Pour bien comprendre la démarche coefficient de garantie - facteur d’essai For understanding well coefficient of guarantee - factor of test Jacques Vanuxeem Rueil Malmaison

Résumé La démarche coefficient de garantie facteur d’essai peut paraître complexe à des utilisateurs non familiers des statistiques, science fertile en paradoxes. L’exposé ci après se propose de présenter, avec le minimum de développements mathématiques, la signification physique de ces concepts. On trouvera les développements complets dans le chapitre 8 de l’annexe mécanique GAM EG 13. Abstract The “uncertainty factor / test factor” step can appear complex to users non-familiar with statistics, science fertile in paradoxes. This paper proposes to present, with the minimum of mathematical developments, the physical significance of these concepts. The complete developments can be found in GAM EG 13 mechanical appendix (chapter 8).

1.

INTRODUCTION AUX STATISTIQUES

1.1. Survie et mortalité Une façon simple d’aborder ce domaine est d’observer l’évolution de la mortalité d’une population. Prenons l’exemple, qui nous concerne tous, de l’évolution de la mortalité d’un ensemble d’individus donné (Figure 1).

INTRODUCTION AUX STATISTIQUES COURBES DE SURVIE ET DE MORTALITE : DEUX FAÇONS DE DIRE LA MEME CHOSE Probabilité 100% de “ vivants ”

100% de “ décès ”

1 Mortalité = 1 - Survie 0,5

Survie 100% de “ décédés ”

0 0% de “ décès ”

Temps ou niveau d’exposition

Figure 1 A l’instant origine il y a 100% de vivants et si l’on note en fonction du temps chaque décès on obtient une courbe en escalier. Elle est comprise entre 1 et 0 et régulièrement décroissante jusqu’à l’extinction de la population. La hauteur des marches va dépendre du nombre d’individus considéré. Intuitivement on perçoit que la précision obtenue, sur le phénomène observé, augmentera avec l’importance de ce nombre. Comme toujours en science expérimentale il est intéressant d’utiliser l’outil mathématique pour modéliser une telle évolution. Car le phénomène examiné précédemment est universel et concerne aussi bien une population d’êtres vivants qu’un ensemble de matériels soumis à une contrainte donnée. Astelab 2003

5- 1

Pour bien comprendre la démarche coefficient de garantie - facteur d’essai On va donc “ lisser ” les marches discrètes et admettre que si la population tend vers un nombre infini d’individus on obtient une courbe continue dérivable comprise entre 1 et 0 et régulièrement décroissante. De plus on admettra aussi que la valeur 0 est obtenue pour un temps d’exposition infini. L’intérêt d’une modélisation mathématique, bien recalée par rapport à l’observation expérimentale, est de fournir un outil prédictif souple et reproductible. On va ainsi définir deux courbes importantes : • La courbe de survie précédemment évoquée. • La courbe de mortalité égale à 1 moins la courbe de survie. C’est dire la même chose de deux façons différentes. Toutefois cette deuxième courbe est la plus utilisée.

1.2. Probabilité et densité de probabilité Ceci étant, si l’on reprend la courbe de mortalité, on peut lui adjoindre la notion très importante de probabilité. En effet, pour un temps ou un niveau d’exposition donné, on obtient sur la courbe une valeur comprise entre 0 et 1. Cette valeur mesure le risque de décéder ou d’avoir une avarie pour un individu pris au hasard dans l’ensemble de départ. Car, bien sur, on ne sait pas à l’avance qui va décéder ou subir une avarie. On a donc une probabilité de mortalité en fonction du temps ou du niveau d’exposition (Figure 2) INTRODUCTION AUX STATISTIQUES LA DENSITE DE PROBABILITE Probabilité 1 0,5

Mortalité

0 Temps ou niveau d’exposition

Densité de probabilité 1

Dérivée = vitesse d’évolution de la mortalité

Surface = 1

0

Temps ou niveau d’exposition Figure 2 Si l’on prend la dérivée de la courbe de mortalité on obtient une nouvelle représentation du phénomène étudié. Elle est physiquement intéressante car elle renseigne sur “ la vitesse d’évolution ” de la mortalité. Ce qui permet de comparer d’un seul coup d’œil l’évolution de deux populations distinctes plus facilement que sur la courbe de mortalité. Car l’opération de dérivation accentue les différences. Ce moyen d’opérer est comparable à l’obtention de la vitesse d’un mobile à partir du chemin parcouru en fonction du temps. Cette courbe porte le nom de densité de probabilité.

