1 Intégrales à Paramètres Z
Dans cette section on pose pour x ∈ J ,
F (x) =
I
g (x, t )∂t avec I , J intervalles et g à valeurs dans R ou C.
On s’intéresse ici à la « régularité » de ces fonctions définies par des intégrales, comme la « bien-connue » : Z +∞ Γ(x) = t x−1 e −t dt 0
Théorème de Continuité • ∀x ∈ J
t → g (x, t ) continue par morceaux sur I .
• ∀t ∈ I
x → g (x, t ) continue sur J .
• Hypothèse de domination sur tout segment Pour tous [a, b] ⊂ J , Il existe ϕ continue par morceaux, ¯positive¯ et intégrable sur I telle que : £ ¤ ¯ ¯ ∀ x ∈ a, b ⊂ J ∀ t ∈ I ¯g (x, t )¯ ≤ ϕ(t ) Alors F est continue et définie sur J
et en particulier pour tout x ∈ J , t → g (x, t ) intégrable sur I .
Remarques
I L’intégrabilité de t → g (x, t ) sur I n’est pas nécessaire à vérifier, puisque découle de la domination. I On peut remplacer l’hypothèse de domination sur tout segment, par la domination sur J tout entier, mais cela se révèle moins pratique à l’usage car il est plus aisé de majorer x sur un segment.
I On peut aussi remplacer la vérification des deux premières hypothèses par l’hypothèse (plus forte mais plus rapide. . .) (x, t ) → g (x, t ) est continue sur J × I . Z Z Z g (a, t )∂t lim g (x, t )∂t = I Le théorème amène en particulier : ∀ a ∈ J lim g (x, t )∂t = x→a
I
I x→a
I
Théorème de Dérivabilité (sous le signe somme)
• ∀x ∈ J
∂g (x, t ) sur J × I ∂x t → g (x, t ) continue par morceaux et intégrable sur I .
• ∀x ∈ J
t→
∂g (x, t ) continue par morceaux sur I . ∂x
• ∀t ∈ I
x→
∂g (x, t ) continue sur J ∂x
On suppose, ici, que g (x, t ) admet une dérivée partielle
• Hypothèse de domination sur tout segment Pour tous [a, b] ⊂ J , Il existe ϕ continue par morceaux, positive et intégrable sur I telle que : . ¯ ∂g ¯ £ ¤ ¯ ¯ ∀ x ∈ a, b ⊂ J ∀ t ∈ I ¯ (x, t )¯ ≤ ϕ(t ) ∂x Z ∂g ∂g 0 1 Alors t → (x, t ) est intégrable sur I , pour tout x ∈ J , et F est de Classe C sur J et F (x) = (x, t )∂t . ∂x I ∂x Remarques
I Ici il est nécessaire de vérifier l’intégrabilité car seulement celle de la « dérivée » est assurée par la domination.
I On peut remplacer, ici aussi, la domination sur tout segment de J par la domination sur J tout entier.
2 Intégration et Intervertion de symboles Z
On s’intéresse ici à la problématique
?
lim
n→∞
I
fn =
Z
Z
lim f n =
I n→∞
lim f n (t )∂t .
I n→∞
On supposera donc de facto la convergence simple de la suite de fonctions f n sur I Théorème de convergence dominée de Lebesgue1 Soit ( f n )n∈N une suite de fonctions continues par morceaux sur I
f n : I ⊂ R → R ou C.
• La suite ( f n ) converge simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux sur I . • Hypothèse de domination : Il existe ϕ continue par morceaux, positive et intégrable sur I telle que : ¯ ¯ ¯ ¯ ∀ t ∈ I ∀ n ∈ N ¯ f n (t )¯ ≤ ϕ(t ) Z
Alors f est intégrable sur I et
Z
lim
n→∞
I
fn =
Z
lim f n =
I n→∞
f I
Remarque : Ici aussi, l’intégrabilité des f n sur I car elle résulte de l’hypothèse de domination. Soit ( f n )n∈N une suite de fonctions continues et intégrables sur [a, b] Z b fn = à valeurs dans R ou C, telle que la suite ( f n ) converge uniformément sur [a, b], alors lim n→∞ a Z b Z b lim f n = f Théorème 2 sur un segment
a
n→∞
a
Remarque : On notera qu’il faut dans ce théorème un segment [a, b] et la continuité des f n (car la convergence uniforme entraine la continuité de f donc son intégrabilité sur [a, b]). La continuité par morceaux des f n n’est pas suffisante, pour assurer l’intégrabilité de la limite. Il faudrait alors la vérifier.
