Calculs puissances de dix

Interpréter l'affichage d'une calculette : selon les modèles de calculettes, un nombre en puissance de 10 peut être affiché plus ou moins clairement et même.
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Entraînement sur les calculs avec les puissances de dix « Back to basics » : rappels sur les puissances de dix



a n =a×a×a×.....×a 

Tout d'abord, la définition de l'opération « puissance » :

a 2 =a×a

avec n entier donc

n fois

et

10 5=10×10×10×10×10

1 1 1 −5 avec n entier, donc 10 = 5 = 100 000 =0,000 001 an 10 a b a b 3 5 35 8 3 −5 3 −5 =10 −2 • Règle N°1 de calcul relative aux puissances : x × x = x (a et b entiers) donc 10 ×10 =10 =10 et 10 ×10 =10 a b a× b 3 5 3 ×5 15 3 −5 3× − 5 −15 =10 • Règle N°2 de calcul relative aux puissances :  x  =x donc 10  =10 =10 et 10  =10 • Une puissance positive de 10 est un nombre plus grand que 1 (ex: 102 = 100 ; 103 = 1000...) et une puissance négative de 10 est un nombre plus petit que 1 (ex : 10-1 = 0,1 ; 10-2 = 0,01 ; 10-3 = 0,001) Utilisation des calculettes • entrer un nombre en puissance de 10 sur une calculette se fait impérativement de la manière suivante pour éviter les erreurs liées aux parenthèses : x 10 x . • avec les modèles Casio, il faut utiliser la touche -4  5 4 Exemple, pour saisir 5.10 , taper successivement sur les touches x 10 x



Avec des puissances négatives :

• •



−n

a =

avec les modèles Texas Instrument ( TI), il faut utiliser la touche Exemple, pour saisir 5.10-4, taper successivement sur les touches

EE 5

. 2nde



EE

4

Interpréter l'affichage d'une calculette : selon les modèles de calculettes, un nombre en puissance de 10 peut être affiché plus ou moins clairement et même de façon carrément trompeuse. Ainsi, 5 x 10-4 , s'affiche 5 x 10-4 une casio fx92, ce qui est très correct, mais s'affiche 5E-4 sur une Casio graph 35+ , et pire que tout, s'affiche 5- 4 sur une Casio graph 25+. Dans ce dernier cas, attention, car l'affichage conduit très facilement à des erreurs. 1 1 1 1 1 5 −4 −4 = =0,0016 alors que 5×10 =5× 4 =5× = =0,000 5 , ce qui n'est pas du tout la En effet 5 = 4 = 10×10×10×10 10 000 5 5×5×5×5 625 10 même chose. Sur les TI, 5 x 10-4 s'affiche 5E-4, comme sur la Casio graph 35+. régler l'affichage des calculettes : les calculettes peuvent afficher en notation décimale (ex: 101,25) ou en notation scientifique (ex : 1,0125 . 10-2). Dans les deux notations, le nombre de chiffres à afficher peut être réglé. MENU ce qui donne accès à la fonction SETUP : faire défiler jusqu'à la ligne Display, et choisir en bas de • sur les Casio, faire shift l'écran, Fix suivi du nombre de chiffres après la virgule à afficher, ou Sci suivi du nombre de chiffres significatifs à afficher. Par exemple sur une graph 35+, 5.10-4 en Sci3 sera affiché 5,00E-4 alors qu'en Fix3, on aura 0,001 (!!) car c'est en fait 0,0005 arrondi à trois chiffres après la virgule. • sur une TI, faire ... • Pour éviter les arrondis abusifs de la calculette, le mieux est de régler l'affichage en mode Sci3 ou 4, et de savoir changer de mode rapidement pour le cas où.

Exercice : calculer les quantités suivantes, en veillant à utiliser la meilleure séquence de touches possible : 1) 3,0 . 108 x 2,4 . 10-6 = 3) 2,4 . 105 . 5,2 . 10-6 . 9,8 . 10-2 = 380 . 106 = 2) 3,00.108 4)

2, 40. 105 × 5,20 . 10−6 = 9,80 . 10−2

5)

2,92. 10 4 × 3, 20 . 10−5 = 8,90 . 10−2 × 7, 45 . 10 −4

6)

3,85. 103 × 4,99 . 106 = 1, 41 . 10−8

8)

9,1. 105 × 8,7 . 10−2 = 4,7 . 10−2 × 1,5 . 109

9)

1,5 . 109 × 9, 4 . 10−2 = 6,6 . 10−2 × 8,2. 105 × 8, 4.108

7) 1,84 . 104 x 57,0 x 10-5 =

10)

9,18. 105 × 7,54 . 10−6 × 6,51.10 −2 = 8,09 . 10−4

13)

380 . 106 + 7, 42 = 3,00.108

11) 1,68 . 10-6 x 2,5 . 105 x 77,7 =

14)

12) 6,45.10-3 – 2,1.10-4 =

9,1. 105 × 8,7 . 10−2 +2= 4,7 . 10−2 × 1,5 . 109

9,18.105 × 7,54.10 −6 9,1.105 × 8,7.10−2 + = 8,09.10 −4 4,7.10−2 × 1,5.105

15)

