x.x 3 + x 2 .x.x 2 + x 2 .x.x + x 2 .x
Viviane Pons
Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
2 1
3
=
h
4
i
,
2
1
x
3 2
4
5
7
2
=
1
,
3
6
8
,
x3 x 2 .x.(x 3 + x 2 + x + 1)
Viviane Pons
Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
Th´eor`eme (Chapoton) La s´erie g´en´eratrice des intervalles de Tamari v´erifie l’´equation fonctionnelle
Φ(x, y ) = B(Φ, Φ) + 1 o` u
B(f , g ) = xyf (x, y )
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xg (x, y ) − g (1, y ) x −1
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
→
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
3
→
1
2
x3
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
3 3
→
1
1 2
+
2
x3 + x2
Viviane Pons
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
3 3
→
1
1 2
+
2
x3 + x2 2
→
1
x2
Viviane Pons
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
3 3
→
1
1 2
+
2
x3 + x2 2
→
1
x2
Viviane Pons
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
3 3
→
1
1 2
+
2
x3 + x2 2
→
1
x2 4
6
3 1
5 2
x 3 .x.x 2 Viviane Pons
Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
3 3
→
1
1 2
+
2
x3 + x2 2
→
1
x2 4
6
3 1
3
4
5
3
+
2
x .x.x
6
2
1
5 2
+ x 3 .x.x Viviane Pons
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
3 3
→
1
1 2
+
2
x3 + x2 2
→
1
x2 4
6
3 1
3
4
5
3
+
2
x .x.x
6
2
1
4
5 2
3
+
1
6 2 5
3
+ x .x.x + x 3 .x Viviane Pons
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
3 3
→
1
1 2
+
2
x3 + x2 2
→
1
x2 4
6
3 1
3
4
5
3
+
2
x .x.x
6
2
1
4
5 2
3
+
1
6 2 5
3
+ x .x.x + x 3 .x Viviane Pons
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
3 3
→
1
1 2
+
2
x3 + x2 2
→
1
x2 4
6
3 1
4
5 2
x 3 .x.x 2
6
3
+
1
4
5 2
3
+
1
6 2 5
+ x 3 .x.x + x 3 .x Viviane Pons
4
6
3
5
1
+
2
+ x 2 .x.x 2 Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
3 3
→
1
1 2
+
2
x3 + x2 2
→
1
x2 4
6
3 1
4
5 2
x 3 .x.x 2
6
3
+
1
4
5 2
3
+
1
6 2 5
+ x 3 .x.x + x 3 .x Viviane Pons
4
6
4
6
3
5
3
5
1
+
2
1
+
2
+ x 2 .x.x 2 + x 2 .x.x Combinatoire alg´ ebrique li´ ee aux ordres sur les permutations
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
3 3
→
1
1 2
+
2
x3 + x2 2
→
1
x2 4
6
3 1
3
4
5
3
+
2
x .x.x
6
2
1
5 2
3
4 3
+
1
6 2 5
3
+ x .x.x + x .x Viviane Pons
4
6
4
6
4
3
5
3
5
3
6
1
5
1
+ 2
1
+
2
2
2
2
+ x .x.x + x .x.x
+
2
+ x 2 .x
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
3 3
→
1
1 2
+
2
3
x + x2 2
→
1
x2 (x 3 + x 2 ).x.(x 2 + x + 1)
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D´ efinition et lien avec l’ordre faible R´ esultat principal Intervalles-posets
3 3
→
1
1
+
2
2
x3 + x2 2
→
1
x2 x B L (x)
B R (x) − B R (1) x −1
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
Posets de m-Tamari (2011-2012) Bergeron, Pr´eville-Ratelle, Higher trivariate diagonal harmonics via generalized Tamari posets.
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
Posets de m-Tamari (2011-2012) Bergeron, Pr´eville-Ratelle, Higher trivariate diagonal harmonics via generalized Tamari posets.
Structure de treillis, intervalles (2011) Bousquet-M´elou, Fusy, Pr´eville-Ratelle, The number of intervals in the m-Tamari lattices.
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
Bijection arbres - chemins
←→
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
Rotation sur les chemins de Dyck −→
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
Chemins m-Ballots Exemple m = 2.
−→
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
Les posets de m-Tamari sont des treillis Bousquet-M´elou, Fusy, Pr´eville-Ratelle : plongement des posets m-Tamari dans le treillis de Tamari n × m.
