Utilisation de données expérimentales en analyse dynamique Use of experimental data in dynamic structural analysis Alain Girard Intespace - Toulouse

Résumé Le développement d'une structure soumise à un environnement vibratoire implique des activités d'analyse et d'essais qui doivent être combinées pour optimiser les performances, les coûts et les délais. L'analyse inclut généralement une modélisation par éléments finis, une corrélation avec des essais et un recalage de modèle pour de meilleures prévisions. Diverses techniques permettent de faciliter l'utilisation de données expérimentales, parmi lesquelles on peut citer la vérification de la cohérence des mesures, l'identification modale lors d'une campagne d'essais de qualification, et l'utilisation directe de résultats d'essai (sans modèle analytique) par approche modale ou fréquentielle. Une présentation rapide de ces techniques est faite en ce qui concerne les formulations et diverses applications pratiques. Abstract The development of a structure involves both test and analytical activities which must be combined to optimize performance, schedule and costs. Analysis includes generally finite element modelling, correlation with test results and model updating for better predictions. Various techniques may improve the use of experimental data, such as : coherence check of measured data, modal identification during qualification test campaign, and direct use of experimental data (without analytical model) by modal approach or by frequency response functions. An overview of such techniques is given concerning formulations and applications to various practical cases.

1. INTRODUCTION Dans le secteur spatial, comme dans bien d'autres domaines, le développement d'une structure est basé sur des activités d'analyse pour la conception et le dimensionnement, complétées par des essais pour la vérification. Ces activités doivent être parfaitement combinées pour obtenir de hautes performances tout en minimisant coûts et délais. Un diagramme simplifié en ce qui concerne la dynamique des structures est donné par la figure 1. Pour l'analyse, un modèle par éléments finis est généralement mis a point à partir des données du Projet, puis corrélé avec des résultats d'essais pour améliorer sa représentativité. Des essais modaux spécifiques sont souvent réalisés à ce niveau. Le modèle recalé est alors utilisé pour figer la structure prototype sur laquelle les essais de qualification seront faits pour vérifier son aptitude à supporter son environnement dynamique.

ANALYSE

ESSAIS

Conception Dimensionnement Environnement Modèle éléments finis Recalage de modèle

Structure en développement

Identification

Modèle recalé

Prototype

Qualification

Fig. 1 : Activités d'analyse et d'essais en dynamique des structures

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Utilisation de données expérimentales en analyse dynamique Diverses techniques permettent de faciliter l'utilisation de données expérimentales. Des études récentes ont montré l'intérêt des points suivants : • Vérification de la cohérence des mesures par rapport à la géométrie du spécimen et à ses propriétés dynamiques élémentaires. • Identification modale lors d'une campagne d'essais de qualification au lieu d'un essai spécifique. • Utilisation directe de résultats d'essais, sans passer par un modèle analytique de type éléments finis ou autre, par approche modale ou fréquentielle. Ces techniques sont présentées dans ce qui suit, après un rappel de quelques notions de base utiles pour l'exposé.

2. RAPPELS 2.1. Fonctions de transfert Une fonction de transfert est par définition le rapport entre une excitation et une réponse dans le domaine des fréquences. En tenant compte d'éventuelles conditions d'appui où l'on peut imposer un mouvement, nul ou non, et que l'on supposera ici se réduire à une base rigide correspondant à l'essentiel des cas pratiques, on peut faire les considérations qui suivent. L'ensemble des DDL (degrés de liberté) de la structure considérée se partitionne en deux sous-ensembles, comme illustré par la figure 2 : •

les DDL r (r comme rigide) relatifs à la base si elle existe, au nombre de 6 dans le cas général,

•

les DDL restants i (i comme interne) relatifs à la partie interne, en nombre N.

Fi , u i i Fr , u r r Fig. 2 : Déplacements et forces dans la structure

La structure peut être excitée par des mouvements imposés à la base si elle existe, caractérisés par exemple par les déplacements ur , et/ou par des forces Fi imposées sur les DDL internes. Les réponses structurales sont les déplacements ui et les forces de réaction Fr. Dans le domaine des fréquences f = ω/2π, les relations entre les excitations possibles (Fi , ur) et les réponses (ui , Fr) font intervenir les fonctions de transfert : u i (ω)  G ii (ω) Tir (ω)   Fi (ω)   =    Fr (ω)  − Tri (ω) K rr (ω) u r (ω)

(1)

où G, T et K sont respectivement les matrices représentant les flexibilités (taille N x N), les transmissibilités (taille N x 6 ou 6 x N) et les raideurs dynamiques (taille 6 x 6) (par convention générale, Xab désigne la matrice X avec les lignes et les colonnes relatives aux DDL a et b respectivement - par réciprocité, on a Xba = XabT et Xaa est symétrique). Si la base est absente (structure libre) seules les flexibilités interviennent.