1.3. Loi Normale (ou de GAUSS) et loi Log normale C’est sous cette forme que sont exprimées un certain nombre de courbes mathématiques utilisées pour modéliser le comportement de diverses populations. La figure 3 présente deux courbes très utilisées en mécanique : • La loi normale ou loi de GAUSS qui a pour expression : −

f (x ) =

Astelab 2003

1

.e

2. π . σ 5-

2

(

x -m )2 2.σ

2

Pour bien comprendre la démarche coefficient de garantie - facteur d’essai Cette loi est définie pour x variant de − ∞ à + ∞ ; pour x variant de 0 à + ∞ on néglige la partie négative généralement petite. •

La loi Log normale qui a pour expression :

−

1

f (x ) =

( Log x - m L ) 2 2

2.σ L

.e

2. π . σ L . x

INTRODUCTION AUX STATISTIQUES DEUX LOIS IMPORTANTES Densité de probabilité f(x) La loi normale ou loi de GAUSS

−

1

f (x ) =

1

.e

( x -m ) 2 2.σ

2

2. π . σ

s=1 0 Densité de probabilité f(x)

Moyenne m

Temps ou niveau d’exposition x

La loi Log normale f (x ) =

1

0

1

−

.e

( Log x - m L ) 2 2

2.σ L

2. π . σ L . x

s=1 Moyenne m

Temps ou niveau d’exposition x

Figure 3 Cette loi est définie pour x variant de 0 à + ∞ ce qui représente mieux la réalité.

1.4. Caractéristiques d’une loi Pour caractériser une loi donnée les mathématiciens ont défini certaines particularités de la densité de probabilité. Ce sont principalement (Figure 4): • • • • •

La moyenne. La médiane. Le mode. La variance et l’écart type. Le coefficient de variation.

La moyenne est sur l’affixe du centre de gravité de la surface comprise sous la courbe de densité de probabilité. La médiane partage la superficie de la surface comprise sous la courbe en deux parties égales. Le mode est sur l’affixe du maximum de la courbe de densité de probabilité.

Astelab 2003

5-

3

Pour bien comprendre la démarche coefficient de garantie - facteur d’essai

+∞

INTRODUCTION AUX STATISTIQUES LES CARACTERISTIQUES PRINCIPALES D’UNE LOI

M oyenne m =

∫

x . f ( x ) . dx

-∞

Densité de probabilité

+∞

Mode

Médiane Moyenne

f(x)

Variance σ 2 =

Centre de gravité

x - m ) 2 . f ( x ) . dx

-∞

Ecart type =

Variance = σ

Coefficient de variation CV =

S totale = 1 S = 0,5

∫(

Ecart type M oyenne

=

σ m

S = 0,5

0 m - 1 écart type σ

m

m + 1 écart type σ

Temps ou niveau d’exposition

Figure 4 Une caractéristique plus subtile est la variance qui mesure la façon dont se distribue la courbe de densité de probabilité de part et d’autre de la moyenne. Comme la surface totale est toujours égale à l’unité une courbe dont la variance est petite sera haute et étroite ; à l’inverse si la variance est importante la courbe sera basse et large. Cette caractéristique est très importante en statistique car elle mesure l’importance de la dispersion du phénomène autour de sa moyenne. Pour se ramener à la mesure d’une longueur sur l’axe des abscisses on prend la racine carrée de la variance qui prend le nom d’écart type. Pour terminer, une caractéristique très utile est le coefficient de variation CV, rapport de l’écart type sur la moyenne.

Astelab 2003

5-

4

Pour bien comprendre la démarche coefficient de garantie - facteur d’essai

2.

LE COEFFICIENT DE GARANTIE

2.1. Composition des lois environnement et matériel A partir des éléments exposé précédemment il est possible d’aborder la composition de deux lois exprimées par leur densité de probabilité (Figure 5). COMPOSITION DES LOIS ENVIRONNEMENT ET MATERIEL f(x)

Densité de probabilité Loi f 1 (x) pour l’environnement Loi f 2 (x) pour le matériel Amplitude des contraintes x 0