Chemin m-Ballot
chemin de Dyck
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
Arbres m-binaires
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
Structure ternaire
TL
TR1
TR2
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
Cas du treillis de Tamari (Chapoton) Φ = 1 + B(Φ, Φ) B(f , g ) = xf (x)∆(g ) xg (x) − g (1) ∆(g ) = x −1
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
Cas des treillis m-Tamari (Bousquet-M´elou, Fusy, Pr´eville-Ratelle) Φ(2) = 1 + B(2) (Φ(2) , Φ(2) , Φ(2) ) B(2) (f , g1 , g2 ) = xf (x)∆(g1 ∆(g2 )) xg (x) − g (1) ∆(g ) = x −1
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
5 1
6 3 2
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4
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
5 1
6 3 2
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4
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
5 1
6 3 2
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4
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
5 1
6 3 2
Viviane Pons
4
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
5 1
6 3 2
1 2
4
5 3
6
4
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
5 1
6
1
3 2
2
5 3
4
6
4
1 3 2
5 4
1 6
3
5
2
4
6
Viviane Pons
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
5 1
6
1
3 2
2
5 3
4
6
1 2
3 2
5 4
1
5
3
6
4
1 6
3
5
2
4
4
6
Viviane Pons
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
5 1
6
1
3 2
2
5 3
4
6
1 2
3 2
5 4
1
5
3
6
4
1 6
3
5
2
4
4
6
Viviane Pons
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
5 1
6
1
3 2
2
5 3
4
6
1 2
3 2
5 4
1
5
3
6
4
1 6
3
5
2
4
4
6
Viviane Pons
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
5 1
6
1
3 2
2
5 3
4
6
1 2
3 2
5 4
1
5
3
6
4
1 6
3
5
2
4
4
6
Viviane Pons
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
3
3
1
7 9
2 4 1
B(2)
2
1 3
,
2 4
1
,
2
!
7 9
+
7 9
1
2 4 5 8 10 6
Viviane Pons
6
7 9
2 4 5 8 10
+
5 8 10
+
6
3
1
2 4
7 9
2 4 5 8 10
+
3 7 9
1
2 4
6
3 1
7 9
5 8 10
+
6
3
1
2 4 5 8 10
=
3
1
6
5 8 10
+
6
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
Th´eor`eme (Chˆatel, P.) Soit T un ´el´ement de m-Tamari compos´e des ´el´ements L, R1 , . . . , Rm . (m) On d´efinit r´ecursivement B T par (m)
B∅
:= 1
(m)
B T (x) := B(m) (L, R1 , . . . , Rm ) (m)
Alors B T compte le nombre d’´el´ements inf´erieurs ou ´egaux `a T dans le treillis de m-Tamari.
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
(2)
B T = B(2) (x, x, x) = x 2 ∆(x∆(x)) = x 2 ∆(x(1 + x)) = x 2 (2 + 2x + x 2 ) = 2x 2 + 2x 3 + x 4
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
(2)
B T = B(2) (x, x, x) = x 2 ∆(x∆(x)) = x 2 ∆(x(1 + x)) = x 2 (2 + 2x + x 2 ) = 2x 2 + 2x 3 + x 4
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Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
(2)
B T = B(2) (x, x, x) = x 2 ∆(x∆(x)) = x 2 ∆(x(1 + x)) = x 2 (2 + 2x + x 2 ) = 2x 2 + 2x 3 + x 4
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
Chemins ballots Arbres m-binaires Comptage des intervalles
(2)
B T = B(2) (x, x, x) = x 2 ∆(x∆(x)) = x 2 ∆(x(1 + x)) = x 2 (2 + 2x + x 2 ) = 2x 2 + 2x 3 + x 4
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Intervalles-posets
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
Intervalles-posets I
bijection avec les triangulations planes, statistiques sym´etriques, etc.
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Ordres sur les permutations Treillis de Tamari Treillis de m-Tamari Perspectives
Intervalles-posets I
bijection avec les triangulations planes, statistiques sym´etriques, etc.
I
polynˆomes de Tamari multivari´es et flots
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Intervalles-posets I
bijection avec les triangulations planes, statistiques sym´etriques, etc.
I
polynˆomes de Tamari multivari´es et flots
I
treillis cambriens et g´en´eralisations
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Intervalles-posets I
bijection avec les triangulations planes, statistiques sym´etriques, etc.
I
polynˆomes de Tamari multivari´es et flots
I
treillis cambriens et g´en´eralisations
Structures ”m”
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Intervalles-posets I
bijection avec les triangulations planes, statistiques sym´etriques, etc.
I
polynˆomes de Tamari multivari´es et flots
I
treillis cambriens et g´en´eralisations
Structures ”m” I
structures alg´ebriques
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Intervalles-posets I
bijection avec les triangulations planes, statistiques sym´etriques, etc.
I
polynˆomes de Tamari multivari´es et flots
I
treillis cambriens et g´en´eralisations
Structures ”m” I
structures alg´ebriques
I
treillis des chaˆınes de permutations
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