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2.2. Superposition modale L'approche par superposition modale avec les modes propres réels k conduit aux expressions suivantes pour les flexibilités G, les transmissibilités T et les masses M = K/(-ω2) [1] : G ii (ω) ≈

~ ∑ H k (ω) G ii,k + G ii,res k

Tir (ω) ≈

~ ∑ Tk (ω) Tir,k + Tir,res

(2)

k

M rr (ω) ≈

~ ∑ Tk (ω) M rr,k + M rr,res k

où Hk et Tk sont respectivement les facteurs sans dimension d'amplification et de transmissibilité dynamique du mode k, fonctions de la pulsation ωk et de l'amortissement visqueux réduit ζk (dans l'hypothèse d'un amortissement de type visqueux) : ω 1 + i2ζ k ωk 1 (3) Tk (ω) = H k (ω) = 2 2  ω   ω  ω ω  + i2ζ k  + i2ζ k 1 −  1 −  ωk ωk  ωk   ωk  ~ ~ ~ G ii,k , Tir ,k et M rr,k sont les flexibilités, les transmissibilités et les masses effectives du mode k, fonctions des formes propres réelles Φik, des facteurs de participation Lkr et des masses généralisées mk : L L Φ L Φ Φ ~ ~ ~ Tir ,k = ik kr M rr,k = rk kr (4) G ii,k = ik ki 2 m mk ωk m k k Gii,res , Tir,res et Mrr,res sont les flexibilités, les transmissibilités et les masses résiduelles représentant les modes supérieurs en présence de troncature modale, et permettant d'être statiquement corrects : ~ ∑ G ii,k + G ii,res = G ii

~ ∑ Tir,k + Tir,res = Ψir

~ ∑ M jj,k + M jj,res = M jj

k

k

k

(5)

où Gii , Ψir , M rr sont les flexibilités statiques (pseudo-flexibilités pour les structures libres), les modes rigides et les masses de corps rigide de la structure.

3. VÉRIFICATION DE LA COHÉRENCE DES MESURES 3.1. Généralités sur les mesures La mesure des mouvements, qu'ils soient imposés ou en réponse, se fait le plus souvent à l'aide d'accéléromètres. La mesure des forces imposées par petits vibrateurs se fait facilement par cellules de force. Par contre, avec les gros vibrateurs utilisés pour imposer un mouvement à la base, la mesure des forces de réaction est délicate, que ce soit par dispositif spécifique entre vibrateur et spécimen, par jauges de contraintes calibrées ou d'après les paramètres électrodynamiques si le moyen est de ce type. Ainsi, les transmissibilités dynamiques en mouvement sont facilement déterminées, ainsi que les flexibilités dynamiques en divisant les accélérances (accélérations/forces) par (- ω2). Par contre, les transmissibilités en force ou les masses dynamiques posent problème et sont souvent non considérées. Quelles que soient les excitations et les réponses considérées, les transferts déduits des mesures doivent avoir des propriétés que l'on peut déduire des développements théoriques du chapitre 2. Ces propriétés sont plus ou moins perturbées par les conditions d'essai, ce qui incite à des vérifications et d'éventuelles actions correctives. Les principaux points que l'on peut facilement considérer sont les suivants :

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Utilisation de données expérimentales en analyse dynamique • Le comportement aux basses fréquences si le spécimen doit rester relativement rigide. • La cohérence des transferts ponctuels (excitation et réponse sur le même DDL). • La réciprocité si celle-ci doit s'appliquer.

3.2. Comportement aux basses fréquences On entend ici par basses fréquences la bande nettement en dessous de la fréquence propre du premier mode élastique, où le spécimen peut être considéré comme approximativement rigide, qu'il soit libre ou excité par la base. Le rapport entre forces et accélérations obéit alors directement à la loi de Newton et est donc constant. Dans cette plage, on peut vérifier certaines propriétés de la structure : •

La position/orientation des accéléromètres. Ces propriétés ne sont liées qu'à la géométrie du spécimen. Inutile donc ici de connaître les forces appliquées : seules sont à considérer les données accélérométriques.