ME

MR = k . ME

Résistance à la contrainte

Probabilité d’avarie = 1 - Fiabilité

Figure 5 La première loi modélise le comportement de l’environnement auquel un matériel donné est soumis. Il ne s’agit pas dans ce cas de mortalité mais de la répartition statistique des contraintes que l’environnement fait subir au matériel. Cette répartition est exprimée par sa densité de probabilité. Ces contraintes peuvent être de diverses natures : contraintes thermiques, contraintes mécaniques, niveaux de vibration etc. La deuxième loi représente la résistance du matériel à cet environnement. C’est sa courbe de mortalité face à cet environnement ; elle est exprimée sous la forme de sa densité de probabilité. L’aire commune à ces deux courbes traduit l’importance de la probabilité d’avarie. Mais cette probabilité n’est pas égale à cette aire qui n’est qu’une image. Ce n’est qu’une indication et le calcul exact de cette probabilité fait intervenir les lois mathématiques représentatives des deux lois. Toutefois plus cette aire commune est petite plus la probabilité d’avarie est réduite. La fiabilité est définie comme étant égale à l’unité moins la probabilité d’avarie. Exemple : si l’on a une probabilité d’avarie de 0,001 la fiabilité est de 0,999. La figure 5 montre que l’écartement entre les deux lois peut être mesuré par un coefficient : k =

Moyenne du matériel MR Moyenne de l' environnement ME

Ce coefficient k est défini comme étant le coefficient de garantie. Un coefficient de garantie élevé assure une grande fiabilité. Pour l’obtention d’une fiabilité répondant à un cahier des charges donné il faut, pour deux lois données, calculer la valeur de k permettant de garantir cette fiabilité. Puis en multipliant la valeur de la moyenne de l’environnement ME par ce coefficient k on positionne la moyenne MR de la loi du matériel pour garantir la fiabilité requise. Le calcul de ce coefficient fait l’objet des chapitres suivants.

2.2. Les paramètres qui influent sur la fiabilité Astelab 2003

5-

5

Pour bien comprendre la démarche coefficient de garantie - facteur d’essai

2.2.1. La dispersion Pour un environnement donné l’importance de la dispersion influe directement sur la probabilité d’avarie donc sur la fiabilité. Une faible dispersion est favorable (Figure 6a)

LES PARAMETRES QUI INFLUENT SUR LA FIABILITE LA DISPERSION QUI EST MESUREE PAR L’ECART TYPE

f(x)

Densité de probabilité Loi f 1 (x) pour l’environnement

Loi f 2 (x) avec peu de dispersion Loi f 2 (x) avec beaucoup de dispersion Amplitude des contraintes

0

ME

x Résistance à la contrainte

MR = k . ME

Figure 6a 2.2.2. La valeur du coefficient de garantie k Toujours pour un environnement donné, l’écartement entre les moyennes environnement et matériel influe directement sur la fiabilité. Plus le coefficient de garantie k est élevé meilleure sera la fiabilité (Figure 6b)

LES PARAMETRES QUI INFLUENT SUR LA FIABILITE L’ECARTEMENT ENTRE LES MOYENNES QUI EST MESURE PAR LE COEFFICIENT DE GARANTIE k f(x)

Densité de probabilité Loi f 1 (x) pour l’environnement Loi f 2 (x) avec k1 petit Loi f 2 (x) avec k2 grand

0

ME

Amplitude des contraintes x M1R = k1 . ME M2R = k2 . ME Résistance à la contrainte k2 > k1 Figure 6b

2.3. La fonction erf Pour calculer mathématiquement la fiabilité (ou la probabilité d’avarie) pour les lois normales et Log normales on a besoin d’utiliser une fonction désignée par erf. La figure 8 montre son allure. Par exemple pour une probabilité de 0,45 on trouve pour x la valeur de 1,64. Ceci correspond, comme on le verra ciaprès, à un degré de confiance de 0,45 x 2 = 0,9 soit 90%. Astelab 2003

5-

6

Pour bien comprendre la démarche coefficient de garantie - facteur d’essai

LA FONCTION ERF 0,50 0,45

Probabilité

0,40 0,30 0,20 0,10 1,64

0,00 0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

x 5,00

Figure 7 x

Son expression mathématique est : erf ( x

)=

1

∫

−

2

t

2

⋅e

⋅ dt et x = erf −1 ( x ) qui est la fonction inverse

2π

0

2.4. Calcul du coefficient de garantie k pour une loi normale La formule permettant de calculer la fiabilité pour un coefficient de garantie donné, connaissant les coefficients de variation pour l’environnement et le matériel, a pour expression (Figure 8) : Erf

−1

( F - 1/2 ) =

k −1 1/ 2  CVE 2 + CVR 2 . k 2   

COMMENT CALCULER LE COEFFICIENT DE GARANTIE k ? LES DEUX LOIS ENVIRONNEMENT ET MATERIEL SONT NORMALES f(x)

