Applications industrielles des méthodes inverses pour caractériser les sources mécaniques et acoustiques Industrial applications of inverse methods to characterise acoustic and mechanical sources Pascal Bouvet, Raphaël Bosio Vibratec – Ecully, PSA Peugeot Citroën – La Garenne Colombes

Résumé La connaissance des forces agissant sur les structures mécaniques est indispensable dans beaucoup de domaines, tels que l’analyse de contrainte, ou l’analyse vibroacoustique des voies de transfert dans les structures. En général, la mesure directe des forces est souvent difficile car elle se heurte à l’impossibilité d’instrumenter avec des capteurs de force. Par conséquent, des méthodes indirectes d’identification sont nécessaires pour leur évaluation. Cet article présente le principe général d’application des méthodes inverses pour la caractérisation expérimentale de sources mécaniques et acoustiques. Deux cas d’applications industrielles sont présentés. Abstract The determination of forces applied on receiving structures is necessary in many fields, such as the analysis of stress, or the vibroacoustic transfer path analysis in structures. Generally speaking, the direct measurement of forces is difficult, due to the impossibility to equip the receiving structure with cell forces. As a consequence, indirect methods are used for their assessment. This article presents the general basis of inverse methods for the experimental characterisation of mechanical and acoustic sources. Two industrial cases are presented.

1. INTRODUCTION La connaissance des forces agissant sur les structures mécaniques est indispensable dans beaucoup de domaines, tels que l’analyse de contrainte, la prévision du comportement vibroacoustique des structures… En général, la mesure directe des forces est souvent difficile car elle se heurte à l’impossibilité d’instrumenter avec des capteurs de force. Par conséquent, des méthodes indirectes d’identification sont nécessaires pour leur évaluation. Le chapitre 2 rappelle les bases théoriques des méthodes inverses pour la détermination indirecte des forces appliquées sur les structures mécaniques, ainsi que pour la détermination des débits volumiques de sources acoustiques. Le chapitre 3 présente des exemples d’applications en mécanique, sur des structures industrielles : • •

La mesure des efforts statique aux points de contact rail-roue sur une plate-forme de traction de navire, La mesure des efforts dynamiques appliqués par un injecteur sur sa structure support.

2. BASES THEORIQUES 2.1. Cas des sources corrélées (ZHANG [1]) On considère un système mécanique à M entrées et N sorties. Pour une structure linéaire, les réponses vibratoires aux points aj (j = 1, 2…N) sont reliées aux excitations Fi (i = 1, 2…M) par une fonction de transfert Hji (ω) définie par :

H ji (ω ) = a j (ω ) Fi (ω)

(1)

où Fi (ω) et aj (ω) correspondent respectivement à la Transformée de Fourier de la force Fi et de la réponse vibratoire aj .

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Dans le cas où les forces d’excitations sont totalement cohérentes, on peut écrire : M

a j (ω) = ∑ H

(ω)Fi

(2)

[a (ω)]N *1 = [H (ω)]N *M [F (ω)]M *1

(3)

i =1

ji

soit sous forme matricielle :

avec :

[H ]N *M : matrice des fonctions de transfert. [a(ω)]N *1 , [F (ω)]M *1 : vecteurs colonnes des transformées de Fourier des réponses vibratoires et des forces.

A partir de cette équation, si l’on connaît les réponses vibratoires complexes [a] ainsi que la matrice des fonctions de transfert[H], les transformées de Fourier des forces complexes [F] sont déterminées par :

[F ] = [H ]+ [a]

(4)

où [ ]+ désigne l’opération d’inverse généralisée (ou pseudo inversion) d’une matrice rectangulaire (matrice surdéterminée), obtenue lorsque le problème comporte plus de réponses vibratoires que de forces à estimer. L’équation (4) permet donc de reconstituer les forces à partir de la mesure du comportement vibratoire de la structure et des fonctions de transfert. Cette méthode inverse ne s’applique qu’aux champs parfaitement cohérents.

2.2. Cas de sources non corrélées (ZHANG [1]) Pour un champ non cohérent ou partiellement cohérent, on utilise une méthode basée sur la mesure de la matrice interspectrale des réponses vibratoires. En considérant un système à M entrées et N sorties, il existe alors la relation suivante :

[G aa ]N *N = [H ]N *M [G FF ]M *M [H ]HM *N

(5)

où [Gaa ] et [GFF ] sont respectivement les matrices interspectrales des réponses vibratoires et des forces :

[G aa ]N *N

 Ga a  11 G =  a 2 a1 M  G a N a1

G a* 2 a1 G a 2 a2 M GaN a2

G a* Na1   L G *a N a2  O M   L G a Na N  L

, [G FF ]M * M

 GF F  11 G =  F 2 F1 M  G FM F1

G *F 2F1 G F2 F2 M G FM F2

G *FM F1   L G F*M F2  O M   L G FM FM  L

(6)

S’il est possible de mesurer [Gaa ] et [H], alors la matrice interspectrale des forces d’excitation peut s’obtenir par :

[G FF ] = [H ]+ [G aa ][H ]H +

(7)

Cette méthode inverse s’applique non seulement aux champs totalement cohérents, mais aussi aux champs non cohérents et partiellement cohérents. En revanche, elle requiert la caractérisation de la matrice interspectrale [Gaa], pour laquelle il est nécessaire de mesurer simultanément les autospectres et les interspectres entre chaque réponse vibratoire et les autres. En pratique, cette détermination n’est pas facile à réaliser en raison de la mesure simultanée de toutes les réponses vibratoires.

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2.3. Techniques d’inversion (THITE [5], NELSON et YOON [6-7]) La technique de Décomposition en Valeurs Singulières est généralement utilisée pour obtenir la pseudo inversion de la matrice surdéterminée [H]. [H ] N * M est décomposée en trois matrices [U ] , [V ] , [Σ ] :

[H ]N *M = [U ]N*N [Σ]N *M [V ]H M *M

(8)

où [U ] , [V ] sont deux matrices unitaires, et [Σ ] est une matrice diagonale qui possède r valeurs singulières δr non nulles (r