•

La masse, le centrage et les inerties du spécimen. La connaissance supplémentaire des forces appliquées permet d'accéder, grâce à la loi de Newton, aux propriétés de corps rigide du spécimen.

En ce qui concerne la position/orientation des accéléromètres, pour un spécimen avec n accéléromètres de position Pi (x, y, z)i et d'orientation (l, m, n)i , comme illustré par la figure 3, et un mouvement de corps rigide donnant au nœud !! , !θ! , !θ! , !θ! ) , l'ensemble des accélérations !u! vérifie la de référence O (réel ou fictif) les accélérations !u! = (!u!, !v!, w r

x

y

z O

i

relation !u! i = Tir !u! r

(6)

T matrice cinématique de taille n x 6, fonction des (x, y, z, l, m, n)i. Inversement, on peut déduire le mouvement de corps rigide de O à partir des accéléromètres i par la pseudo-inverse de Tir . Le vecteur : ∆!u! i = ( I ii − Tir (Tir ) + ) !u! i

(7)

est théoriquement nul. En réalité, il ne l'est pas à cause des incertitudes de mesure et d'éventuelles erreurs d'estimation des (x, y, z, l, m, n)i. Ces dernières sont donc détectables si elles sortent du bruit de mesure. En pratique, on peut détecter ainsi les erreurs de signe sur les accéléromètres et les erreurs significatives sur les positions et orientations.

Pi (x, y, z)i

z O

y

üi (l, m, n)i

x

l i2 + m i2 + n i2 = 1

Figure 3 : Position/orientation des accéléromètres

En ce qui concerne les propriétés de masse, on peut les déduire des rapports entre forces appliquées et accélérations. Si par exemple la structure est libre, les accélérances Aii sont reliées aux 6 modes propres rigides Φik (les 3 translations et les 3 rotations autour du centre de gravité) par : A ii =

Φ ik Φ ki mk k rigides

∑

(8)

Les formes Φik et les masses généralisées mk peuvent donc se déduire d'une décomposition en valeurs singulières de la matrice Aii , d'où les masses et inerties correspondantes, à comparer aux valeurs estimées par ailleurs.

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3.3. Cohérence des transferts ponctuels Les transferts ponctuels, c'est-à-dire ceux où le DDL de réponse est le même que celui de l'excitation, qu'ils soient de type G (ou A = - ω2 G) ou K (ou M = K/(-ω2)), jouent un rôle majeur dans la caractérisation du comportement dynamique de la structure et doivent être particulièrement surveillés. D'après les relations (2) et (3), la partie imaginaire de la contribution du mode k à un transfert ponctuel Gii(ω) ou Mrr(ω) ~ ~ est du signe du paramètre effectif correspondant G ii,k ou M rr,k , donc positive d'après la relation (4) puisque les 2 DDL i ou r sont les mêmes. Ceci conduit à affirmer que la partie imaginaire du transfert ponctuel est toujours positive. Cette propriété spécifique aux transferts ponctuels fournit un critère simple pour la détection d'anomalies. Un exemple de parties imaginaires de transferts ponctuels sur une même structure est donné par la figure 4. Les valeurs négatives significatives, visibles surtout aux fréquences élevées, dénotent un montage mal adapté. A remarquer aussi un certain décalage des pics qui sera analysé au paragraphe suivant.

3.4. Réciprocité des transferts non ponctuels Les transferts non ponctuels n'ont pas la propriété précédente car le signe des paramètres effectifs peut être quelconque. Par contre, si le principe de réciprocité s'applique, celui-ci implique directement dans la relation (1) la symétrie des matrices Gii(ω) et Mrr(ω), ainsi que la relation Tji = TijT (ce qui est cohérent avec la convention). Rappelons que ce principe est souvent applicable en pratique (citons comme exception la présence de parties tournantes qui induisent des effets gyroscopiques), ce que l'on supposera ici. Dans ces conditions, tous les transferts non ponctuels sont symétriques, qu'ils soient de type G, T ou K. Cette propriété est aisément vérifiable en comparant les fonctions correspondantes. En pratique cette symétrie est perturbée par les incertitudes de mesure, mais aussi par un certain nombre de facteurs qui peuvent révéler des faiblesses de mesure appelant des actions correctives. Citons les points suivants qui ont pu être mis en évidence au cours de campagnes d'essais avec des transferts de type accélérance (excitations successives par petit vibrateur, réponses accélérométriques) : •

L'interaction entre le spécimen et le vibrateur par l'intermédiaire de la tige. Elle est d'autant plus importante que la tige est raide, que la tête d'impédance est massive et que le point d'excitation sur la structure est souple. Dans ces conditions, la structure change entre 2 excitations et décale en particulier les pics relatifs aux modes. Remèdes : optimiser la tige, alléger le dispositif d'excitation, chercher les points forts de la structure.