Densité de probabilité Loi f 1 (x) pour l’environnement CVE

Erf −1 ( F - 1/2 ) =

k −1 1/ 2  CVE 2 + CVR 2 . k 2   

Loi f 2 (x) pour le matériel CVR

Amplitude des contraintes x

0

ME

MR = k . ME

Figure 8

Astelab 2003

5-

7

Résistance à la contrainte

Pour bien comprendre la démarche coefficient de garantie - facteur d’essai Cette formule ne permet pas un calcul direct. On fait intervenir des tables, des abaques, un tableur ou bien un logiciel approprié.

2.5. Calcul du coefficient de garantie k pour une loi Log normale La formule permettant de calculer la fiabilité pour ce type de loi a pour expression (Figure 9) :

erf

1   F− 2  =  

Log k + Log

-1 

1 + CVE

2

1 + CVR

2

2 2 Log   1 + CVE  .  1 + CVR       

Cette formule encore plus complexe que la précédente nécessite les mêmes outils pour être explicitée.

COMMENT CALCULER LE COEFFICIENT DE GARANTIE k ? LES DEUX LOIS ENVIRONNEMENT ET MATERIEL SONT LOG NORMALES f(x) Densité de probabilité Loi f 1 (x) pour l’environnement CVE

erf

-1 

1 F−2 

 =  

Log k + Log

1 + CVE

2

1 + CVR

2

Log   1 + CVE 2  .  1 + CVR 2      

Loi f 2 (x) pour le matériel CVR

Amplitude des contraintes x

0

ME

MR = k . ME

Résistance à la contrainte

Figure 9

2.6. Exemple de calcul du coefficient de garantie k pour une loi Log normale Soit une loi Log normale caractérisant l’environnement avec un CVE de 0,8 et une loi Log normale caractérisant le matériel avec un CVR de 0,4. On pourra vérifier par la formule précédente que, pour un coefficient de garantie de 38, on à bien une fiabilité de 0,999999 , soit une probabilité d’avarie de 10-6. D’où l’égalité suivante :

Log 38 + Log erf

1    0,999999 − 2  =  

-1 

5-

2

1 + 0,4 2

2 2 Log   1 + 0,8  .  1 + 0,4      

La figure 10 illustre cet exemple :

Astelab 2003

1 + 0,8

8

Pour bien comprendre la démarche coefficient de garantie - facteur d’essai

COMMENT CALCULER LE COEFFICIENT DE GARANTIE k : EXEMPLE LES DEUX LOIS ENVIRONNEMENT ET MATERIEL SONT LOG NORMALES f(x) Densité de probabilité

Log 38 + Log

Loi f 1 (x) Log normale pour l’environnement CVE = 0,8

1   erf -1  0,999999 −  = 2  

1 + 0,8

2

1 + 0,4

2

Log   1 + 0,8 2  .  1 + 0,4 2      

Loi f 2 (x) Log normale pour le matériel Amplitude CVR = 0,4 des contraintes x 0

ME

1- F = 10 - 6

Résistance à la contrainte

MR = 38 . ME Figure 10

2.7. Calcul du coefficient de garantie k pour une loi quelconque Dans ce cas il est nécessaire d’appliquer une théorie mathématique générale qui consiste à calculer successivement les +∞

x

deux intégrales suivantes : F 2

(x ) =

∫

f2

( ζ ) .dζ

et R =

−∞

∫

f1

( x ) . [1 − F 2 ( x ) ].dx

−∞

Généralement ces intégrales n’ont pas de solution analytique et on les calcule par des méthodes d’approximation. La figure 11 ci après résume cette approche. A remarquer que cette méthode s’applique évidemment au cas de deux lois normales ou Log normales.

COMMENT CALCULER LE COEFFICIENT DE GARANTIE k ? LES DEUX LOIS ENVIRONNEMENT ET MATERIEL SONT QUELCONQUES +∞

Fiabilité =

∫

f

1

( x ) . [1 − F 2 ( x ) ]. dx

−∞

f(x) Densité de probabilité

x

Loi f 1 (x) pour l’environnement

F2

(x ) =

Loi f 2 (x) pour le matériel

∫

f2

( ζ ) . dζ

−∞

Amplitude des contraintes x

0

ME

MR = k . ME

Figure 11 Astelab 2003

5-

9

Résistance à la contrainte

Pour bien comprendre la démarche coefficient de garantie - facteur d’essai

3.