On s’intéresse maintenant à la problématique
Z +∞ X I n=0
X Z ? +∞
un =
n=0
I
un
(dénommée intégration terme à terme)
Théorème de Lebesgue d’Intégration terme à terme P Soit ( u n )n∈N une série de fonctions continues par morceaux et intégrables sur I . u n : I ⊂ R → R ou C. P • La série de fonctions u n converge simplement sur I +∞ X et sa somme S(x) = u n (x) est continue par morceaux sur I . n=0
X ³ Z ¯¯ ¯¯ ´ • La série numérique ¯u n ¯ converge. I
Alors S =
+∞ X
u n est intégrable sur I et on peut « intégrer terme à terme »
n=0
Z ³ +∞ X I
´ ´ +∞ X ³Z un = un
n=0
n=0
I
Remarque : On notera ce théorème donne une condition suffisante d’intégrabilité d’une série de fonctions. Théorème 2 d’Intégration terme à terme sur un segment Soit (u n )n∈N des fonctions continues et intégrables sur [a, b] à valeurs dans R ou C. Z b ³ +∞ ´ +∞ X X ³Z P Si la série de fonctions (u n ) converge uniformément sur[a, b], alors un = a
n=0
n=0
b a
un
´
Remarque : Dans ce théorème, l’intégrabilité de la focntion-somme est juste assurée par sa continuité sur le segment, continuité qui découle de la convergence uniforme.
3 Séries à Paramètres ou Séries de fonctions Dans cette section, on pose pour x ∈ J ,
S(x) =
+∞ X
avec J intervalle et u n : J ⊂ R → R ou C.
u n (x)
n=0
On s’intéresse ici à la « régularité » de ces fonctions définies par des sommes de série, comme la « bien-connue » fonction ζ de Riemann1 : ζ(x) =
+∞ X n=1
1 nx
Théorème de Continuité • u n est continue sur J . • La série de fonctions
P
u n converge uniformément sur sur tout segment [a, b] ⊂ J
(ou sur J tout
entier) Alors S(x) =
+∞ X
u n (x) est continue et définie sur J
en particulier ∀ x ∈ J , la série
P
u n (x) converge.
n=0
Remarques
I On a donc l’« intervertion de symboles »
lim
x→a
+∞ X
u n (x) =
n=0
+∞ X n=0
lim u n (x) =
x→a
+∞ X
u n (a)
(pour a ∈ J )
n=0
I Dans la pratique, on utilise souvent la condition suffisante de la convergence normale de
P
un
Théorème de Dérivabilité (dérivation terme à terme) • u n est de classe C 1 sur J . • La série de fonctions
P
• La série de fonctions
u n converge simplement sur J
P
u n0 converge uniformément sur tout segment [a, b] ⊂ J
(ou sur J tout
entier) Alors S est de classe C 1 sur J et on peut dériver terme à terme
S 0 (x) =
³ +∞ X n=0
´0 +∞ X 0 u n (x). u n (x) = n=0
1. Bernhard Riemann : mathématicien allemand de génie (1826-1866). Travaux fondamentaux sur les fonctions analytiques, la théorie de l’intégration, la géométrie différentielle. Sa fonction ζ donne des indications sur la répartition des nombre premiers.
4 Intervertion de Limites On s’intéresse ici à la problématique lim
n→∞
³
´ ³ ´ ? lim f n (x) = lim lim f n (x) .
x→a
x→a
n→∞
On supposera donc « de facto » la convergence simple des f n et l’existence d’une limite des f n en a. A noter aussi, que si les f n sont continues en a, le problème équivaut à la continuité de f = lim f n en a et a déjà été traité.
Théorème « de la double limite » Soit ( f n )n∈N une suite de fonctions f n : I ⊂ R → R ou C et a ∈ I ou une borne de I finie ou infinie • La suite de fonctions ( f n ) converge uniformément sur I (vers une fonction notée f ). • Chaque fonction f n admet une limite b n en a. Alors la suite (b n ) est convergente (vers un réel noté b) et f = lim f n admet pour limite b quand x → a, cad lim
n→∞
³
´ ³ ´ lim f n (x) = lim b n = b = lim f (x) = lim lim f n (x)
x→a
x→a
On s’intéresse maintenant à la problématique lim
x→a
³ +∞ X
x→a
n→∞
´ ´ +∞ ? X ³ lim u n (x) . u n (x) = x→a
n=0
n=0
A noter que si les u n sont continues en a, le problème a déjà été résolu par le théorème sur la continuité d’une somme de série ou une série à « paramètre ».
Théorème P Soit ( u n )n∈N une série de fonctions u n : I ⊂ R → R ou C et a ∈ I ou une borne de I finie ou infinie P • La série de fonctions u n converge uniformément sur I (de somme notée S). • Chaque fonction u n admet une limite b n en a. +∞ X P u n (x) admet pour limite B qd x → a, Alors la série ( b n ) est convergente (de somme notée B) et S(x) = n=0
cad lim
x→a
³ +∞ X n=0
´ ´ +∞ +∞ X X ³ u n (x) = lim S(x) = B = bn = lim u n (x) x→a
n=0
n=0
x→a