•

Le taux transverse des capteurs qui fait dépendre la mesure considérée des niveaux dans les autres directions. Un simple calcul montre l'influence potentielle de cette cause qui peut être prépondérante sur certaines mesures. Remèdes : choix des capteurs (le taux transverse est malheureusement plutôt antagoniste avec la sensibilité dans la direction nominale), traitement approprié de la mesure (délicat).

•

Les non linéarités de niveaux. Cette cause est liée, au moins en partie, aux phénomènes de dissipation qui accentuent en particulier la tendance aux fréquences élevées. Remède : chercher le compromis avec le niveau de bruit de fond.

Un exemple de réciprocité est donné par la figure 5. On y voit le décalage progressif des pics et une modification du comportement aux fréquences élevées due principalement à la souplesse de la structure aux points d'excitation. Ces causes étant identifiées, il est intéressant d'aborder le problème de la symétrisation des mesures que l'on peut être tenté de faire en post-traitement. Une méthode comme la moyenne est à éviter car elle n'a pas de justification physique : faire par exemple une moyenne avec deux pics assez décalés par l'influence de la tige conduit à un double pic sans rapport avec la réalité. Une meilleure stratégie est de sélectionner le meilleur de chaque paire suivant divers critères basés sur les causes possibles, par exemple avec le décalage en fréquence des pics : une fréquence plus élevée est probablement moins influencée par le couplage avec le vibrateur ou par les non linéarités. On peut enfin penser à un traitement plus élaboré comme une identification des transferts par l'intermédiaire des modes propres (voir chapitre suivant) : cette stratégie passe définitivement du monde expérimental au monde analytique, au prix d'une simplification du comportement du spécimen plus ou moins représentative de la réalité.

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Utilisation de données expérimentales en analyse dynamique 2

50

10

40 1

10

30

0

10

Imaginary

Amplitude

20

10 −1

10

0

−2

10 −10

Resp: Resp:

−20

2 Tx Exci: 1 Tx Exci:

1 Tx 2 Tx

−3

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

10

200

Frequency

0

50

100

150

200

250

Frequency

Figure 4 : Transferts ponctuels sur une même structure Figure 5 : Transferts non ponctuels réciproques (parties imaginaires) (amplitudes)

4. IDENTIFICATION MODALE EN CAMPAGNE DE QUALIFICATION 4.1. Contexte L'identification modale fait en général l'objet d'un essai spécifique à l'aide de petits vibrateurs fournissant des accélérances qui restitueront les propriétés modales par identification de paramètres. L'idée émise dans le domaine spatial où la qualification des satellites se fait entre autres par des essais sinus sur vibrateur, est de profiter de ces essais pour identifier les modes propres dans des configurations plus proches de celles en service. Cela nécessite de considérer une excitation par la base et exploiter les données d'essai en temps quasi réel, c'est à dire avec entre deux balayages, afin de maximiser le retour d'expérience. D'après les relations (2) à (4), l'identification des paramètres modaux avec une excitation par la base se fait de manière analogue à celle utilisant de petits vibrateurs : il suffit d'adapter le traitement aux transmissibilités en accélérations Tir(ω) et aux masses Mrr(ω) si celle-ci sont disponibles par mesure des réactions à la base. La nécessité d'exploiter très rapidement les données demande un traitement qui privilégie la simplicité d'utilisation et la robustesse, éventuellement au détriment d'une certaine précision.

4.2 Identification rapide Dans le contexte d'une étude pour l'ASE (Agence Spatiale Européenne) une approche compatible avec une session interactive a été proposée [2] [3]. Elle est récapitulée ci-après pour mémoire. •

Visualisation des parties réelles et imaginaires de l'ensemble des accélérations et forces mesurées pour la détection/sélection des modes propres.

•

Identification des paramètres modaux avec les pics des parties imaginaires. Si le mode k est suffisamment isolé, la fréquence propre est directement liée à la fréquence du pic, l'amortissement à son acuité et le paramètre effectif à son amplitude. Le décalage éventuel des pics signalé au chapitre précédent est contourné par l'utilisateur en déclarant un seul mode dans une bande de fréquence donnée. L'influence des autres modes peut être prise en compte par résolution d'un système linéaire.