LE FACTEUR D’ESSAI ET LE NIVEAU D’ESSAI

3.1. Pourquoi un facteur d’essai ? Théoriquement pour démontrer que la fiabilité requise est bien garantie, pour un matériel confronté à un environnement donné, il faudrait effectuer une infinité de tests. On ne teste, en pratique, qu’un nombre limité de spécimens en se limitant, bien souvent, à un seul spécimen. C’est le cas des matériels très coûteux. Aussi pour tenir compte de cet impératif il a été défini un nouveau coefficient appelé le facteur d’essai Fe. Le fait de n’effectuer qu’un nombre limité de tests implique une incertitude sur la position de la loi du matériel, par rapport à la loi de l’environnement, qui est supposée connue. La figure 12 illustre cette incertitude.

LE FACTEUR D’ESSAI Fe : LA RANÇON D’UN NOMBRE D’ESSAIS LIMITE f(x)

Densité de probabilité Loi f 1 (x) pour l’environnement

Loi f 2 (x) pour le matériel ?? Amplitude des contraintes x

0

ME

MR = k . ME

Résistance à la contrainte

Figure 12

3.2. La notion d’intervalle de confiance On va donc s’efforcer, par des méthodes statistiques, de borner cette incertitude. Une valeur réaliste de ces bornes suppose qu’on les accepte avec un certain degré de confiance. Ce degré de confiance est quantifié sous la forme d’une probabilité de dire vrai. On dira par exemple qu’on a 80% de chance de dire vrai. Donc 20% de dire faux.

LA NOTION D’INTERVALLE DE CONFIANCE f(x)

Densité de probabilité Loi f 1 (x) pour l’environnement La Loi f 2 (x) pour le matériel est quelque part ? entre MR inf et MR sup Amplitude des contraintes x

0 ME

MR inf = k . ME MR sup

INTERVALLE DE CONFIANCE DE X%

Figure 13 Astelab 2003

5-

10

?

Résistance à la contrainte

Pour bien comprendre la démarche coefficient de garantie - facteur d’essai On désigne par intervalle de confiance (Figure 13) l’intervalle entre la borne inférieure et la borne supérieure de la position de la moyenne de la loi du matériel. L’intervalle de confiance est fonction pour une situation donnée : • Du nombre de spécimens testés. • Du degré de confiance choisi.

3.3. Le facteur d’essai et le niveau d’essai Une fois déterminée la valeur des bornes on va s’intéresser surtout à la borne inférieure qui doit se positionner à la valeur k . ME pour que l’on ait, moyennant le degré de confiance choisi, la fiabilité requise. Pour être sur que cette borne est bien placée, on va effectuer le test de réception du nombre limité de spécimens à un niveau supérieur à k . ME en appliquant un coefficient de sévérité Fe. Ce coefficient est précisément le facteur d’essai. On a donc en définitive un niveau d’essai Ne = k . Fe . ME comme l’indique la figure 14.

LA NOTION DE NIVEAU D’ESSAI : POUR ETRE SUR QUE LA MOYENNE DU MATERIEL Mr SOIT SITUEE ENTRE Mr inf ET Mr sup AVEC UN NIVEAU DE CONFIANCE DE X% IL FAUT APPLIQUER UN NIVEAU D’ESSAI k . Fe . ME f(x)

Densité de probabilité Loi f1 (x) pour l’environnement

Loi f 2 (x) pour le matériel

MR inf

MR sup

Amplitude des contraintes x

0

ME Niveau d’essai = k . Fe . ME INTERVALLE DE CONFIANCE DE X%

Résistance à la contrainte

Figure 14

3.4. Expression du facteur d’essai pour la loi normale L’expression mathématique obtenue par calcul statistique est pour ce facteur d’essai (Figure 15) :

Fe = 1 +

a′

.CV R

avec a ′ = erf

-1

n

 π0    et π 0 degré de confiance  2   

La formule est simple à calculer la seule difficulté est de relever la valeur de a’ à l’aide d’une table de la fonction erf. Pour cela on peut utiliser, en l’adaptant légèrement, une table de la loi normale réduite. La valeur de π0 est choisie en fonction du niveau de confiance que l’on désire mais trop d’exigence peut entraîner surcoûts et surdimensionnement une valeur habituellement retenue est de 80%. Toutefois pour des éléments de haute sécurité on peut être plus exigeant.

