Calibration bayésienne de paramètres de calage (parfois artificiels) dans des codes de calcul complexes 


… illustrée par un cas d’étude en hydraulique

Shuai Fu, Gilles Celeux – Université Paris-Sud Mathieu Couplet, Nicolas Bousquet - EDF R&D ! Rochebrune - 03 April 2014

Contexte : phénomène réel modélisé/ implémenté sous forme de code de calcul

Paramètres de calage

Modélisation du phénomène

Covariables environnementales connues

Code boîte noire, souvent long en temps CPU

Exemple en hydraulique

Observations physiques (avec erreur) : hauteurs d’eau Y

!

Paramètres physiques (observables) : débit d, géométrie

!

Paramètres de calage (codes 1D/2D) : Strickler X (résumant le frottement) => physiques mais « non-observables ou accessibles à l’expérience »

X intrinsèquement aléatoire

!

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Exemple en écologie : modèles DEB (Dynamic Energy Budget) •

Modèles multiparamétrés de métabolisme des individus •

règles quantitatives de transfert d’énergie (EDP)

•

simulent l’évolution du couple poids/taille en fonct. du temps

•

Issus de la théorie DEB proposée par Kooijman (2008,2010)

•

Utilité : tester des hypothèses de croissance => mieux comprendre la structuration d’une population => favoriser une exploitation pérenne

Dortel et al. (2013, Plos ONE) : Indian Ocean yellowfin

!5

•

Temps de calcul long

•

Paramètres de calage peu (voire pas du tout) accessibles à une expérience : •

quantité d’énergie pour produire un oeuf

•

capacité d’un individu à emmagasiner de la chaleur

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Inversion framework

Prior information

Conjugate priors (given missing data)

Prior elicitation

for the Garonne Strickler by Delta method based on prior information on Manning coefficient

Assume

Practical approach (but not satisfactory)

! ! ! !

up to a given multiplicative constant depending on the prior guesses over the differences of scale between the input and output

Bayesian inference appears as a practical way to regularize ill-conditioned problems

! ! !

Inference via Gibbs algorithm

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Kriging meta-modelling features

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Incomplete posterior approximation

Need for : - testing if the posterior approximation is fine - adding points to the experimental design if needed

(TELEMAC example)

Specific criteria have been developed by S. Fu (2012)

A focus on « testing the design »

Non-informative (baseline) prior Made proper on the compact set defined by : - the knowledge of the kriging domain - the « identifiability constraints »

Compact set for the covariance C:

Explicit approximation

! ! !

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!27

A focus on « improving the design »

A practical approximation

Usual criteria for improving the design

(non goal-

oriented)

!29

Experiments (1/2)

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Agreement between posterior predictive distribution and observed data

Take-home messages Bayesian computer model inversion requires approximation methods

!

Kriging provides a useful stochastic interpolation method : - accounting for correlations between outputs - provides predictive measures of uncertainty

!

Designing sequentially the experiments can accelerate the posterior estimation

!

A methodology of prior elicitation should take account not only of the available knowledge but of the constraints raised by identifiability and well-poseness in the sense of Hadamard (or Sobol, etc.)

Multi-fidelity : inverse calibration / validation ? « Identifiability » conditions : should be improved ? Accounting for errors in experimental conditions

Usual criteria for testing the design

(non goal-oriented)

Coefficient of predictability (Vanderpoorten and Palm 2001)

Mahalanobis distance (Bastos and O’Hagan 2009)

both estimated by cross validation !33