•

Identification des termes statiques ou résiduels d'après les parties réelles aux basses fréquences. Vérification possible des modes rigides correspondants si la géométrie disponible.

•

Comparaison finale entre transferts mesurés et synthétisés, pour une estimation globale de la qualité de l'identification.

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Utilisation de données expérimentales en analyse dynamique La figure 6 donne un exemple de visualisation des parties imaginaires de réponses accélérométriques avec sélection de 3 bandes de fréquence pour identification des modes correspondants (les deux premiers sont globaux, le dernier est localisé principalement sur une réponse). La figure 7 donne une estimation des durées pour chaque étape, avec la récupération des données mesurées par le produit logiciel DynaWorks® et le traitement par le logiciel interne PROTODynamique incluant un recalage de modèle éléments finis d'après les paramètres identifiés, de manière à conforter les consignes d'essai déduites de ce dernier. La durée totale, de l'ordre de la demi-journée, est compatible avec le déroulement normal entre deux essais d'une campagne de qualification.

Figure 6 : Identification des réponses accélérométriques

Vibrateur

10 '

Essai sinus

 DynaWorks

1h

Transferts

MSC/NASTRAN

PROTO-Dynamique Contrôle des données

1h

Identification modale

30 '

Recalage de modèle

2h

Réanalyse Temps total ≈ 5 h Modèle recalé

Figure 7 : Estimation des durées

5. UTILISATION DIRECTE DE RESULTATS D'ESSAIS 5.1. Généralités Les résultats d'essais sont généralement comparés aux prévisions par modèles analytiques pour vérifier la représentativité de ces derniers. En cas de divergences significatives, ces modèles, le plus souvent de type éléments finis, sont modifiés pour mieux approcher la réalité expérimentale. C'est l'opération de recalage, plutôt délicate et qui ne permet pas toujours d'obtenir des résultats satisfaisants, par exemple avec un modèle qui occulte certains phénomènes.

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7

Utilisation de données expérimentales en analyse dynamique Une alternative est d'utiliser directement les résultats d'essais sans passer par un modèle éléments finis. Cette technique présente aussi des difficultés liées aux incertitudes de mesure, mais a son intérêt dans certaines circonstances. Elle peut s'envisager à deux niveaux : •

Au niveau des fonctions de transferts directement issues des mesures : c'est l'approche fréquentielle qui représente la structure par ses transferts expérimentaux, donc sans perte d'information par rapport aux mesures.

•

Au niveau des modes propres identifiés à partir des fonctions de transferts : c'est l'approche modale qui représente la structure par ses modes propres expérimentaux. Ceux-ci résultent d'un traitement analytique et ont donc perdu une certaine information par rapport aux mesures suivant la qualité de l'identification, mais ils réalisent un compromis entre représentativité de la réalité expérimentale et cohérence de données.

Chacun de ces niveaux permet l'élaboration de modèles analytiques spécifiques pouvant être directement utilisés pour la prévision de comportement dans des configurations autres que celles des essais.

5.2. Utilisation directe des transferts expérimentaux Des structures représentées par leurs fonctions de transfert, d'origine analytique ou expérimentales, peuvent être couplées par traitement adéquat, à condition que tous les transferts nécessaires au couplage soient disponibles. Dans ce cas, il suffit d'exprimer la compatibilité des déplacements et l'équilibre des forces aux connexions pour en déduire les transferts des structures couplées. Le couplage entre deux ou plusieurs sous-structures peut se traiter au cas par cas en fonction des conditions aux limites utilisées aux connexions avant couplage. On peut aussi considérer le cas général, l'approche la mieux adaptée à un contexte expérimental étant la manipulation des flexibilités (ou des accélérances) dynamiques comme exposé ci-après (si d'autres types de transferts sont disponibles, on peut toujours se ramener aux flexibilités par la relation (1) ). Les matrices de flexibilité de toutes les sous-structures avant couplage sont regroupées pour fournir la matrice de flexibilité globale relative à tous les DDL concernés g (g comme général) :

ug = Ggg Fg

soit

 u 1  G 1  i 2   ii u i  =  0  "   0   

0 G ii 2 0

0  0 # 

F 1   i2  Fi   "   

(9)

Le couplage entre sous-structures peut être représenté par un ensemble de relations linéaires m (m comme multi-DDL) entre les DDL g, ce qui, en utilisant les multiplicateurs de Lagrange, fournit la matrice de flexibilité G gg après couplage : C mg u g = 0

⇒

u g = G gg Fg

avec

(

)

G gg = G gg − G gg C gm C mg G gg C gm −1 C mg G gg

(10)

La principale faiblesse de cette approche réside dans la nécessité de données expérimentales de bonne qualité (en particulier pour l'inversion de la matrice). Le calcul à chaque pas de fréquence risque aussi d'être relativement lourd. Des connexions avec de légères non linéarités peuvent être introduites et résolues en écrivant l'équilibre simultané des premiers harmoniques [4].