Corrigés : séquence de touches sur une Casio (pour une Texas, remplacer par 2nde EE)

Questions

3

3,0 . 108 x 2,4 . 10-6 =

1

x 10x

×

8

2

,

4

x 10x



x 10 x

8

x 10 x

Corrigé (éventuellement arrondi à 2, 3 ou 4 chiffres significatifs)

6

7,2 . 102

EXE

380 . 106 = 3,00.108

2

3

8

x 10 x

0

÷

6

3

1,27

EXE N.B. : aucune parenthèse n'est nécessaire 2

3

2,4 . 105 . 5,2 . 10-6 . 9,8 . 10-2 =

4

L. Dour

2, 40. 105 × 5, 20 . 10−6 = 9,80 . 10 −2

,

 2 

x 10x

4 ×

6 ,

,

x 10x

4 6

9

÷

9

×

5

,

× 8

,

5 x 10 x

x 10x

2 

x 10 x

8 5

5

,

2

x 10x

2 

2

1,2.10-1 = 0,12

EXE

1,27 . 101 = 12,7

EXE

Calculs puissances de dix.odt v.4

2 −5

2,92. 10 × 3, 20 . 10 = 8,90 . 10−2 × 7, 45 . 10 −4 4

5

x 10 2

,

9

x 10x

2



x

(

÷

5

×

7

,

×

4

4

8

3

,

9

2 x 10 4



x 10x

5

,

4



x

)

6

1,84 . 104 x 57,0 x 10-5 =

7

9,1. 105 × 8,7 . 10−2 = 4,7 . 10−2 × 1,5 . 109

8

3

,

9

x 10x

8

EXE

1

,

8

,

×

4

,

4

1

x 10 x

x 10 x

4

×

5

7

5

×

1

(

÷

2 1

1,5 . 109 × 9, 4 . 10−2 = 6,6 . 10−2 × 8,2. 105 × 8, 4.108

,

x 10 x

,

4

5

1

9

4

9 

1,36 . 1018

x 10 x

1,05 . 101 = 10,5

EXE 1



×

÷

6

5

3

x 10 x

5

8

 9

2,92. 10 4 × 3, 20 . 10 −5 × 7, 45 . 10−4 ce 8,90 . 10−2

qui fait 7,82 . 10 −3 )

EXE

3,85. 103 × 4,99 . 106 = 1, 41 . 10−8

1,41 . 10 (attention, parenthèse au dénominateur sinon on calcule

,

x 10

,

8

)

9

x 10 x

×

9



2

÷

(

x 10 x 5



2

×

8

×

8

,



1,1 . 10-3

2

EXE

x

x 10

x 10x

7

x 10 x

7

x

5

,

4

x 10

9

,

4

6

,

6

,

2

x 10x

x

8

)

×

7

3,1 . 10-6

EXE 9 −6

9,18. 10 × 7,54 . 10 × 6,51.10−2 = 8,09 . 10 −4 5

10

1,68 . 10-6 x 2,5 . 105 x 77,7 =

11

,

x 10 x

8

380 . 106 + 7, 42 = 3,00.108

13

−2

9,1. 10 × 8,7 . 10 +2= 4,7 . 10−2 × 1,5 . 109

14

4

x 10



6

÷

8

,

5,57.102 = 557 (ici, pas besoin

9

x 10x



4

×

6

,

de parenthèses)

5

1

x 10 x



2

EXE

1

,

6

8

2

,

5

x 10 x

7

EXE

6

,

4

5

,

1

x 10

3

8

0

x 10x

8



7

,



6

×

5

×

7

7

x 10x



,

1

x 10 x

,

6,24 . 10-3



4

6

÷

4

EXE

2

EXE ×

5

8

,

7

2

÷

(

4

,

7

x 10 x



2

×

1

,

5

x 10x

9

)



2

EXE

9

,

1

8

x 10 x

5

4

x 10

x



6

÷

8

,

0

9

x 10x



4



9

,



x 10 2



2

x

×

5

8,69 (2 C.S pour le quotient et dans 7,42, donc 2 C.S dans le résultat)

x 10x

3



x 10

3,3 . 101 = 33



3

x

)

×

5

8

,

7

2 (dans une somme, on arrondit en fonction de la donnée la moins précise : ici, 2)

,

x 10 x

7

÷

(

4

,

7

×

1

,

5

x 10 x

x 10 x 5

EXE

Toutefois, vu la longueur de la séquence et le risque d'erreur, il = 8,56.103 + 11 = 8,57.103 semble raisonnable de procéder en plusieurs morceaux : 9 5 0

,

1

4 9

x 10 x

8

x 10



6

÷

x 10

x



4

EXE

9

×



2

÷

(



2

×

1

7

x 10

,

7

x 10x

x 10

x 10x

,

1

,

5

8

,

x

4

x

7

,

8

,

×

5

x



ANS

L. Dour

x 10 x

x

2

1

9,18.105 × 7,54.10−6 9,1.105 × 8,7.10−2 + = 8,09.10−4 4,7.10−2 × 1,5.105

,

0

9 5

5

5

x

6,45.10-3 – 2,1.10-4 =

12

15

1

5

)

5

EXE

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