Astelab 2003

5-

11

Pour bien comprendre la démarche coefficient de garantie - facteur d’essai

EXPRESSION DU FACTEUR D’ESSAI POUR LA LOI NORMALE

f(x)

Fe = 1 +

Densité de probabilité

a'

. CV

n

Loi f 1(x) pour l’environnement

a' = Erf

Loi f 2 (x) pour le matériel

 π0  2 

R

   

-1 

n = taille de l' échantillo n

π

0

: niveau de confiance

Amplitude des contraintes

MR sup

MR inf

x 0

Résistance à la contrainte

ME Niveau d’essai = k . Fe . ME INTERVALLE DE CONFIANCE DE X%

Figure 15

3.5. Expression du facteur d’essai pour la loi Log normale Son expression est (Figure 16) :

+ a ′.

Fe = e

2  Log  1+ CV R 

n

   

avec a ′ = erf

-1

La difficulté de son calcul est similaire à la loi normale.

 π0     2   

et π 0 degré de confiance

EXPRESSION DU FACTEUR D’ESSAI POUR LA LOI LOG NORMALE 2

f(x)

Densité de probabilité Fe = e

Loi f 1 (x) pour l’environnement

a' = Erf

Loi f 2 (x) pour le matériel MR inf

+ a '.

Log 1+ CV R n

 π0  2 

-1 

   

MR sup

0

ME Niveau d’essai = k . Fe . ME INTERVALLE DE CONFIANCE DE X%

Figure 16

Astelab 2003

5-

12

n = taille de l' échantillo n π

0

: niveau de confiance

Amplitude des contraintes x Résistance à la contrainte

Pour bien comprendre la démarche coefficient de garantie - facteur d’essai

3.6. Exemple de facteur d’essai pour la loi Log normale Si l’on reprend l’exemple d’une loi Log normale caractérisant l’environnement avec un CVE de 0,8 et d’une loi Log normale caractérisant le matériel avec un CVE de 0,4. Et si l’on teste un échantillon de n = 3 spécimens en choisissant un degré de confiance de 0,9 (90%), on trouve pour le facteur d’essai une valeur de 1,44. Si bien que le niveau d’essai se situe à Ne = 38 x 1,44 = 54,72, soit sensiblement un facteur de 55 fois la moyenne de l’environnement. Alors que si l’on pouvait tester un très grand nombre de spécimens, théoriquement une infinité, un facteur de 38 serait suffisant pour démontrer une fiabilité de 0,999999. EXPRESSION DU FACTEUR D’ESSAI POUR LA LOI LOG NORMALE

f(x)

Densité de probabilité Fe = e

Loi f 1(x) pour l’environnement CVE = 0,8

+1 ,64.

Log 1 + 0 , 4 2

-1  0 , 9 1 , 64 = Erf  2 

Loi f 2 (x) pour le matériel CVR = 0,4

MR inf

3

3 = taille de l' échantillo n

   

0 ,9 : niveau de confiance

MR sup

0

ME Niveau d’essai = 38 . 1,44 . ME INTERVALLE DE CONFIANCE DE X%

Amplitude des contraintes x Résistance à la contrainte

Figure 17

4.

CONCLUSION

Cette introduction devrait permettre de mieux pénétrer les développements mathématiques conduits dans le chapitre 8 de l’annexe mécanique GAM EG 13. Notamment en mettant en lumière le rôle bien distinct joué par le coefficient de garantie et par le facteur d’essai. Ce dernier est étroitement lié au concept d’intervalle de confiance. On a vu que, dans le cas où un petit nombre de spécimens sont essayés, le facteur d’essai dépend du degré de confiance choisi. On serait tenté de prendre un degré de confiance très élevé. Ce serait compter sans les contraintes économiques et les risques de surdimensionnement. Aussi une valeur raisonnable tourne souvent autour de 80% sauf pour des pièces de haute sécurité.

BIBLIOGRAPHIE • • • • •

Chapitre 8 de l’annexe mécanique GAM EG 13 Annexe 11 (Outils statistiques) de l’annexe Traitement du signal GAM EG 13 Claude MARCOVICI, Jean Claude LIGERON, Utilisation des techniques de fiabilité en mécanique, éd. Techniques et Documentation. A. POLLARD, C. RIVOIRE, Fiabilité et statistiques prévisionnelles : la méthode de Weibull, éd. Eyrolles. Alain TAVERNE, Connaissance et maîtrise de la statistique, Les éditions de la Buissonnière.

******* Astelab 2003

5-

13