5.3. Utilisation des modes propres expérimentaux Des structures représentées par leurs modes propres, d'origine analytique ou expérimentales, peuvent être couplées par manipulation adéquate de ces modes, à condition que toutes les composantes nécessaires au couplage soient disponibles. C'est la technique de synthèse modale, pour laquelle il est préférable de compléter les modes propres par des formes statiques pour limiter les erreurs de troncature. Dans un contexte analytique, une approche particulière de synthèse modale consiste à élaborer, pour chaque structure à coupler, un modèle réduit à partir du modèle éléments finis sur la base de ses modes, ce modèle restant compatible avec les possibilités standards des codes d'éléments finis [5]. L'adaptation à un contexte expérimental peut se faire aisément pour des DDL de connexion libre, au prix de quelques simplifications [6]. Astelab 2003

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Utilisation de données expérimentales en analyse dynamique Si l'on appelle s (s comme sélection) les DDL de connexion augmentés des DDL internes que l'on veut pouvoir restituer, la formulation conduit aux matrices de masse et de raideur suivantes relatives aux DDL modaux et physiques k+s = b (b comme base) : m M bb =  kk  0 sk

0 ks   0 ss 

 ω 2 m + Φ G −1 Φ kk ks ss,res sk K bb =  k −1 − G ss Φ  ,res sk

−1  − Φ ks G ss ,res  −1 G ss  ,res

(11)

Ces matrices ne nécessitent que les données ωk, mkk, Φsk et Gss,res que l'on peut déduire en identifiant les accélérances mesurées, comme évoqué au chapitre précédent. Il suffit donc de les prendre en compte par le code éléments finis après introduction des nœuds physiques relatifs aux DDL s et de nœuds scalaires pour les DDL k. L'exemple industriel cité dans [6] met en jeu 15 nœuds physiques à 3 DDL, d'où une matrice de transferts expérimentaux 45 x 45. L'identification d'une trentaine de modes simples ou multiples conduit à approcher les transferts expérimentaux à 17 % près en moyenne pour les ponctuels, 37 % pour les autres, malgré le volume et le bruit des mesures, ce qui montre les possibilités de cette approche.

6. CONCLUSIONS Diverses techniques facilitant l'utilisation de données expérimentales ont été présentées et illustrés par des exemples industriels : vérification de la cohérence des mesures à l'aide de critères simples permettant de détecter certaines anomalies préjudiciables à une exploitation ultérieure, identification modale en campagne de qualification permettant d'améliorer coûts et délais, utilisation directe de résultats d'essai permettant de se passer de modèles éléments finis. Ces techniques, s'appuyant sur des considérations théoriques éprouvées ont montré leur intérêt dans divers domaines et peuvent être mises en œuvre au prix de développements relativement limités.

REFERENCES [1] A. Girard, N.A. Roy, "Modal effective parameters in structural dynamics", European Journal of Finite Elements, Vol 6 - n°2/1997. [2] A. Girard, N.A. Roy, "Une approche robuste pour l'identification modale", Astelab, Paris, 13-15 mars 2001 [3] N. Roy, A. Girard, M. Guyot, L-P. Bugeat, "A quick and not so dirty approach to modal identification", Proceedings AIAA – 19th International Communications Satellite Systems Conference and Exhibit, Toulouse, 1720 april 2002 (paper 503a) [4] A. Girard, J. Chatelain, L.P. Bugeat, "Nonlinear connection between linear structures by frequency response functions", 15th International Modal Analysis Conference, Orlando, 1997, pp 968-972. [5] N.A. Roy, A. Girard, L.P. Bugeat, "A simplified approach to dynamic model reduction" Conference on Spacecraft Structures, Materials & Mechanical Testing, Noordwijk, 2000, Proceedings ESA SP-468, pp 161-165. [6] N.A. Roy, A. Girard, L.P. Bugeat, "FEM-compatible models from experimental frequency response functions", 19th AIAA International Communications Satellite Systems, Toulouse, 2001, Paper 503b.

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